1、 专题专题 1313 旋转变换旋转变换 例 1 如图，连接 OB1，OB2，B1B2，则 OB1OB2，OB1B2OB2B1.又OB1C30 OB2C，CB1B2CB2B1，故 CB1CB2.同理，B2DDC1.设 CB1x，则 CB2x，CD 3x，DC1DB22x，于是 x3x2x1 1 33 x ，故 ABCDEF S六边形 2222 3 A B CB CD SS 2 3133 333 33 424244 xxx . 例 2 N，M 分别为线段 AB，CB 的中点，MN 1 2 AC.同理 MQ 1 2 BD，PQ 1 2 AC， PN 1 2 BD.ACBD，MNMQPQPN，四边形
2、NMQP 为菱形.MNAC，MQ BD，ACBD，NMQ90，菱形 NMQP 为正方形. 例 3 APMAPC，AP AP ，APBAPC，PCPB .连接 PP ， 由APAP 得APPAP P，而APBAPC，即APCAPC，PPCPPC， 于是PCPC ，即PBPC. 例 4 （1） 60 45 （2） 90 1 2 （3） AFB90 1 2 AFB90 1 2 对AFB90 1 2 证明如下： ABAC， ECED， BACCED， ABCEDC， 得ACBECD， BCAC DCEC ，BCDACE，BCDACE，得CBDCAE. AQFBQC，CBDCAF，AFBACB180 1
3、 90 22 BAC . 例 5 2EBEABCDEB，EBDE BD.连接 DE .BDBD， EBDE BD，BE BE ， EBDE BD， 得ED ED CD CE， CDE 为正三角形，DCE60，又 BCCDCE，则 1 2 E BDDCE30. 260ABCEBEEBD. 例 6 将ABE 绕 B 点逆时针旋转 60，得FBG，连接 GE，FC，则BEG 为等边三角 形，GEBE，FCFGGEEC，即 FCEAEBEC，FC 为定长，当 E 点落在 FC上时， FCEAEBEC为最小值.FBC150， FBBC， BCFBFC15， 而GEB60，EBC45，即 E 在正方形 A
4、BCD 的对角线 BD 上.作 FHBC 交 CB 延长线于 H，设 BCx，则 FBx，FH 2 x ，HB 3 2 x，在 RtFHC 中，由 222 3 (26)()() 22 x xx，得 x2 或 x2（舍去） ，即正方形的边长为 2. A 级 1.1 或 5 2.6 150 3.1 4 . 80 或 120 5.2-3 提示:如图,过 B作 MN/AD， 分别 AB,CD 于 M,N,点 BC交CD于 K， 则BM=ABsin60= 3 2 ,BN=1- 3 2 ,AM= 1 2 ,RtAKBRtAKD,KAB= KAD=15,ADB=75,ADKDN B, DKAD NBDN ,
5、DK=2-3,重叠部分面积=2SAKD = 1 21 (23)23 2 6. 过 P 作 PM 丄 AC 于 M,PN 丄 DF 于 N，可证明四边形 PMGN 为正方形,PM=12 5 ,S重叠=S正方 形PMGN= 2 12144 () 525 . 7.D 8.A 9.B 提示:将CPA 绕点A 逆时针旋转 60到CAP, 连结 PP, APP 为等边三角形.PB+PP+PC=PA+PB+PCAB+AC=AB+AC. 10.(1)AE=BF.(2) 证法较多， 如取 OE中点 G,连结 AG. 11.(1)AM=AN,MAN=.(2) 第(1)问的结 论仍成立，理由如下:由ABEACF 得
6、 BE=CF,ABM=CAN,进一步可以证明ABM CAN. 例 6 题图 B 级 1.2 提示:MN=BM+CN 2.B 提示: ACMBCD.ACM=BCD,CM=CD,MCN= NCD=45,又 CN=CN,则MNCDNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又DBN=45+45=90,故 m2+n2=x2. 3.D 4.33 提示:将ADF绕点 A 顺时针方向旋转 90,到ABG. 的位置, 则AEFAEG. AEF=AEG=FEC=60,BE=1,EC=BC-BE=31, EF=EG=2(31),SAEF=SABG= 1 2 EGAB=33. 5. (1)提示:延长 BC 至 E,使 C
7、E=CD 连结 DE,证明ACDBED.(2)将ABD 绕点 A 旋转 60到 ACB,连结 BD,BP,则四边形 ABDP 符合(1)的条件,于是 BP=PA+PD 连结 AC,则ABD ACB.BD=BC,BCPB+PC=PA+PD+PC,从而 BDPA+PD+PC. 6. 直接解题有困难, ABC 绕点 A 逆时针旋转 120,240拼成正MBC(如图),则正ADE 变为正AD1E1和正AD2E2易知,六边形 DE D1E1 D2E2是正六边形, DD1D2是正三角形, 其 面积是ADE 面积的 3 倍. .因此,设法由正MBC 面积为 150 求出DD1D2的面积, 问题就解 决了.注
8、意到 BD:DC=CD1:D1M=MD2:D2B=2:3, 连结 DM, 则 SADE= 1 3 SABD=36cm2,而 122 MD DDCD SS=36cm2. 同理,可得 12 DD D S=150-336=42cm2,故 SADE= 1 3 12 DD D S=14cm2. 7.如图,将 BP,BO,BC 绕点 B 沿顺时针方向旋转 60，变为 BP，BO,BC 连结 OO,PP,则 BOO, BPP 都是正三角形.因此 OO=OB,PP=PB, 显然BOC BOC, BPC BPC, 由于BOC=BOC=120=180-BOO,A,O,O,C 四点共线.故 AP+PP+PC AC=
9、AO+OO+OC, 即 PA+PB+PCOA+OB+OC. 8.(1)提示:延长DM交EF于N,由ADM ENM,得DM=MN,MF= 1 2 DN,FD=FN,故MD丄MF.(2) 延长 DM 交 CE 于 N,连结 DF,FN 先证明ADM ENM,再证明CDF ENF. 第(1)问中的结论仍成立. (3)第(1)问中的结论仍成立,延长DM至N,使MN=DM,连结DF,FN,证法 同上. (9)提示:EG=CG,EG 丄 CG,B, E,D 在一条直线上,(2)仍然成立，延长 EG 交 CD 于 H 点FEG DHG, ECH,ECG 为等腰直角三角形.(3) 仍然成立. 10.(1) 6
10、 12 ( ,) 55 D (2)2 (3)如图 1, OAE DAE, ABOABD,B,D,C,三点共线.设 D(a,b),则 222 222 (3)3 , (4)4 , ab ab 解得 9672 , 2525 ab, 96 72 (,) 25 25 D,可得直线 CD 的解析式为 7 4 24 yx .如图 2,同理可得, 7 4 24 yx. 11. 提示:易证ACB=90,如图， 将APC 绕点 A 顺时针旋转 60,得到AQO,点 D 为 AB 的 中点，连结 PQ, 得到APQ 为等边三角形.过点 Q 作 QE 丄 AP,垂足为 E,则AQE=30, QE= 3 2 ,AE=PE 连结 DE,则 DE= 1 2 BP= 5 2 ，于是 DE2=( 5 2 )2=QE2+QD2,从而DQE=90, AQD=AQE+EQD=120=APC.过点 C 作 CF 丄 AP 交 AP 的延长线于点 F，得到 CPF=60,PC=2,PF=1,CF=3,于是 AC2=AF2+CF2= 22 ( 31)( 3)72 3, SABC=2SACD= 67 3 2
