1、 专题专题 06 从地平面到脚手架从地平面到脚手架 -分式的运算分式的运算 阅读与思考阅读与思考 分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运 算法则和约分为基础分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当 地通分，通分通常有以下策略与技巧： 1分步通分，步步为营； 2分组通分，化整为零； 3减轻负担，先约分再通分； 4拆项相消后通分； 5恰当换元后通分， 学习分式时应注意： (1)分式与分数的类比整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分
2、式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房” ，在“脚手架”上活动； (2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解例题与求解 【例【例 1 1】m_时，分式 2 (1)(3) 32 mm mm 的值为 0. （杭州市中考试题） 解题思路解题思路：分母不为 0 时，分式有意义，分子与分母的公因式1m就不为 0 【例【例 2】 已知1abc，以2abc ， 222 3abc，则 111 111ab cbcaca b 的值为( )
3、A.1 B 1 2 C2 D 2 3 （太原市竞赛试题） 解题思路：解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2abc ，对分母分解因式，分解后再通分. 【例【例 3】计算： (1) 3 2244 1124aa abababab （武汉市竞赛试题） (2) 22 32233223222244 113abab aa babbaa babbababab （天津市竞赛试题） （3） 332 32322 112(1) 2212211 xxx xxxxxxx （赣州市竞赛试题） （4） 22 22 3322 3322 2 3()2 baba abab bababa ababab （漳州市竞赛试题） 解题思路解
4、题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略 与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于 b a 或 a b 的代数式，考虑设 b x a ， a y b ，则1xy ，通过 换元可降低问题的难度 当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题 的分解策略解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组 分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用. 【例【例 4】求最大的正整数n，使得 3 100n 能被n10 整除 （美国数学邀请赛试题） 解题思路解题思路：运用长除法或把两个整式整除的
5、问题转化为一个分式的问题加以解决. 类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与 分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种 【例【例 5】已知 1 15 ab ab ， 1 17 bc bc ， 1 16 ca ca ，求 abc abbcca 的值 （太原市竞赛试题） 解题思路解题思路：设法求出 111 abc 的值 【例【例6】 (1)设a，b，c均为非零实数， 并且2()abab，3()bcbc，4()caca， 则abc 等于多少？ （北京市竞赛试题） (2)计算： 2222 2222 1299 110050002200500
6、010050009999005000 k kk （上海市竞赛试题） 解题思路解题思路：对于(1)，通过变换题中等式，即可列出方程组，解得a，b，c的值；对于(2)，仔细 观察，即可发现其中规律 A 级级 1要使分式 1 1x x 有意义，则x的取值范围是_ . 2代数式 2 11 1 x y x 的值为整数的全体自然数x的和是_ . （全国初中数学联赛试题） 3已知x为整数，且 2 22218 339 x xxx 为整数，则所有符合条件的x值的和为_ . （ “希望杯”邀请赛试题） 4若 111 23xy ，则 234 32 xxyy xxyy _ . （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 5关于分式
7、，下列四种说法中正确的是( ). A含有分母的代数式叫做分式 B. 分式的分母、分子同乘以（或除以）2a3，分式的值不变 C当2x时分式 2 2 4 x x 的值为 1 4 D分式 2 1 x x 的最小值为零 （重庆市竞赛试题） 6已知分式 (8)(1) 1 xx x 的值为零，则x的值为( ). A1 Bl C8 D. l 或 8 （江苏省竞赛试题） 7. 若x取整数，则使分式 63 21 x x 的值为整数的x值有( ) A. 3 个 B4 个 C6 个 D8 个 （江苏省竞赛试题） 8若对于3 以外的一切数 2 8 339 mnx xxx 均成立，则mn的值是( ) A. 8 B8 C
8、16 D16 9计算： (1) 248 11248 11111xxxxx ； (2) 2222 11abab ababaabbaabb ； (3) 222 bccaab aabacbcbbcabaccacbcab ； (4) 1111 (1)(1)(2)(2)(3)(99)(100)x xxxxxxx (5) ()()() ()()() abbccaab bc ca abbccaab bc ca 10当x分别取 1 2007 ， 1 2006 ， 1 2 ，1，2，2006，2007，时求出代数式 2 2 1 1 x x 的值， 将所得结果相加求其和. （全国初中数学联赛试题） 11已知 11
9、11 abcabc ，求证： 212121212121 1111 nnnnnn abcabc （波兰奥林匹克试题） 12已知 xyzu yzuzuxuxyxyz ，则 1xyyzzuux zuuxxyyz 的值 （北京市竞赛试题） B 级级 1如果使分式 7 11 ax bx 有意义的一切x的值，都使这个分式的值是一个定值，那么a，b应满足的 条件是_ . 2已知 2 22 321 (1)(2)12 xxABxC xxxx ，其中 A，B，C 为常数，则 B_ . （ “五羊杯”竞赛试题） 3设正整数m，n满足mn且 222 1111 (1)(1)23mmmmnn ，则mn _ . （ “宇振
10、杯”上海市竞赛试题） 4当x_时，分式 2 2 365 1 1 2 xx xx 有最小值，最小值是_ . （全国初中数学联赛试题） 5已知 115 abab ，那么代数式 ba ab 的值是( ) A5 B7 C3 D 1 3 6已知a，b满足 ab1，记 11 1111 ab MN abab ，N，则 M，N 的关系为( ) A.MN BMN CMN D不确定 （全国初中数学联赛试题） 7以a，b，c为非零实数，且0abc ，若 abcabcabc cba ，解 ()()()abbcca abc 等于( ) A.8 B4 C2 D1 （天津市竞赛试题） 8已知有理数a，b，c满足0abc ，
11、abc0，那么 111 abc 的值是( ) A.正数 B零 C负数 D不能确定 （ “希望杯”邀请赛试题） 9化简： (1) 11111111111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) abacabdabcabcd (2) ()()(z)()()() (2)(2z)(2 )(2 )(2 )(2z) yx zxy xyxzyz xyz xyxyzyzxyzx xy 10. n为自然数，若 3 61996nn，则称n为 1 996 的吉祥数，如 3 46 41996，4 就是 1 996 的一个吉祥数，试求 1 996 的所有吉祥数的和 （北京市竞赛试题） 11.用水清洗蔬菜上残留的农药设用x (x1)单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本 次清洗前残留的农药量之比为 1 1x 现有a（a2）单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次试问用哪种方 法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由 （孝感市中考试题） 12.已知正整数n大于 30，且使得41n整除 2002n，求n的值.
