1、 专题专题 04 根与系数关系根与系数关系 阅读与思考阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由 16 世纪的法国数学家韦达所发现的韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1求方程中字母系数的值或取值范围； 2求代数式的值； 3结合根的判别式，判断根的符号特征； 4构造一元二次方程； 5证明代数等式、不等式 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系， 然后再结合已知条件进行求解或求证， 这是利用根与系数的关系解题的基本思路， 需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方
2、程有两个实数根，所以，应用根与系数的 关系解题时，必须满足判别式0 例题与求解例题与求解 【例【例 1】设关于x的二次方程 22 (4)(21)10mxmx (其中m为实数)的两个实数根的倒数和为 s，则s的取值范围是_. 【例【例 2】 如果方程 2 (1)(2)0 xxxm的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m的取 值范围是_. A01m B 3 4 m C 3 1 4 m D 3 1 4 m 【例【例 3】已知，是方程 2 780 xx的两根，且不解方程，求 2 2 3 的值 【例【例 4】 设实数, s t分别满足 22 199910,99190sstt 并且1st ，求 4
3、1sts t 的值 【例【例 5】 （1）若实数, a b满足 2 58aa， 2 58bb，求代数式 11 11 ba ab 的值； （2）关于, ,x y z的方程组 32 236 xyza xyyzzx 有实数解( , , )x y z，求正实数a的最小值； （3）已知, x y均为实数，且满足17xyxy， 22 66x yxy，求 432234 xx yx yxyy的 值 【例【例 6】 , ,a b c为实数，0ac，且2350abc，证明一元二次方程 2 0axbxc有大于 3 5 而小于 1 的根 能力训练能力训练 A 级级 1已知m，n为有理数，且方程 2 0 xmxn有一个
4、根是52，那么mn= 2已知关于x的方程 2 30 xxm的一个根是另一个根的 2 倍，则m的值为 3当m= 时，关于x的方程 22 8(26)210 xmmxm 的两根互为相反数； 当 时， 关于x的方程 22 240 xmxm的两根都是正数； 当 时， 关于m 的方程 2 3280 xxm有两个大于2的根 4对于一切不小于 2 的自然数n关于x的一元二次方程 22 (2)20 xnxn的两根记为 , nn a b(2)n 则 223320072007 111 (2)(2)(2)(2)(2)(2)ababab 5设 12 ,x x是方程 22 2(1)(2)0 xkxk的两个实根，且 12
5、(1)(1)8xx，则k的值为（ ） A3 1 或 B3 C1 D 1 2 k 的一切实数 6设 12 ,x x是关于x的一元二次方程 2 2xxnmx的两个实数根，且 121 0,30 xxx，则 （ ） A 1 2 m n B 1 2 m n C 1 2 m n D 1 2 m n 7设 12 ,x x是方程 2 20 xxk的两个不等的实数根，则 22 12 2xx是（ ） A正数 B零 C负数 D不大于零的数 8如图，菱形 ABCD 的边长是 5，两对角线交于 O 点，且 AO，BO 的长分别是关于x的方程 22 (21)30 xmxm的根，那么m的值是（ ） A3 B5 C53或 D
6、53 或 9已知关于x的方程： 2 2( 2)0 4 m x mx （1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个根是 12 ,x x，且满足 21 2,xx求m的值及相应的 12 ,x x 10已知 12 ,x x是关于x的一元二次方程 2 430kxx的两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）是否存在这样的实数k，使 12 12 3 222xx x x 成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理 由 11如图，已知在ABC 中，ACB90 ，过 C 点作 CDAB 于 D，设 ADm，BDn，且 AC2：BC2 2：1；又关于x的方程012)
7、1(2 4 1 22 mxnx两实数根的差的平方小于 192，求整数 m、n 的值 D B A C 12已知,m n是正整数，关于x的方程 2 ()0 xmnxmn有正整数解，求,m n的值 B 级级 1设 1 x， 2 x是二次方程03 2 xx的两根，则 32 12 419xx= 2已知1ab ，且有 2 5199580aa及 2 8199550bb则 a b 3已知关于x的一元二次方程 2 610 xxk 的两个实数根是 12 ,x x，且 22 12 24xx，则 k 4已知 12 ,x x是关于x的一元二次方程 2 2xaxa的两个实数根，则 1221 (2)(2 )xxxx的最大
8、值为 5如果方程 2 10 xpx （p0）的两根之差为 1，那么p等于（ ） A2 B4 C3 D5 6已知关于x的一元二次方程 2 210 xmxm 的两个实数根分别是 12 ,x x，且 22 12 7xx，则 2 12 ()xx的值是 ( ) A1 B12 C13 D25 7在 RtABC 中，C90，a、b、c分别是A、B、C 的对边，a、b是关于x 的方程077 2 cxx的两根，那么 AB 边上的中线长是 ( ) A 2 3 B 2 5 C5 D2 8设 2 13aa ， 2 13bb 且ab，则代数式 22 11 ab 的值为（ ） A5 B7 C9 D11 9 已 知, a
9、b为 整 数 ，ab， 且 方 程 2 33()40 xab xab的 两 个 根, 满 足 关 系 式 (1)(1)(1)(1) 试求所有整数点对( , )a b 10 若方程 2 310 xx 的两根, 也是方程 62 0 xpxq的两根， 其中, p q均为整数， 求, p q的 值 11. 设, a b是 方 程 2 310 xx 的 两 根 ，c，d是 方 程 2 420 xx的 两 根 ， 已 知 abcd M bcdcdadababc 求证： （1） 2222 77 abcd M bcdcdadababc ； （2） 3333 4968 abcd M bcdcdadababc 12 设m是不小于1的实数， 使得关于x的一元二次方程 22 2(2)310 xmxmm 有两个不相 等实数根 12 ,x x （1）若 22 12 6xx，求m的值； （2）求 22 12 12 11 mxmx xx 的最大值 13已知关于x的一元二次方程 2 0 xcxa的两个整数根恰好比方程 2 0 xaxb的两个根都大 1，求abc 的值
