1、 中考数学 （河北专用） 第六章 图形与变换 6.1 图形的相似 1.(2017甘肃兰州,1,4分)已知2x=3y(y0),则下列结论成立的是( ) A.= B.= C.= D.= x y 3 23 x2 y x y 2 32 x 3 y 考点一 相似的有关概念 答案答案 A 在等式两边同时除以2y(y0),可得=,故选A. x y 3 2 2.(2017浙江杭州,3,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,则( ) A.= B.= C.= D.= AD AB 1 2 AE EC 1 2 AD EC 1 2 DE BC 1 2 答案答案 B 利用平行线分
2、线段成比例可得=,故选B. AE EC AD BD 1 2 3.(2020吉林,12,3分)如图,ABCDEF.若=,BD=5,则DF= . AC CE 1 2 答案答案 10 解析解析 ABCDEF,=.=,BD=5, DF=10. AC CE BD DF AC CE 1 2 4.(2018四川成都,13,4分)已知=,且a+b-2c=6,则a的值为 . 6 a 5 b 4 c 答案答案 12 解析解析 设=k(k0), 则a=6k,b=5k,c=4k, a+b-2c=6,6k+5k-8k=6. 解得k=2.a=6k=12. 6 a 5 b 4 c 考点二 相似三角形的性质与判定 1.(20
3、20山东潍坊,7,3分)如图,点E是ABCD的边AD上的一点,且=,连接BE并延长交CD的延长线于 点F.若DE=3,DF=4,则ABCD的周长为( ) A.21 B.28 C.34 D.42 DE AE 1 2 答案答案 C =,DE=3,AE=6,AD=AE+DE=6+3=9.四边形ABCD是平行四边形,ABCF, =,AB=8,ABCD的周长=2(AD+AB)=2(9+8)=34. DE AE 1 2 DE AE DF AB 2.(2020海南,12,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E、F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF=AD, 则图中阴影部分的面积为( )
4、A.25 B.30 C.35 D.40 1 2 答案答案 C 过点G作GPBC于P,延长PG交EF于Q,ADBC, EFGCBG, PGGQ=BCEF=ADAD=21, 又PQ=AB=6,PG=4,GQ=2, SBCG=104=20,SEFG=52=5, S矩形ABCD=610=60,S阴影=60-20-5=35.故选C. 1 2 1 2 1 2 解后反思解后反思 本题主要考查了相似三角形的性质,求不规则图形的面积常常将其转化为几个规则图形的 面积的和或差来解决. 3.(2019重庆A卷,3,4分)如图,ABOCDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是( ) A.2 B.3 C.4
5、D.5 答案答案 C ABOCDO,=. OB=6,OD=3,CD=2,=,AB=4,故选C. AB CD OB OD 2 AB6 3 4.(2017河北,7,3分)若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC,则B的度数与其对应角B的度数 相比( ) A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变 答案答案 D ABC的每条边长增加各自的10%即变为原来的1.1倍,得到ABC,根据相似三角形的判定 方法可得ABCABC,所以B=B,故选D. 5.(2018内蒙古包头,12,3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E为BC的中点, AE与
6、BD相交于点F.若BC=4,CBD=30,则DF的长为( ) A. B. C. D. 2 5 3 2 3 3 3 4 3 4 5 3 答案答案 D 如图,连接DE. BD平分ABC,CBD=30,1=2=30. 在RtBCD中,BD=BC cos 30=2. 在RtABD中,AB=BD cos 30=3. E为BC的中点,ED=BE=2,3=2=1. DEAB,AFBEFD, =,即=,DF= .故选D. 3 DE AB DF BF 2 32 3- DF DF 4 5 3 思路分析思路分析 根据题意得,在RtABD和RtBCD中,ABD=CBD=30,由BC=4,求得BD=2,进而求得 AB=
7、3,由E是BC的中点,得ED=BE,进而可得DEAB,所以AFBEFD,进而求出DF的长. 3 解题关键解题关键 本题考查了含30角的直角三角形的性质,三角形相似的判定和性质.解答本题的关键是作出 RtBCD斜边上的中线. 6.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为( ) A.4 B.4 C.6 D.4 23 答案答案 B 由AD是中线可得DC=BC=4. B=DAC,C=C, ADCBAC, =,AC2=BC DC=84=32, AC=4,故选B. 1 2 AC BC DC AC 2 评析评析 本题考查相似三角形的判定与性质,以及三角形的
8、中线,属容易题. 7.(2020河北,26,12分)如图1和图2,在ABC中,AB=AC,BC=8,tan C=.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC 上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始 终保持APQ=B. (1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离; (2)若点P在MB上,且PQ将ABC的面积分成上下45两部分时,求MP的长; (3)设点P移动的路程为x,当0 x3及3x9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示); (4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角APQ扫描APQ区域(含边界),扫描器随点P从
9、M到B再到N共 用时36秒.若AK=,请直接写出点K被扫描到的总时长. 3 4 9 4 图1 图2 解析解析 (1)当APBC时,点P与点A的最短距离为PA的长,如图1. AB=AC,PC=BC=4. 在RtPAC中,tan C=,PA=3. 图1 1 2 3 44 PA (2)由(1)得AB=AC=5. 如图2,由B=APQ,易得APQABC. 图2 =.AP=. 22 APCP 2 AP AB 4 45 10 3 MP=AP-AM=. (3)作PHAC交直线AC于点H,则点P到直线AC的距离为PH的长. 当0 x3时,如图3.由B=APQ,得PQBC, AQP=C. tanAQP=.QH=
10、PH. 在RtQPH中,PQ=PH. 由APQABC,得=,AP=PH. x+2=PH,PH=x+. 4 3 3 4 PH QH 4 3 2 2 4 3 PHPH 5 3 5 AP 5 3 8 PH 25 24 25 24 24 25 48 25 图3 当3x9时,如图4.同理可得PC=PH.x-(5-2)=8-PH. PH=-x+. 5 3 5 3 3 5 33 5 图4 (4)23秒. 提示:设点P移动了t秒,当0t12时,AQ=AP=2+PM=t+2,令AQ=,解得t=1; 当120),易知OBCOEF,所以=,所以=,解得x=1,所以点C的坐标为 (3,2),故选A. 1 3 OB O
11、E BC EF 1 3 2 8 x x 1 3 4.(2019山东滨州,16,5分)在平面直角坐标系中,ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,0),O(0,0).以原 点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,得到CDO,则点A的对应点C的坐标是 . 1 2 答案答案 (-1,2)或(1,-2) 解析解析 在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相 似比为k(k0),那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky). 本题以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,点A的坐标为(-2,4),
12、点C的坐标为或,即(-1,2)或(1,-2). 1 2 11 -2,4 22 11 2,-4 22 5.(2018山东菏泽,13,3分)如图,OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为34,OCD= 90,AOB=60,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是 . 答案答案 (2,2) 3 解析解析 由OAB与OCD位似,相似比为34,B(6,0),得OD=6=8.在RtCOD中,OC=OD=4.作CE OD于点E,在RtOCE中,OE=OC=2,CE=2,C(2,2). 4 3 1 2 1 2 33 1.(2020山西,5,3分)泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提
13、出了命题的证明,泰勒斯曾通 过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们 所学的( ) A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似 教师专用题组 考点一 菱形的性质与判定 答案答案 D 根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例,得到两个三角形相似,进 而推算出金字塔的高度,测量原理是图形的相似.故选D. 2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一 点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是( ) A.= B.= C.= D.=
14、AD AB AE EC AG GF AE BD BD AD CE AE AG AF AC EC 答案答案 C 根据平行线分线段成比例可知=,=,=,=,所以选项A、B、D错 误,选项C正确.故选C. AD AB AE AC AG GF AE EC BD AD CE AE AG AF AE AC 3.(2016浙江杭州,2,3分)如图,已知直线abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线n分别交直线a,b,c 于点D,E,F.若=,则=( ) A. B. C. D.1 AB BC 1 2 DE EF 1 3 1 2 2 3 答案答案 B abc,=,又=,=,故选B. AB BC DE
15、 EF AB BC 1 2 DE EF 1 2 关键提示关键提示 本题考查平行线分线段成比例,关键是找准对应线段. 4.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位线,且EF=2, 则AC的长为 . 答案答案 8 3 解析解析 EF是ODB的中位线,OE=OD=,EFBD,ACBD,EFBD,ACEF,=, =,AC=. 1 2 3 2 AC EF OC OE 2 AC2 3 2 8 3 考点二 相似三角形的性质与判定 1.(2020海南,11,3分)如图,在ABCD中,AB=10,AD=15,BAD的平分线交BC于点E,交DC的
16、延长线于 点F,BGAE于点G,若BG=8,则CEF的周长为( ) A.16 B.17 C.24 D.25 答案答案 A AE平分BAD, DAE=BAE, 又ADBC,BEA=DAE, BEA=BAE, AB=BE=10, BGAE,AE=2AG. 在RtABG中,AGB=90,AB=10,BG=8, AG=6,AE=2AG=12, ABE的周长为10+10+12=32. BE=10,BC=AD=15,CE=BC-BE=15-10=5,BECE=105=21.ABFC,ABEFCE, ABE的周长CEF的周长=BECE=21, CEF的周长=16,故选A. 22 -AB BG 思路分析思路分
17、析 首先依据AE平分BAD,ADBC,可得ABE是等腰三角形,然后根据等腰三角形“三线合 一”的性质得出AE=2AG,利用勾股定理求得AG的长,即可求得AE的长;最后利用ABEFCE,根据 周长比等于相似比即可得到答案. 2.(2017四川绵阳,6,3分)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出 随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗 杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距旗 杆底部D的距离为4 m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置
18、A距离小丽头顶的距离为4 cm, 则旗杆DE的高度等于( ) A.10 m B.12 m C.12.4 m D.12.32 m 答案答案 B 由题意可得ACB=ECD,ABC=EDC, ABCEDC, =,=,ED=12 m,故选B. ED AB CD BC1.54-0.04 ED4 0.5 3.(2020江苏苏州,16,3分)如图,在ABC中,已知AB=2,ADBC,垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点,则EC = . 答案答案 1 解析解析 BD=2DC,=2, E为AD的中点,AD=2DE, =2,=2, ADBC,ADB=EDC=90, ADBEDC,=2, AB=2,EC=1.
19、BD DC AD DE BD DC AD DE AB EC BD DC 解题关键解题关键 本题考查相似三角形的判定与性质,根据两边成比例且夹角相等找到相似三角形是解决本 题的关键. 4.(2020广东广州,15,3分)如图,正方形ABCD中,ABC绕点A逆时针旋转到ABC,AB,AC分别交对角线 BD于点E,F,若AE=4,则EF ED的值为 . 答案答案 16 解析解析 四边形ABCD为正方形,BAC=ADB=45. ABC由ABC旋转所得, BAC=BAC=45. EAF=ADE=45. 又AEF=DEA,AEFDEA, =,EF DE=EA2, AE=4,EF ED=EA2=16. EF
20、 EA AE DE 思路分析思路分析 由题不能直接求出EF,ED的长度,可由已知条件证出AEFDEA,可得=,即EA2= EF DE,将EA=4代入,便可求出EF DE的值. EF EA AE DE 一题多解一题多解 特殊值法.本题只有一个确定数值AE=4,设正方形对角线交点为O,不妨设旋转角为45,则此 时E点和O点重合,F点和D点重合,即EF ED=OD2,AE=AO=DO=4,所以EF ED=16. 5.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若=,则= . AB CD 1 4 OA OC 答案答案 1 4 解析解析 ABCD,A=C,B=D, AOBCOD.=. OA OC AB
21、 CD 1 4 6.(2018内蒙古包头,18,3分)如图,在ABCD中,AC是一条对角线,EFBC,且EF与AB相交于点E,与AC相 交于点F,3AE=2EB,连接DF.若SAEF=1,则SADF的值为 . 答案答案 5 2 解析解析 3AE=2EB,=,又EFBC, AEFABC, =,SAEF=1,SABC=. 在ABCD中,SACD=SABC=,SADF=SACD=. AE AB 2 5 2 AE AB 4 25 25 4 25 4 2 5 5 2 7.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”. 已知点A的坐标为(5,0)
22、,点B在x轴的上方,OAB的面积为,则OAB内部(不含边界)的整点的个数为 . 15 2 答案答案 4或5或6 解析解析 A(5,0),SOAB=,点B在x轴的上方,点B的纵坐标为3.设边OB,AB分别与直线y=1交于点E,F,与 直线y=2交于点C,D,则BC=CE=EO,CDEFOA,CD=OA=,EF=OA=,线段CD可以覆盖1个 或2个整点,线段EF可覆盖3个或4个整点,OAB内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6. 15 2 1 3 5 3 2 3 10 3 8.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则BD
23、长为 . 5 答案答案 2 41 解析解析 如图,连接AC,过点D作DEBC,交BC的延长线于E.ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5,CD=10, DA=5,AC2+CD2=AD2,ACD=90,ACB+DCE=90,ACB+BAC=90,BAC=DCE, 又ABC=DEC=90,ABCCED,=,即=,CE=6,DE=8. 在RtBED中,BD=2. 5 AC CD AB CE BC DE 5 10 3 CE 4 DE 22 BEDE 22 (46)841 9.(2019陕西,20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小 组的同学们带着测量工
24、具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是, 他们先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45; 再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方 向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与 地面的距离EF=1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均 垂直于FB,求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计) 解析解析 过点C作CHAB于点H, 则CH
25、=BD,BH=CD=0.5.(1分) 在RtACH中,ACH=45, AH=CH=BD. AB=AH+BH=BD+0.5.(2分) EFFB,ABFB, EFG=ABG=90. 由题意,易知EGF=AGB, EFGABG.(4分) =,即=.(5分) 解之,得BD=17.5.(6分) AB=17.5+0.5=18. 这棵古树的高AB为18 m.(7分) EF AB FG BG 1.6 0.5BD 2 5BD 思路分析思路分析 首先在RtACH中利用45角求出AH=BD,并用含BD的式子表示AB,然后证明EFG ABG,利用相似三角形的性质得出含BD的比例式,进而求出BD的长,最后求出古树AB的
26、高度. 解题关键解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找 准三角形. 10.(2016湖北武汉,23,10分)在ABC中,P为边AB上一点. (1)如图1,若ACP=B,求证:AC2=AP AB; (2)若M为CP的中点,AC=2. 如图2,若PBM=ACP,AB=3,求BP的长; 如图3,若ABC=45,A=BMP=60,直接写出BP的长. 图1 图2 图3 解析解析 (1)证明:ACP=B,A=A, ACPABC.(2分) =,AC2=AP AB.(3分) (2)解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD. M为CP的中点,CDMB,D
27、=PBM,(4分) PBM=ACP, AC AP AB AC D=PBM=ACP. 易得AC2=AP AD,(5分) 设BP=x(x0),则22=(3-x)(3+x). 解得x=(舍去负根),即BP=.(7分) 解法二:取AP的中点E,连接EM. M为CP的中点,MEAC,EM=AC=1.(4分) PME=ACP, PBM=ACP,PME=PBM. 易得EM2=EP EB,(5分) 55 1 2 设BP=x(x0),则12=. 解得x=(舍去负根),即BP=.(7分) BP=-1.(10分) 3- 2 x3- 3- 2 x 55 7 考点三 图形的位似 1.(2020重庆A卷,8,4分)如图,
28、在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点 为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF与ABC成位似图形,且相似比为21,则线段DF的长度 为( ) A. B.2 C.4 D.2 55 答案答案 D 由题可知:AB=1,BC=2,AC=,因为DEF与ABC成位似图形,且相似 比为21,则DF=2AC=2,故选D. 22 ABBC 22 12 5 5 2.(2018山东潍坊,8,3分)在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把AOB 放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为( ) A.(2m,2n) B.(2m,2n)
29、或(-2m,-2n) C. D.或 11 , 22 mn 11 , 22 mn 11 -,- 22 mn 答案答案 B 当放大后的AOB与AOB在原点O同侧时,点P的对应点的坐标为(2m,2n),当放大后的 AOB与AOB在原点O两侧时,点P的对应点的坐标为(-2m,-2n),故选B. 3.(2016湖北十堰,5,3分)如图,以点O为位似中心,将ABC缩小后得到ABC,已知OB=3OB,则ABC 与ABC的面积比为( ) A.13 B.14 C.15 D.19 答案答案 D OB=3OB,=, 以点O为位似中心, 将ABC缩小后得到ABC, ABCABC,=. =,故选D. OB OB 1 3
30、 AB AB OB OB 1 3 2 AB AB 1 9 4.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则= . OE OA 3 5 FG BC 答案答案 3 5 解析解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似, OEFOAB,OFGOBC, =,=. OF OB OE OA 3 5 FG BC OF OB 3 5 5.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网 格线的交点. (1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点
31、分别为 A1,B1).画出线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1; (3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位. 解析 (1)线段A1B1如图所示.(3分) (2)线段A2B1如图所示.(6分) (3)20.(8分) 提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为=2,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2 的面积为(2)2=20(个平方单位). 22 425 5 一、选择题(每小题3分,共15分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:38分 1.(202
32、0河北九地市一模改编)如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD相交 于点F,DEEC=23,则SDEFSABF等于( ) A.425 B.49 C.925 D.23 答案答案 A 四边形ABCD是平行四边形,DCAB,CD=AB. DFEBFA,=, DEEC=23,DEDC=DEAB=25,SDEFSABF=425,故选A. 2 DE AB 2.(2020保定莲池一模,10)如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所 成的角AMC=30,窗户的高在教室地面上的影长MN=2米,窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米 (点M、N、C在同一
33、直线上),则窗户的高AB为( ) A.米 B.3米 C.2米 D.1.5米 3 3 答案答案 C BNAM,AMC=BNC=30, 又C=90,BC=1米,BN=2米,CN=米. AMBN,NBCMAC,CNCM=BCAC, =,解得AC=3米.AB=AC-BC=2米.故选C. 3 3 32 3 1 AC 3.(2019石家庄质检,13)若ABC的每条边长增加各自的50%得ABC,若ABC的面积为4,则ABC 的面积是( ) A.9 B.6 C.5 D.2 答案答案 A 易得三角形各边增加前后对应边的比为23,根据相似三角形的性质可得SABCSABC=49, 因为ABC的面积为4,所以ABC的
34、面积为9,故选A. 4.(2018石家庄长安质检,15)如图,将ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形DECB,若ED BC,四边形DECB各边的长度如图所示,则剪出的小三角形ADE应是( ) 答案答案 C DEBC, ADEABC, =. =, 解得AD=9,显然选项C中的小三角形符合,故选C. AD AB DE BC 12 AD AD 6 14 5.(2018石家庄裕华一模,8)李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能帮 他调整过来吗?证明步骤正确的顺序是( ) 已知:如图,在ABC中, 点D,E,F分别在边AB,AC,BC上, 且DEBC,DFAC.
35、求证:ADEDBF. 证明: DFAC, DEBC, A=BDF, ADE=B, ADEDBF. A. B. C. D. 答案答案 B DEBC,ADE=B, DFAC,A=BDF,ADEDBF. 证明顺序应为(或),故选B. 二、填空题(共3分) 6.(2020唐山乐亭毕业生学业考试,20)在ABC中,AD是BC边上的高,BC=12,AD=8.正方形EFGH的顶 点E、F分别在AB、AC上,H、G在BC上.那么正方形EFGH的边长是 . 答案答案 4.8 解析解析 四边形EFGH是正方形,EFBC,EF=HG=EH,AEFABC, 又ADBC,=, 设EH=x,则AK=8-x,=, 解得x=
36、4.8, EH=4.8.正方形EFGH的边长为4.8. AK AD EF BC 8- 8 x 12 x 三、解答题(共20分) 7.(2020保定莲池一模,24)已知在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q 作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P. (1)当点P在线段AB上时,求证:AQPABC; (2)当PQB为等腰三角形时,求AP的长. 图1 图2 解析解析 (1)证明:PQAQ,AQP=90, A=A,AQP=ABC,AQPABC. (2)在RtABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得AC=5. 当点P在线段AB上时,
37、如题图1所示. QPB为钝角,当PQB为等腰三角形时,只能是PB=PQ, 由(1)可知,AQPABC, =,即=,解得PB=,AP=AB-PB=3-=; 当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示. QBP为钝角,当PQB为等腰三角形时,只能是PB=BQ. BP=BQ,BQP=P, BQP+AQB=90,A+P=90,AQB=A,BQ=AB, AB=BP,点B为AP的中点,AP=2AB=23=6. 综上,AP的长为或6. AP AC PQ CB 3- 5 PB 4 PB4 3 4 3 5 3 5 3 8.(2019石家庄十八县二模,23)如图,直线a直线b,点M,N分别为直线a和直线b上的点,
38、连接MN,1=70,点P是 线段MN上一动点,直线DE始终经过点P,且与直线a,b分别交于D,E,设NPE=. (1)证明:MPDNPE; (2)当MPD与NPE全等时,直接写出点P的位置; (3)当NPE是等腰三角形时,求的值. 解析 (1)证明:ab,1=PNE. 又MPD=,MPDNPE.(4分) (2)当MPD与NPE全等时,点P是MN的中点.(6分) (3)当PN=PE时,PN=PE,PNE=PEN=1=70, =180-PNE-PEN=180-70-70=40; 当EP=EN时,EP=EN, =PNE=1=70; 当NP=NE时,NP=NE, =PEN= = = =55. 综上,=
39、40或70或55.(9分) 一、选择题(每小题3分,共18分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:37分 1.(2020石家庄十八县模拟,5)如图,以点O为位似中心,把ABC的各边放大为原来的2倍得到ABC,以 下说法中错误的是( ) A.ABCABC B.C、O、C三点在同一直线上 C.AOAA=12 D.ABAB 答案答案 C 以点O为位似中心,把ABC的各边放大为原来的2倍得到ABC, ABCABC;C、O、C三点在同一直线上; OAOA=12,则OAAA=13;ABAB.故选C. 解后反思解后反思 位似变换的两个图形必须相似;对应点所在直线都经过位似中心;对应
40、边互相平行. 2.(2020唐山开平复学考试改编)如图,在梯形ABCD中,ABDC,ABC=90,AB=4,CD=1,BC=4.在BC上取 一点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似,这样的点P有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案答案 B ABDC,ABC=90,B=C=90, 若ABPPCD,则=,即=,解得BP=2; 若ABPDCP,则=,即=,解得BP=. 所以这样的点P有2个,故选B. AB PC BP CD 4 4-BP1 BP AB DC BP CP 4 14- BP BP 16 5 3.(2020石家庄模拟,15)如图,B,E,C三点
41、共线,AC交ED于点F,且ABDE,若ABC与DEC的面积相等, 且EF=9,AB=12,则DF=( ) A.7 B.10 C.12 D.15 答案答案 A ABDE,ABCFEC,=. 又ABC与DEC的面积相等,=,=. DE=16,DF=DE-EF=16-9=7,故选A. 2 EF AB 2 9 12 9 16 9 16 EF DE 9 16 4.(2019邯郸一模,15)如图,在一直角三角形草坪上开辟出一块正方形花圃,正方形中有三个顶点在直角 边上,一个顶点落在斜边上,且把斜边分成5米和10米两部分,则剩余草坪面积的总和为( ) A.15平方米 B. 平方米 C.25平方米 D.50平
42、方米 75 4 答案答案 C 如图,四边形CDEF是正方形,DEBC,ADE=90,EFB=90, AED=B,ADEEFB,=,AE=5米,BE=10米,FB=2DE=2EF, DE FB AE BE 根据勾股定理可得EF2+FB2=BE2,解得EF=2米,FB=4米,SEFB=24=20平方米,同理可得 SADE=5平方米,剩余草坪面积的总和为SADE+SEFB=5+20=25平方米,故选C. 55 1 2 55 5.(2019唐山路北一模,12)有这样一道题:如图,在正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E,F,G分别在AB, BC,FD上,连接DH,如果BC=12,BF=3,求
43、tanHDG的值.以下是排乱的解题步骤: 求出EF、DF的长;求出tanHDG的值; 证明BFE=CDF;求出HG、DG的长; 证明BEFCFD.解题步骤正确的顺序是( ) A. B. C. D. 答案答案 C 正确的解题步骤应该是证明BFE=CDF;证明BEFCFD;求出EF、DF的长; 求出HG、DG的长;求出tanHDG的值.故选C. 思路分析思路分析 根据正方形的性质可得B=C=90,EFG=90,BC=CD,GH=EF=FG,然后求出EFB= FDC,再根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出BEFCFD,进而求出EF和DF,然后根据正 方形的性质求出HG和DG,即可得出结果. 解题
44、关键解题关键 熟记相似三角形的判定方法是解题的关键. 6.(2019保定一模,13)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ACB的平分线交AB、BD于M、 N两点,若AM=2,则线段ON的长为( ) A. B. C.1 D. 2 2 3 2 6 2 答案答案 C 过点M作MHAC,垂足为H, AHM=90.四边形ABCD为正方形, CAB=45,ACBD, AHM是等腰直角三角形. AM=2,AH=HM=. CM平分ACB,MHAC,MBBC,MB=MH=. AB=AM+MB=2+,AC=2+2. CH=AC-AH=+2.MHON,CONCHM. =,即=,解得ON=1. 2 2
45、22 2 CO CH ON MH 21 22 2 ON 解后反思解后反思 本题考查了相似三角形的判定与性质,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的 公共角、公共边等隐含条件,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形. 二、填空题(每小题3分,共9分) 7.(2020邯郸永年一模改编)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,正方形的边长为10, AE=ED,DFDC=14,连接EF并延长交BC的延长线于点G.则BG的长为 . 答案答案 25 解析解析 四边形ABCD是正方形,CB=AD=CD=10, AE=DE=5,又DFDC=14,DFCF=13, ADB
46、C,DEFCGF,=,即=. CG=15,BG=BC+CG=10+15=25. DF CF DE CG 1 3 5 CG 解题关键解题关键 熟练运用相似三角形的判定和性质是解决问题的关键. 8.(2019唐山丰南一模,19)如图,在ABC中,AB=AC,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论: ADFFEC;四边形ADEF为菱形;SADFSABC=14.其中正确的结论是 .(填写所有正 确结论的序号) 答案答案 解析解析 D、E、F分别为AB、BC、AC的中点, DE、DF、EF为ABC的中位线, AD=AB=FE,AF=AC=FC,DF=BC=EC. 在ADF和FEC中, ADF
47、FEC(SSS),结论正确. E、F分别为BC、AC的中点, EF为ABC的中位线, EFAB,EF=AB=AD, 四边形ADEF为平行四边形, AB=AC,D、F分别为AB、AC的中点, 1 2 1 2 1 2 , , , ADFE AFFC DFEC 1 2 AD=AF, 四边形ADEF为菱形,结论正确. D、F分别为AB、AC的中点, DF为ABC的中位线, DFBC,DF=BC, ADFABC, =,结论正确. 1 2 2 DF BC 1 4 思路分析思路分析 根据三角形中位线定理可得出AD=FE,AF=FC,DF=EC,进而可证出ADFFEC(SSS), 结论正确;根据三角形中位线定理可得出EFAB,EF=AD,进而可得出四边形ADEF为平行四边形, 由AB=AC及D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形,结论正确; 根据三角形中位线定理可得出DFBC,DF=BC,进而可得出ADFABC,再利用相似三角形的性 质可得出=,结论正
