1、目录v1.线性分组码 1.1 生成矩阵和校验矩阵生成矩阵和校验矩阵 1.2 一些特殊的线性分组码一些特殊的线性分组码 1.3 循环码循环码 1.4 BCH码、码、RS码码 1.5线性分组码的硬判决译码线性分组码的硬判决译码 v2.卷积码v 2.4删余卷积码删余卷积码v7.3 TCM码，级联码码，级联码v7.4 Turbo码和码和LDPC编码定理编码定理v香农第二定理阐述了当信息传输率小于信道香农第二定理阐述了当信息传输率小于信道容量时，通过增加码长可以降低平均错误概容量时，通过增加码长可以降低平均错误概率，并且根据随机编码思想对定理进行了证率，并且根据随机编码思想对定理进行了证明，但是并没有给
2、出构造好码的具体方法，明，但是并没有给出构造好码的具体方法，而随机编码面临编码和译码的困难。而随机编码面临编码和译码的困难。本章主要内容线性分组码线性分组码卷积码卷积码概念比较简单，但概念比较简单，但十分重要，特别是十分重要，特别是有关生成矩阵和校有关生成矩阵和校验矩阵的表示和相验矩阵的表示和相互之间的关系，以互之间的关系，以及校验矩阵与纠错及校验矩阵与纠错能力之间的关系尤能力之间的关系尤其重要其重要码字之间具有相关码字之间具有相关性，可以利用这种性，可以利用这种相关性进行译码，相关性进行译码，从而取得好的效果从而取得好的效果7.1 线性分组码线性分组码 信息组信息组1 信息组信息组2 信息组
3、信息组m码字码字1码字码字2码字码字m将需要传输的信息分割为等长的信息组，然后将每组将需要传输的信息分割为等长的信息组，然后将每组中的信息映射为长度固定码字中的信息映射为长度固定码字码字是由长度固定的矢量集合构成码字是由长度固定的矢量集合构成组与组之间独立编码组与组之间独立编码如果信息组相互独立，则码字之间也相互独立如果信息组相互独立，则码字之间也相互独立v二元码：二元码：码字的元素取自于具有码字的元素取自于具有q个符号的符号集，当符号个符号的符号集，当符号集只有两个元素集只有两个元素0，1时，称为二元码，每个码字的元素称为时，称为二元码，每个码字的元素称为比特比特；v非二元码：非二元码：码字
4、元素取值于码字元素取值于q（q2）个元素的符号集；）个元素的符号集；7.1 线性分组码线性分组码（n,k）码）码：从从 2n 种可能码字选择种可能码字选择 2k 种作为编码使用的种作为编码使用的码字；码字；码率码率:R=k/n;码字的重量码字的重量:码字所包含的非码字所包含的非0元素的个数元素的个数1)每个码字都有自己的重量，一个码字的所每个码字都有自己的重量，一个码字的所有重量集合构成该码的重量分布。有重量集合构成该码的重量分布。2)当所有当所有M个码字具有相同重量时，该码称个码字具有相同重量时，该码称为等重量码。为等重量码。举例v比如对于（比如对于（7，4）码，）码，R4/7;v对于其中的
5、一个码字（对于其中的一个码字（1101011），其重量为），其重量为5；v假设码字为假设码字为v（0 0 0 0 0 0 0），（），（0 0 0 1 1 0 1），），v（0 0 1 1 0 1 0），（），（0 0 1 0 1 1 1），），v（0 1 1 0 1 0 0），（），（0 1 1 1 0 0 1），），v（0 1 0 1 1 1 0），（），（0 1 0 0 1 1 1），），v（1 1 0 1 0 0 0），（），（1 1 0 0 1 0 1），），v（1 1 1 0 0 1 0），（），（1 1 1 1 1 1 1），），v（1 0 1 1 1 0 0），（），（1 0
6、1 0 0 0 1），），v（1 0 0 0 1 1 0），（1 0 0 1 0 1 1）v重量分布为（重量分布为（0，3，3，4，3，4，4，4，3，4，4，7，4，3，3，4，），）7.1 线性分组码线性分组码有限域的运算v加法规则：加法规则：v1.加法运算是闭的，加法运算是闭的，v2.加法运算满足结合律加法运算满足结合律v3.加法运算满足交换律加法运算满足交换律v4.集合集合F包含一个称为包含一个称为0的的元素，满足元素，满足v5.每个元素都有一个负元每个元素都有一个负元素，如果素，如果b是一个元素，是一个元素，其负元素记作其负元素记作b，两个，两个元素减法运算定义为元素减法运算定义为,
7、a bFabF,()()a b cFab ca bc abba0aa()ab 7.1 线性分组码线性分组码乘法乘法 乘法运算是闭的；乘法运算是闭的；乘法运算满足结合律乘法运算满足结合律 乘法运算满足交换律乘法运算满足交换律 乘法对加法运算满足分配律乘法对加法运算满足分配律 集合中的每个元素都有一个集合中的每个元素都有一个 单位元素单位元素1，满足，满足 除除0之外，每个元素都有一之外，每个元素都有一个逆元，两个元素的除法运个逆元，两个元素的除法运算定义为算定义为,a bFabF,()()a b cFa bcab cabba()a bcacbc(1)aa11bb7.1 线性分组码线性分组码线性分
8、组码的码字都是线性分组码的码字都是由有限个元素的域构造由有限个元素的域构造的，这种域称为有限域，的，这种域称为有限域，也称为也称为伽罗华域伽罗华域(Galois Field);每个域都至少有一个每个域都至少有一个0元素和一个元素和一个1元素元素；最简单的域就是最简单的域就是GF(2);+01001 11001000 1017.1 线性分组码线性分组码+0123400123411234022340133401244012301234000000101234202413303142404321负元素每行、每列只有一个负元素每行、每列只有一个逆元素每行、每列只有一个逆元素每行、每列只有一个负元素负元
9、素逆元素逆元素7.1 线性分组码线性分组码v一般说来，有限域是由素数或者素数的幂构一般说来，有限域是由素数或者素数的幂构造的。造的。v当是素数时，加法、乘法都是基于模当是素数时，加法、乘法都是基于模q的算术的算术运算。运算。v如果如果q=pm，可以将域扩展为，可以将域扩展为GF(pm)，此时，此时称称 GF(pm)为为GF(p)的扩域，扩域元素的加法、的扩域，扩域元素的加法、乘法运算都是基于乘法运算都是基于p模的。模的。7.1 线性分组码线性分组码分组码的基本特点 Dij:码字之间差异的一种测度是两个码字之间的码字之间差异的一种测度是两个码字之间的汉明距离汉明距离;任何码字集合一定存在最小汉明
10、距离；任何码字集合一定存在最小汉明距离；分组码分为线性和非线性的；分组码分为线性和非线性的；u设设Ci,Cj是分组码中的两个码字，并令是分组码中的两个码字，并令 表示表示 取值取值于符号集合的两个元素。当且仅当于符号集合的两个元素。当且仅当 也是一也是一个码字时，称为线性码。个码字时，称为线性码。u 线性码必须包含全线性码必须包含全0码字码字;u 等重量码是非线性的。等重量码是非线性的。12,12ijCC7.1 线性分组码线性分组码v假设为全假设为全0码字码字,即即 ，同时，同时wi用表示第用表示第个码字的重量，于是得到第个码字的重量，于是得到第i个码字与第个码字与第1个个码字之间的汉明距离为
11、码字之间的汉明距离为 wi;v对于线性分组码而言，两个码字之差仍然是对于线性分组码而言，两个码字之差仍然是一个码字，所以两个码字之间的汉明距离就一个码字，所以两个码字之间的汉明距离就是另外一个码字的重量；所以码字重量分布是另外一个码字的重量；所以码字重量分布完全描述了码的距离特性，码的最小距离为完全描述了码的距离特性，码的最小距离为1(000)C min,1minii idw7.1 线性分组码线性分组码线性分组码的讨论经常使用线性代数的许多基本概线性分组码的讨论经常使用线性代数的许多基本概念，特别是所有念，特别是所有n重集合形成一个矢量空间重集合形成一个矢量空间;从从S空间中选取空间中选取kfj的消息传递是对所有的变量节点和校验节点之间进行的;v当所有变量节点向校验节点的消息传递结束后，则开始进行消息的反向传递，即由校验节点向变量节点传递消息。v每个校验节点向所有的相关变量节点传递除了该变量节点之外的所有外部信息。
