1、1本章要解决的两个问题：本章要解决的两个问题：一、给定图形，如何选择坐标系一、给定图形，如何选择坐标系使其方程最简单？使其方程最简单？二、在不同坐标系中，图形的方二、在不同坐标系中，图形的方程之间有什么关系？程之间有什么关系？2在三维空间中，任意三个不共面的向量都可取在三维空间中，任意三个不共面的向量都可取作空间作空间的一组坐标向量。空间中任一向量在某一组的一组坐标向量。空间中任一向量在某一组坐标向量下的坐标是唯一确定的，但是在不同坐标坐标向量下的坐标是唯一确定的，但是在不同坐标系中的坐标一般是不同的。因此在处理一些问题时，系中的坐标一般是不同的。因此在处理一些问题时，如何选择适当的坐标系使得
2、所讨论的向量的坐标比如何选择适当的坐标系使得所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题。较简单是一个实际的问题。为此我们首先要知道同一向量在不同坐标系中为此我们首先要知道同一向量在不同坐标系中的坐标之间有什么关系，即随着坐标系的改变，向的坐标之间有什么关系，即随着坐标系的改变，向量的坐标是如何变化的。量的坐标是如何变化的。3则则借用借用矩阵记号和矩阵记号和形式上形式上的矩阵乘法将上式写为：的矩阵乘法将上式写为：1212()nnkkk 设设 为空间中的一组向量，若为空间中的一组向量，若12,n 1122nnkkk 其中其中 是实数是实数,12,nk kk一、代数准备：向量的形式写法一、代数准备：
3、向量的形式写法4则利用形式写法可记为：则利用形式写法可记为：1112121222121212()()mmnnnnnmaaaaaaaaa 11112121212122221122nnnnmmmnmnaaaaaaaaa 设设 和和 为两组向量，为两组向量，若若12,m 12,n 5 11112222121212()()()nnnnnnnklklklklklkl 在形式写法下有下列运算规律在形式写法下有下列运算规律:6矩阵矩阵 ，则，则 12,R Rn mA A 1212()()()()nnA BAB 121212()()nnAA 1221()()nAA ,R RR Rn mm lAB 7在空间中取
4、定两个仿射标架在空间中取定两个仿射标架 和和 123;,I O e e e 123;,I O e e e ，若，若111 121 231 3212 122 232 3313 123 233 3ec ec ec eec ec ec eec ec ec e 即即 二、基变换二、基变换111213123123212223313233()()ccce e ee e ecccccc 则称则称 或或 为从为从 到到 的的基变换公式基变换公式。123,e e e 123,e e e 8称矩阵称矩阵 111213212223313233cccCcccccc 为从坐标系到坐标系的为从坐标系到坐标系的过渡矩阵过渡
5、矩阵。II 过渡矩阵是以过渡矩阵是以 在在 中的坐标中的坐标 为各个为各个列向量列向量的三阶方阵。的三阶方阵。123,e e e I从而基变换公式可简写为从而基变换公式可简写为:123123()()e e ee e e C 9三、向量和点的坐标变换公式三、向量和点的坐标变换公式 设向量设向量 在在 和和 中的坐中的坐标分别为标分别为 和和 ，则，则(,)x y z123;,I O e e e 123;,I O e e e (,)x y z123123123111213123212223313233()()()()()xxe e eye e e Cyzzxe e eCyzc xc yc ze e
6、 ec xc yc zc xc yc z 10对比对比这就是这就是向量向量的的坐标变换公式坐标变换公式。123()xe e eyz 可知可知111213212223313233c xc yc zc xc yc zc xcxxyCyzyc zz 下面讨论下面讨论点点的的坐标变换公式坐标变换公式：设点设点 在在 和和 中的坐标中的坐标分别为分别为 和和 ，并设点，并设点 在在 中的中的坐标为坐标为 .(,)x y z123;,I O e e e 123;,I O e e e (,)x y zMIO 123(,)d d d111e 3e 2e oo 1e 2e 3e M 123123()()e e
7、ee e e C 112323()dedOe edO 两个标架之间的关系两个标架之间的关系:12123123123123121231233123()()()()()dxe e ede e eyzddxe e ede e eCyzddxOe e eCydzdOOOMM 对比对比123()xOMe e eyz 可知可知123dxxyCydzzd 这就是这就是点点的的坐标变换公式坐标变换公式。13两个坐标变换公式的异同点两个坐标变换公式的异同点不同点不同点：向量的坐标变换公式是：向量的坐标变换公式是齐次齐次的，的，点的坐标变换公式是点的坐标变换公式是非齐次非齐次的。的。相同点相同点：都是用：都是用
8、中的坐标去求中的坐标去求 中的坐标；中的坐标；都是都是一次一次线性关系式。线性关系式。II 思考：点的坐标变换公式什么时候表现为齐次的？思考：点的坐标变换公式什么时候表现为齐次的？14设曲面设曲面 在坐标系在坐标系 中的一般方程为中的一般方程为 ,则它在坐标系则它在坐标系 中的一般方程为中的一般方程为:IS(,)0F x y z I 113212121232313331232(,)0F c xc yc zdc xcyc zdc xcyc zd 对于曲线对于曲线,将其视为两张曲面的交线将其视为两张曲面的交线,从而曲线的坐标从而曲线的坐标变换公式可以将两张曲面的坐标变换公式联立得到变换公式可以将两
9、张曲面的坐标变换公式联立得到.例例3.13.115123,e e e 不共面不共面|C|0 过渡矩阵过渡矩阵 是是可逆可逆矩阵矩阵C命题命题3.1 设有三个仿射坐标系设有三个仿射坐标系 ,若从若从 的的过渡矩阵为过渡矩阵为C,从从 的过渡矩阵为的过渡矩阵为D,则从则从 的的过渡矩阵为过渡矩阵为CD.,I II 和和II到到II 到到II 到到推论推论 若从若从 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ,则从则从 的过渡的过渡矩阵为矩阵为 .II 到到II 到到C 1C 以上所有的概念、定义和结论对于平面上的坐以上所有的概念、定义和结论对于平面上的坐标变换都有类似的结果，而且更加简单。标变换都有类似的结果，而
10、且更加简单。例例3.23.2、3.33.316一个结论：一个结论：若空间中的一张二次曲面和一张平面相交，若空间中的一张二次曲面和一张平面相交，则交集为二次曲线，或者直线，或者一个点。则交集为二次曲线，或者直线，或者一个点。次数的概念不是纯几何的，它与方程有关。次数的概念不是纯几何的，它与方程有关。如果如果 是一个关于是一个关于 的多项式，则称方程的多项式，则称方程 的图像为的图像为代数曲面代数曲面，并把多项式的次数，并把多项式的次数称为这个代数曲面的称为这个代数曲面的次数次数。(,)F x y z,x y z(,)0F x y z 代数曲面及其次数与坐标系的选取无关。代数曲面及其次数与坐标系的
11、选取无关。在在平面平面上，相应地有上，相应地有代数曲线代数曲线及其次数的概念。及其次数的概念。17设设 和和 是空间中的两是空间中的两个直角坐标系，个直角坐标系，到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为123;,I O e e e 123;,I O e e e 111213212223313233cccCcccccc II 则简单计算表明则简单计算表明:11121321222331323331 0 00 1 00 0 1teeeeeeeeeeeeeeeeC CEee 命题命题3.2 直角坐标系之间的过渡矩阵是直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵正交矩阵.命题命题 正交矩阵的行列式为正交矩阵的行列式为+1或
12、或-1.命题命题 正交矩阵将直角坐标系变为直角坐标系正交矩阵将直角坐标系变为直角坐标系.命题命题 行列式为行列式为正正的正交矩阵的正交矩阵保持保持定向定向;行列式为行列式为负负的正交矩阵的正交矩阵改变改变定向定向.18正交矩阵的一些性质正交矩阵的一些性质矩阵矩阵 是正交矩阵是正交矩阵CtC CE 1tCC 矩阵矩阵 的每行元素的平方和等于的每行元素的平方和等于1,1,且不同两且不同两行对应元素乘积之和等于行对应元素乘积之和等于0.0.C矩阵矩阵 的每列元素的平方和等于的每列元素的平方和等于1,1,且不同两且不同两列对应元素乘积之和等于列对应元素乘积之和等于0.0.C矩阵矩阵 是正交矩阵是正交矩
13、阵tC19二阶正交矩阵的特殊形式二阶正交矩阵的特殊形式二阶正交矩阵只有以下两种形式二阶正交矩阵只有以下两种形式:cossincossin sincossincos 或或移轴变换移轴变换 12dxxyyd 转轴变换转轴变换 2211cossin()()sincose ee e cossinsincosxxyy 20目标目标：寻找一个新的右手直角坐标系，使得：寻找一个新的右手直角坐标系，使得 在其中在其中 的方程成为标准方程，从而看出其几何形状。的方程成为标准方程，从而看出其几何形状。先讨论在平面右手直角坐标系中，二次方程：先讨论在平面右手直角坐标系中，二次方程：所代表的二次曲线所代表的二次曲线
14、的几何形状。的几何形状。22221121122220aa xa xyyb xb yc 方法方法：转轴转轴（消去交叉项）（消去交叉项）+移轴移轴（进一步化简）（进一步化简）若若 ,用移轴的方法就可化为标准方程用移轴的方法就可化为标准方程,因此因此 处理处理 是是关键关键所在所在.下面讨论下面讨论 的情况。的情况。120a 12a120a 21首先首先,我们希望新的坐标系还是直角坐标系我们希望新的坐标系还是直角坐标系,而且最好还是右手系。而且最好还是右手系。因此这个变换必定是正交变换因此这个变换必定是正交变换,而且行列式为而且行列式为+1.+1.问题问题:怎么想到是转轴而不是别的变换怎么想到是转轴
15、而不是别的变换?其次其次,平面上的正交矩阵只有两种类型平面上的正交矩阵只有两种类型,其中行列其中行列 式为正的就是转轴变换式为正的就是转轴变换.22用它的二次项系数构造用它的二次项系数构造对称矩阵对称矩阵:111212220aAaaa 于是于是 1112122212()22,)(Faaxb xb yxcayyyxa cossinsincosxxyy 设所要找的转轴变换为设所要找的转轴变换为:01222()xx y Ayb xb yc 记记 ,2222121211(,)222F x ya xyaa xyb xb yc 23则二次项部分的变换如下则二次项部分的变换如下:00cossincossin
16、()sin()cossincosxx y Ayxx yAy 2211122222111222221112221112sin2cos22sin2cos22cossin2sin()sinsin2cosaaaaaxx yyaaaaaaa 因此因此,要使新坐标系中的方程没有交叉项要使新坐标系中的方程没有交叉项,只要取只要取 满满足足 221112sin2cos202aaa 即即112212cot22aaa 24作移轴变换作移轴变换21122212220a xyab xb yc 设二次曲线设二次曲线 在某个右手直角坐标系中的方程为在某个右手直角坐标系中的方程为:其中其中 和和 不全为不全为0.11a22
17、a 若若 和和 都不为都不为0,则配方得则配方得:11a22a22122111122221222121()0axycaaaabbbba 112212 ,bbxxayya 则方程化为则方程化为:222212112211220bba xa ycaa25进一步可化简为以下进一步可化简为以下5种形式之一种形式之一:22221abxy 22221xyab 22220abxy 22221xyab 22220abxy 椭圆椭圆空集空集一点一点双曲线双曲线一对相交直线一对相交直线26211112112112)0(baxycaabb111112122 2,2bbbbxxacyya 若若 和和 中有一个为中有一个
18、为0,不妨设不妨设 为为0,不为不为0.11a22a22a11a则方程可化为则方程可化为:若若 ,作移轴变作移轴变换换:20b 进一步化为进一步化为:22xpy 抛物线抛物线方程化为方程化为:211220a xb y 27211112112112)0(baxycaabb111 ,xxayyb 若若 ,作移轴变换作移轴变换:20b 进一步化为进一步化为:2xd d0:d0:一对平行直线一对平行直线方程化为方程化为:22111110caba x d=0:d=0:一条直线一条直线d0:d0:空集空集28 由于坐标变换不改变代数曲线的次数，所以仿射由于坐标变换不改变代数曲线的次数，所以仿射 坐标系下的
19、二次曲线在直角坐标系下仍然还是二次坐标系下的二次曲线在直角坐标系下仍然还是二次 曲线。曲线。所有的二次曲线只有以下七种（空集除外）：所有的二次曲线只有以下七种（空集除外）：椭圆、双曲线、抛物线、一对相交直线、椭圆、双曲线、抛物线、一对相交直线、一对平行直线、一条直线、一个点。一对平行直线、一条直线、一个点。29上一节引入的方法的上一节引入的方法的局限性：局限性：问题：问题：如何判别在仿射坐标系下给出的二次方程如何判别在仿射坐标系下给出的二次方程 所表示的二次曲线的类型所表示的二次曲线的类型?转轴和移轴只适用于直角坐标系转轴和移轴只适用于直角坐标系;计算量比较大计算量比较大.新的方法：新的方法：
20、不变量法不变量法用方程的系数去用方程的系数去构造构造不依赖于坐标系不依赖于坐标系的的不变量不变量，进，进而而直接判别直接判别二次曲线的类型。二次曲线的类型。这些不变量的构造仰仗于代数语言的引入这些不变量的构造仰仗于代数语言的引入,因为因为 它们本质上是它们本质上是对称矩阵对称矩阵在在合同变换合同变换下的不变量下的不变量.30记记 ,2222121211(,)222F x ya xyaa xyb xb yc 用它的系数用它的系数构造构造两个两个对称矩阵对称矩阵:1112111212112212120122222,0baabaabaabaabbcbbAAcA 121211121222(,)11aa
21、bxaabybF xbycyx 可见可见 和和 是是互相决定互相决定的的.(,)F x yA 11xx yA y 则则3122221211(,)2x ya xyaa xy 可见可见 和和 是是互相决定互相决定的的.(,)x y 0A即即记记 是是 的二次项部分的二次项部分,(,)F x y(,)x y 0 xx y Ay 分别把分别把 和和 称为称为 和和 的矩阵的矩阵.(,)x y A0A(,)F x y 11121222xaxaaayy 32设平面二次曲线的方程为设平面二次曲线的方程为 ,作坐标变换：作坐标变换：(,)0F x y 012kxxCyyk 其中其中 是过渡矩阵是过渡矩阵(可逆
22、可逆).).上面的变换称为上面的变换称为可逆线性可逆线性变量替换变量替换.0C111211112212222112202,0010 0 10hhkkhhCChhkkhhC记记则则11xxyCy 33(,)0Fx y 设曲线在新坐标系中的方程为设曲线在新坐标系中的方程为:.:.则则它的二次项部分为它的二次项部分为:,1()1tFx yxyAxyCC 000(,)txCx yA Cyyx 注意到注意到 和和 都是都是对称矩阵对称矩阵,根据前面的定义根据前面的定义,所以它们分别是所以它们分别是 和和 的矩阵的矩阵.(,)Fx ytC AC000tC A C(,)x y 设常数设常数 ,则则 和它的二
23、次项部分和它的二次项部分 的矩阵分别为的矩阵分别为 和和 .(,)x yA 0A(,)F x y 0 34设二元二次多项式设二元二次多项式 的矩阵为的矩阵为:(,)F x y11112121222212120baabbAaabbbcbbcA11221aIa它们依次被称为二元二次多项式它们依次被称为二元二次多项式 的第一、的第一、第二、第三第二、第三不变量不变量.(,)F x y123,I I I构造构造 的不变量如下的不变量如下:(,)F x y11222212a aaI 3|IA 0()tr A 0|A 35命题命题3.3 设设 经过可逆线性变量替换变为经过可逆线性变量替换变为 ,以以 记记
24、 的不变量的不变量,则则(,)F x y(,)Fx y123,III(,)Fx y(1)和和 同号同号,和和 同号同号;2I2I 3I3I,1 2,.,3iiIiI 0C(2)如果如果 是是正交矩阵正交矩阵,则则推论推论 在在直角坐标变换直角坐标变换下下 保持不变保持不变,这就是它们这就是它们 被称为不变量的被称为不变量的原因原因.但是在仿射坐标变换下但是在仿射坐标变换下,它们并不是不变的它们并不是不变的.123,III命题命题3.4 设二元设二元二次二次多项式多项式 的的 ,则则 ,并且作可逆线性变量替换后所得的并且作可逆线性变量替换后所得的 的的 与与 同号同号.(,)F x y20I 1
25、0I (,)Fx y1I1I 命题命题 如果用一个非零常数如果用一个非零常数 乘以乘以 ,则则 当当 时时,三个不变量都不改变符号三个不变量都不改变符号.当当 时时,不变号不变号,变号变号,但但 不变号不变号.(,)F x y2I 0 0 13,I I13I I36一对平行直线一对平行直线,或一条直线或一条直线,或空集或空集00+抛物线抛物线0+一对相交直线一对相交直线0不定不定双曲线双曲线0不定不定空集空集+一点一点0+椭圆椭圆+2I3I1I222210 xyab22220 xyab222210 xyab222210 xyab22220 xyab220 xpy20 xd37设二次曲线设二次曲
26、线 在某个坐标系中的方程为在某个坐标系中的方程为 ,记记 的三个不变量为的三个不变量为 .(,)0F x y (,)F x y123,III例例3.43.438设二元二次多项式设二元二次多项式 的矩阵为的矩阵为:(,)F x y111211222212aabAaabbbc 记记111212312122122(,)(,)(,)F x yaF x yaxaF x yybxa ybxycbb 则则 1112122222111(,)11aF x yx yx yxa ybxA yxa ybxb yabc 123(,)(,)(,)xF x yyFx yFx y 以下总假定在某个仿射坐标系中二次曲线以下总假
27、定在某个仿射坐标系中二次曲线 的方程的方程为为 .(,)0F x y 392100200300(,)2(,)(,)(,)0m n tmF xynF xytF xy 设直线设直线 的参数方程为的参数方程为l 00 xxyytmtn 则则 和和 的交点对应的参数的交点对应的参数 满足满足00(,)0F xytmtn l t展开得到一个关于展开得到一个关于 的方程的方程:t据此可判别交点的情形及个数据此可判别交点的情形及个数(见教材见教材).).40100200(,)0(,)F xyF xy定义定义3.1 如果点如果点 满足满足000(,)Mxy则称则称 为曲线为曲线 的的中心中心.0M 中心的坐标
28、是方程组中心的坐标是方程组 的解的解.111212122200a xa yba xa yb 有唯一解有唯一解20I 中心型曲线中心型曲线(椭圆、双曲线椭圆、双曲线)20I 非中心型曲线非中心型曲线无解无解I30没有中心没有中心(抛物线抛物线)中心构成一条直线中心构成一条直线(退化的抛物型曲线退化的抛物型曲线)I3=0有无穷解有无穷解41定义定义3.2 一个非零向量一个非零向量 如果使得如果使得 ,则称则称 所代表的所代表的直线方向直线方向是是 的的渐近方向渐近方向.(,)0m n (,)u m n u 命题命题3.6 椭圆型椭圆型曲线曲线没有没有渐近方向渐近方向,双曲型双曲型曲线有曲线有两个两
29、个渐近方向渐近方向,抛物型抛物型曲线有曲线有一个一个渐近方向渐近方向.几何意义几何意义双曲线的渐近方向是两条渐近线的方向双曲线的渐近方向是两条渐近线的方向;一对相交直线的渐近方向是它们自身的方向一对相交直线的渐近方向是它们自身的方向;抛物线的渐近方向是它的对称轴的方向抛物线的渐近方向是它的对称轴的方向;一对平行直线或一条直线的渐近方向就是自身的方向一对平行直线或一条直线的渐近方向就是自身的方向.42结论结论 如果如果 ,则抛物线的开口朝向是则抛物线的开口朝向是 ,否则就是否则就是 .112 111 2()0I a ba b1211(,)aa 1211(,)aa 命题命题3.7 若若 ,则则 是
30、抛物线的开口朝向的是抛物线的开口朝向的 充要条件为充要条件为:112 111 2()0I a ba b1211(,)aa 110a 命题命题3.7 若若 ,则则 是抛物线的开口朝向的是抛物线的开口朝向的 充要条件为充要条件为:122 112 2()0I a ba b 2212(,)aa 220a 抛物线抛物线结论结论 如果如果 ,则抛物线的开口朝向是则抛物线的开口朝向是 ,否则就是否则就是 .122 112 2()0I a ba b 2212(,)aa 2212(,)aa I2=011222120a aaa11和和a22不全为不全为043如果如果 代表双曲型曲线的渐近方向代表双曲型曲线的渐近方
31、向,则则 是渐近线是渐近线.ul u 的图像是一条直线的图像是一条直线,记作记作 ,称为称为 所代表的方向关于所代表的方向关于 的的共轭直径共轭直径(简称简称直径直径).12(,)(,)0mF x ynF x y 如果一个非零向量如果一个非零向量 满足满足不全为零不全为零,则方程则方程(,)u m n ul u 11121222manamana 和和 条件条件意味着意味着 不代表抛物型曲线的渐近方向不代表抛物型曲线的渐近方向.u 如果如果 有中心有中心,则中心一定在每一条直径上则中心一定在每一条直径上.命题命题3.7 如果如果 不代表不代表 的渐近方向的渐近方向,则则u (1)平行于平行于 的
32、每条弦的中点在的每条弦的中点在 上上;ul u(2)如果平行于如果平行于 的直线和的直线和 只有一个交点只有一个交点,则这个交点在则这个交点在 上上.ul u 44 00mmnAn 11121222()0m manan mana )(定义定义3.3 如果两个如果两个非零非零向量向量 和和 满足满足:(,)u m n(,)v m n 即即,uvlv lu 可以证明可以证明 .则称则称 所代表的所代表的方向方向关于关于 互相互相共轭共轭.uv 和和 设设 是两个是两个非零非零向量向量,并且都有共轭直径并且都有共轭直径 （即（即 都不代表抛物型曲线的渐近方向）都不代表抛物型曲线的渐近方向）,如果如果
33、 所代表的方向共轭所代表的方向共轭,则称则称 是一对是一对互相共互相共轭轭的共轭的共轭直径直径.uv 和和 uvll和和 uv 和和 uvll和和 uv 和和45200100200(,)0,(,)(,)(,)(,).m nm n F xymF xynFxy 和圆锥曲线只有一个交点和圆锥曲线只有一个交点,并且不平行于渐近方向的直并且不平行于渐近方向的直线称为它的线称为它的切线切线,交点称为交点称为切点切点.设直线设直线 经过点经过点 ,平行于向量平行于向量 ,则则 是是 的切线的的切线的充要条件充要条件是是:(,)u m n l000(,)Mxyl 46100200300(,)(,)(,)0F
34、xyxF xyyF xy 若给定切线方向若给定切线方向 ,则可通过下面方程求出切则可通过下面方程求出切 点坐标点坐标,从而确定切线从而确定切线.(,)u m n 12(,)0,(,)(,)0.F x ymF x ynF x y (可见切点是可见切点是 的共轭直径与的共轭直径与 的交点的交点.)(,)u m n 若若 ,可通过求出切线方向或切点来确定切线可通过求出切线方向或切点来确定切线.0M 若若 ,且切点就是且切点就是 ,则经过则经过 的切线为的切线为:0M 0M0M 切线方向切线方向 满足满足:(,)u m n 200100200(,)(,)(,)(,)m n F xymF xynFxy
35、切点切点 满足满足:111(,)Mxy 1111121130011(,)0,(,)(,)(,)0.F xyF xy xF xyyF xy 472222121211(,)222F x ya xyaa xyb xb yc 设圆锥曲线设圆锥曲线 在某个在某个右手直角坐标系右手直角坐标系 中的方程为中的方程为 ,其中其中(,)0F x y I11 112 2111210a ba ba xa yI 2220bya抛物线的对称轴就是渐近方向的垂直方向的抛物线的对称轴就是渐近方向的垂直方向的共轭直径共轭直径.1).当当 不全为不全为0时时,对称轴方程可写为对称轴方程可写为:1112,aa2).当当 全为全为
36、0时时,对称轴方程可写为对称轴方程可写为:1112,aa48抛物线的作图抛物线的作图第二步第二步:求出对称轴和抛物线求出对称轴和抛物线 的交点的交点 ,这就是这就是顶点顶点.O 第一步第一步:求出抛物线求出抛物线 的的对称轴对称轴.第四步第四步:以以 为原点为原点,以以 的开口朝向为的开口朝向为 轴的正向轴的正向,作右手直角坐标系作右手直角坐标系 .O y I 第五步第五步:在在 中的方程形如中的方程形如:.:.I 220axpy第六步第六步:确定确定 和和 的值的值.pa的开口朝向为的开口朝向为 轴的正向轴的正向 y 和和 同号同号pa直角坐标变换保持不变量的值直角坐标变换保持不变量的值11
37、12223aIaaapI 例例3.53.5第三步第三步:确定确定 的的开口朝向开口朝向.49椭圆和双曲线都有两条对称轴椭圆和双曲线都有两条对称轴,它们互相共轭它们互相共轭,互相垂直互相垂直.定义定义3.4 对于中心型曲线对于中心型曲线 ,如果一个方向与它的如果一个方向与它的 共轭共轭方向方向垂直垂直,则称该方向是则称该方向是 的的主方向主方向.所以所以,椭圆和双曲线的对称轴的方向是主方向椭圆和双曲线的对称轴的方向是主方向.问题：问题：中心型曲线的主方向是否一定是对称轴的方向中心型曲线的主方向是否一定是对称轴的方向?50设设两个两个非零非零向量向量 和和 代表一对共轭方向代表一对共轭方向,(,)
38、u m n(,)u m n 00mmnAn 代表主方向代表主方向(,)u m n 0mmAnn mmnn 0mmAnn 00,()0R Rms.t.EAn ()u 非非零零0|0EA 2120II 0,R Rmms.t.Ann u 非非零零由此可求出由此可求出 的值的值,再由再由 解出解出 ,其比值即为其比值即为主方向主方向.此方法称为此方法称为特征值法特征值法.()mn和和51221221221214)40(IIaaa 特征方程的判别式为特征方程的判别式为 称为称为 的的特征方程特征方程,它的解称为它的解称为特征值特征值.2120II 1).当当 ,且且 时时,.1122aa 120a 0
39、此时只有一个特征值此时只有一个特征值 ,并且并且 ,从而从而任何方向都是主方向任何方向都是主方向.1122()aa 00EA 从几何上看从几何上看,此时此时 是一个圆是一个圆,所以过中心的任何直线所以过中心的任何直线都是对称轴都是对称轴.主方向也就是对称轴的方向主方向也就是对称轴的方向.2).当当 或或 时时,.1122aa 120a 0 此时有两个特征值此时有两个特征值 ,将它们分别代入将它们分别代入 能求得能求得两个主方向两个主方向.()21,从几何上看从几何上看,此时此时 是椭圆是椭圆(不是圆不是圆)或者双曲线或者双曲线,所以这所以这两个主方向就是对称轴的方向两个主方向就是对称轴的方向.52回答：回答：Yes!Yes!问题：问题：中心型曲线的主方向是否一定是对称轴的方向中心型曲线的主方向是否一定是对称轴的方向?结论结论:椭圆和双曲线的对称轴就是经过中心并且平行于椭圆和双曲线的对称轴就是经过中心并且平行于主方向的直线主方向的直线.
