1、 专专题题 09 二次根式的概念与性质二次根式的概念与性质 阅读与思考阅读与思考 式子(0)a a 叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 10a 说明了a与a、a 2一样都是非负数 2 2 aa（a0） 解二次根式问题的基本途径通过平方，去掉根号有理化 3 2 0 0 a a aa a a 揭示了与绝对值的内在一致性 4abab （a0，b0） 5 aa bb （a0，b0） 给出了二次根式乘除法运算的法则 6若ab0，则ab0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础 运用二次根式性质解题应注意： （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围； （2）要学会性
2、质的“正用”与“逆用”， 既能够从等式的左边变形到等式的右边， 也能够从等式的右边 变形到等式的左边 例题与求解例题与求解 【例【例 1】设x，y都是有理数，且满足方程 11 40 2332 xy ，那么xy的值是 _ （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题 【例【例 2】 当 1x2，经化简，2121xxxx_ 解题思路：解题思路：从化简被开方数入手，注意a中a0 的隐含制约 【例【例 3】若a0，b0，且 35aabbab，求 23abab abab 的值 （天津市竞赛试题） 解题思路：解题思路：对已知条件变形，求a，b
3、的值或探求a，b的关系 【例【例 4】若实数x，y，m满足关系式： 35223199199xymxymxyxy，试确定m的值 （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：观察发现（x199y）与（199xy）互为相反数，由二次根式的定义、性质探 索解题的突破口 【例【例 5】已知 1 2142335 2 ababcc ，求abc的值 （山东省竞赛试题） 解题思路：解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢? 考虑从配方的角度试一试. 【例【例 6】在ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积小辉同 学在解答这道题时，先建
4、立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点ABC （即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1 所示这样不需求ABC 的高，而借用网格就能 计算出它的面积 （1）请你将ABC 的面积直接填写在横线上：_ （2）我们把上述求ABC 面积的方法叫作构图法若ABC 三边的长分别为5a，22a，17a （a0），请利用图 2 中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面 积 （3） 若ABC 三边的长分别为 22 16mn， 22 94mn， 2 22 mn （m0，n0， 且mn） 试运用构图法求出这个三角形的面积 （咸宁市中考试题） 解题思解
5、题思路：路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角 三角形、正方形等特殊图形求得 能力训练能力训练 A 级级 1要使代数式 2 32 43 x xx 有意义则x的取值范围是_ （“希望杯”邀请赛试题） 2阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答 已知a为实数，化简 3 1 aa a 解：原式 1 1aaaaaa a 3已知正数a，b，有下列命题： （1）若a1，b1，则ab 1； （2）若a 1 2 ，b 5 2 ，则ab 3 2 ； （3）若a2，b3，则ab 5 2 ； （4）若a1，b5，则ab 3 根据以上命题所提供的信息
6、，请猜想：若a6，b7，则ab _ （黄冈市竞赛试题） 4已知实数a，b，c满足 2 11 20 24 abbccc ，则a（bc）的值为_ 图 2 C B A 图 1 5代数式12xxx 的最小值是（ ） A0 B12 C1 D不存在 6下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ） A2.5和 20.5 B3a a和 3b b C 2 a b和 2 ab D 73 ab c和 3 c ab （“希望杯”邀请赛试题） 7化简 2 2 96135xxx 的结果是（ ） A6x6 B6x6 C4 D4 （江苏省竞赛试题） 8设a是一个无理数，且a，b满足ababl0，则b是一个（ ） A小于 0 的
7、有理数 B大于 0 的有理数 C小于 0 的无理数 D大于 0 的无理数 （武汉市竞赛试题） 9已知 2 34 3 aabbab ，其中ab0，求 5abab abab 的值 （山东省中考试颗） 10已知611与611的小数部分分别是a，b，求ab的值 （浙江省竞赛试题） 11设a，b，c为两两不等的有理数 求证： 222 111 abbcca 为有理数 （北京市竞赛试题） 12设x，y都是正整数，且使116100 xxy，求y的最大值 （上海市竞赛试题） B 级级 1已知x，y为实数，y 22 991 3 xx x ，则 5x6y_ 2已知实数a满足19992000aaa，则a19992_
8、3正数m，n满足m4mn2m4n4n3，那么 28 22002 mn mn 的值为_ （北京市竞赛试题） 4若a，b满足 35ab7，则s=23ab的取值范围是_ （全国初中数学联赛试题） 5已知整数x，y满足x2y50，那么整数对（x，y）的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 （江苏省竞赛试题） 6已知 1 a a 1，那么代数式 1 a a 的值为（ ） A 5 2 B 5 2 C5 D 5 （重庆市中考试题） 7设等式a xaa yaxaay在实数范围内成立，其中x，y，a是两两不同 的实数则代数式 22 22 3xxyy xxyy 的值为（ ） A3 B 1 3 C2 D 5 3 8
9、已知 22 25152xx，则 22 2515xx的值为（ ） A3 B4 C5 D6 9设a，b，c是实数，若abc21a41b62c14，求 a bcb cac ab的值 （北京市竞赛试题） 10已知ax 3by3cz3，1 x 1 y 1 z 1，求证： 2223 3 axbycza 3 b 3 c 11已知在等式 axb s cxd 中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数求： （1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数， （2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数 （“希望杯”邀请赛试题） 12设s 222222 111111 111 122319992000 ，求不超过s的最大整数s 13如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作 ABBD，EDBD，连结 AC，EC，已知 AB5， DE1，BD8，设 CDx （1）用含x的代数式表示 ACCE 的长； （2）请问点 C 满足什么条件是 ACCE 的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 2 2 4129xx的最小值 A B D E C （恩施自治州中考试题）
