1、 专题专题 10 最优化最优化 例例 1. 4 提示：原式= 11 2 -6 2 ）（x . 例例 2. B 提示：由-1y1 有 0 x1，则 z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3 是开口向上，对称轴为 7 1 x的抛物线. 例例 3. 分三种情况讨论：0ab，则 f(x)在 axb 上单调递减，f(a)=2b，f(b)=2a， 即 2 13 2 2 2 13 2 2 2 2 b a a b 解得 3 1 b a ab0，则 f(x)在 axb 上单调递增，f(a)=2a，f(b)=2b， 即 2 13 2 2 2 13 2 2 2 2 b b a a 此时满足条件的（a，b）不存
2、在. a0b，此时 f(x)在 x=0 处取得最大值，即 2b=f(0)= 2 13 ,b= 4 13 ,而 f(x)在 x=a 或 x=b 处取最小值 2a.a0，则 2aan，amanS3-，即amanS3，故 S最小=aman3. 例例 6（1）设 x11，x22，xkk，于是 1+2+kx1+x2+xk = 2003，即2003 2 ) 1( kk k(k+1)4006，62 63=390640064032=63 64，k62. 当 x1=1，x2=2，x61=61，x62=112 时，原等式成立，故 k 的最大可能值为 62. （2） 若取 22 2 bac bac ，则 2 ) 1
3、( 2 bb c由小到大考虑 b，使 2 ) 1( bb 为完全平方数.当 b=8 时，c2=36，则 c=6，从而 a=28.下表说明 c 没有比 6 更小的正整数解.显然，表中 c4-x3 的值均不是完全平方数，故 c 的最小值为 6. c C4 x3(x3c4) C4- x3 2 16 1，8 17,8 3 81 1,8,27,64 80,73,54,17 4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40 5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113 A 级级 1
4、 5 7 1 11 21 314 提示：y=5x,z=4x，原式=3(x3)2+14 4A 提示：原式=27(a+b+c)2 5D 6C 7(1)y=x+1000(500 x800) (2)S=(x E BA DF C x y 123412345 1 2 3 4 1 2 3 4 5 C D B A O 500)(x+1000)=x2+1500 x500000(500 x800);S(x750)2+62500,即销售单价定 为 750 时， 公司可获最大毛利润 62500 元， 此时销量为 250 件 8（1） 4m2 （2） 设方程两根为 x1，x2，则 x12+x22=4(m 3 4 )2+
5、10 3 4 ，由此得 x12+x22最小值为 10 3 4 ，最大值为 101 9设 a2ab+b2=k，又 a2+ab+b2=1，由得 ab= 1 2 (1k)，于是有（a+b)2= 1 2 (3 k)0，k3，从而 a+b= 3 2 k 故 a，b 是方程 t2 3 2 k t+ 1 2 k =0 的两实根，由 0，得 1 3 3 k 10设 A（x1,0)，B（x2，0)，其中 x1，x2是方程 ax2+bx+c=0 的两根， 则有 x1+x2= b a 0， 得 x10， x20， 得 b2 ac |OA|=|x1|1， |OB|=|x2|1，1x10，1x20，于是 c a =x1
6、x21，c0，a+cb又 a，b，c 是 正整数，有a+cb+12ac+1，从而a+c2ac+1，则 2 ()1 ,1 ,12acacac， 于是 a4， 即 a5， 故 b2ac25 12 5 ， 即b5 因此， 取a=5， b=5， c=1， y=5x2+5x+1满足条件， 故a+b+c的最小值为11 11（1） 该设备投入使用x天，每天平均损耗为y= 11111 500000(0500)(1500)(2500)(500) 4444 x x = 11(1) 500000500 x 42 x x x = 5000007 499 88 x x (2)y= 5000007 499 88 x x
7、50000077 2499999 888 x x 当且仅当 500000 8 x x ，即 x=2000 时，等号成立故这台设备投入使用 2000 天后应当报废 B 级级 1 20 提示： a28b0， 4b24a0， 从而 a464b264a， a4， b24 2 4 提 示： 构造方程 32 5 提示： 设经过 t 小时后， A， B 船分别航行到 A1， B1， 设 AA1=x， 则 BB1=2x，B1A1= 22 |10|102 |xx= 2 5(6)20 x 4D 提示：a2+b22ab， c2+d22cd，a2+b2+c2+d22(ab+cd)4abcd=4ab+cd2，同理 bc
8、+ad2，ac+bd 2 5A 提示：x=s20,y=5 4 3 s0，z=1 1 3 s0，解得 2s3，故 s 的最大值 与最小值的和为 5 6A 提示：|AB|= 2 25kk，C( 2 125 , 24 kkk ） ， 23 1 (25) 8 ABC Skk，而 k2+2k+5=(k+1)2+44 7设此商品每个售价为 x 元，每 日利润为 S 元当 x18 时，有 S=605（x18)(x10)=5(x20)2+500，即当商品提价 为 20 元时， 每日利润为 500 元； 当 x18 时， S=60+10 （18x)(x10)=10(x17)2+490， 即当商品降价为 17 元
9、时，每日利润最大，最大利润为 490 元，综上，此商品售价应定为每 个 20 元 8设对甲、乙两种商品的资金投入分别为 x，(3x)万元，设获取利润为 s， 则 s 13 3 55 xx，s 1 5 x= 3 3 5 x，两边平方，经整理得 x2+(910s)x+25s227=0， 关于 x 的一元二次方程有实数解，（910s)24（25s227)0，解得 189 1.05 180 s ， 进而得 x=0.75（万元） ，3x=2.25(万元） 即甲商品投入 0.75 万元，乙商品投入 2.25 万元， 获得利润 1.05 万元为最大 9y=5xz，代入 xyyxzx=3，得 x2(z5)x(
10、z2 5z3)=0 x 为实数， =(z5)24(z25z3)0， 解得1z 13 3 ,故 z 的最大值为 13 3 ， 最小值为1 10设 bc x ab ，则 b=ax，c=ax2，于是，abc=13，化为 a(x2x 1)=13a0，x2x1 13 a =0 又 a，b，c 为整数，则方程的解必为有理数， 即= 52 a 30，得到 1a 52 3 ，且为有理数，故 1a16当 a=1 时，方程化为 x2x12=0，解得 x1=4，x2=3 故 amin=1，b=4，c=16 或 amin=1，b=3，c=9当 a=16 时， 方程化为 x2x 3 16 =0 解得 x1= 3 4 ，
11、 x2= 1 4 故 amin=16， b=12， c=9； 或 amin=16， b=4，c=1 11设 x1，x2，xn中有 r 个1，s 个 1，t 个 2，则 219 499 rst rst ， 得 3ts=59，0t19x13x23xn3=rs8t=6t1919x13x23xn3 61919=133 在 t=0， s=59， r=40 时， x13x23xn3取得最小值 19； 在 t=19， s=2， r=21 时，x13x23xn3取得最大值 133 12把 58 写成 40 个正整数的和的写法 只有有限种， x12x22x402的最大值和最小值存在 不妨设 x1x2x40若 x
12、11， 则 x1x2=(x11)(x21)，且(x11)2(x21)2=x12x222(x2x1)2x12x22于是，当 x11 时， 可以把 x1逐步调整到 1， 此时， x12x22x402的值将增大 同理可以把 x2， x3， ， x39逐步调整到 1， 此时 x12x22x402的值将增大 从而， 当 x1， x2， ， x39均为 1， x40=19 时，x12x22x402取得最大值，即 A= 222 39 111 个 192=400若存在两个数 xi，xj， 使得 xjxi2（1ij40） ，则（xi1)2(xj1)2=xi2xj22(xixj1)xi2xj2 这表明， 在 x1，x2，x40中，若有两个数的差大于 1，则把较小的数加 1，较大的数减 1 此时，x12 x22x402的值将减小，因此，当 x12x22x402 取得最小值时，x1，x2，x40 中任意两个数的差都不大于 1 故 当 x1=x2=x22=1，x23=x24=x40=2 时，x12x22 x402取得最小值，即 222 111 22个 222 222=94 从而，A+B=494.
