1、6.2 直线、射线、线段6.2.2 线段的比较与运算线段的比较与运算学习目标学习目标1.通过通过学生自主探究，会用尺规作图，理解线段的长短、学生自主探究，会用尺规作图，理解线段的长短、和、差、中点的几何意义及数量关系，并会用文字语言、和、差、中点的几何意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述，提高学生的自主学图形语言、符号语言进行综合描述，提高学生的自主学习能力和语言描述能力习能力和语言描述能力2通过对图形的分析，会利用线段的和、差、中点等知识通过对图形的分析，会利用线段的和、差、中点等知识进行初步的推理与计算，体会分类讨论的思想，提高学进行初步的推理与计算，体会分类讨论
2、的思想，提高学生的推理能力生的推理能力重点重点难点难点新知导入新知导入活动导入活动导入同学们，请你在草稿纸上画一条线段同学们，请你在草稿纸上画一条线段AB.你能在草稿纸上作出一条同样大小的线段吗？你能在草稿纸上作出一条同样大小的线段吗？你是怎么做的？你是怎么做的？同学们，请你们观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段同学们，请你们观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和和b的长短吗的长短吗？情境导入情境导入事实上，这三组图形中，线段a和b的长度是相等的.很多时候，眼见未必为实，准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.ab同学们，老师这里有一个问题：同学们，老师这里有一个问题：做手工时，在没
3、有刻度尺的条件下，若想从较长的做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍木棍上上截下一段，使其等于短木棒，你有什么办法吗？截下一段，使其等于短木棒，你有什么办法吗？问题导入问题导入思考思考：在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，大家想想办法，：在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，大家想想办法，如何画出一条与已知线段相等的线段？如何画出一条与已知线段相等的线段？提示提示：圆规可截取任意长度，相当于可以移动的圆规可截取任意长度，相当于可以移动的“小木棍小木棍”.结论：通过移动、对齐，可以在长木棒上结论：通过移动、对齐，可以在长木棒上“截取截取”相等长相等长度的短木棒度的短木棒.自主探究自主探究1.
4、阅读课本阅读课本164166页，思考并回答以下问题：页，思考并回答以下问题：如图，已知线段如图，已知线段a，画一条线段，画一条线段AB等于线段等于线段a.(请注意标上字请注意标上字母和结论母和结论)用刻度尺画图，如图，用刻度尺画图，如图，AB就是所求作的线段就是所求作的线段根据课本根据课本164页示范，用圆规和无刻度的直尺画图，页示范，用圆规和无刻度的直尺画图，如图，如图，AB就是所求作的线段就是所求作的线段2线段的长短比较有两种方法：线段的长短比较有两种方法：(用用“”“”或或“”填空填空)(1)叠合法：把其中一条线段移到另一条上作比较叠合法：把其中一条线段移到另一条上作比较如图如图，AB_
5、CD；如图；如图，AB_CD；如图；如图，AB_CD.(2)度量法：量出两条线段的长度进行比较度量法：量出两条线段的长度进行比较如图如图，量出，量出AB_cm，CD_cm，则，则AB_CD；如图如图，量出，量出AB_cm，CD_cm，则，则AB_CD；如图如图，量出，量出AB_cm，CD_cm，则，则AB_CD.2.33.43(1)两点的所有连线中，两点的所有连线中，_简单说成：简单说成：_(2)连接两点的线段的长度，叫作这两点间的连接两点的线段的长度，叫作这两点间的_线段最短线段最短两点之间，线段最短两点之间，线段最短距离距离小组讨论小组讨论例例1.如图，已知线段如图，已知线段a、b，尺规作
6、图：，尺规作图：(1)画一条线段画一条线段ACab；(根据下列作法画出图形根据下列作法画出图形)作法：作法：用直尺画直线用直尺画直线l；用圆规在直线用圆规在直线l上截取线段上截取线段ABa(点点B在点在点A的右侧的右侧)；用圆规在直线用圆规在直线l上截取线段上截取线段BCb(点点C在点在点B的右侧的右侧)；则线段则线段AC即为所求即为所求(2)画一条线段画一条线段MNab；(3)画一条线段画一条线段PQ2ab.尺规作图略尺规作图略例例2.(1)如图，点如图，点C在线段在线段AB上，上，AC8 cm，CB6 cm，点，点M、N分别是分别是AC、BC的中点求的中点求MN的长的长；(2)若若C为线段
7、为线段AB上任意一点，满足上任意一点，满足ACCBa cm，点，点M、N分别是分别是AC、BC的中点，请猜想的中点，请猜想MN的长的长MN7 cmMN a cm(3)若若C在线段在线段AB的延长线上，且满足的延长线上，且满足ACCBb cm，点，点M、N分别是分别是AC、BC的中点，请猜想的中点，请猜想MN的长，并画出图形，的长，并画出图形，说明理由说明理由小组展示提疑惑提疑惑：你有什么疑惑？你有什么疑惑？知识讲解知识讲解1尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图这就是尺规作图2画一条线段等于已知线段：画一条
8、线段等于已知线段：画法一画法一(尺规作图尺规作图)：如图所示，先用直尺画射线如图所示，先用直尺画射线AC，再用圆规，再用圆规在射线在射线AC上截取上截取ABa.画法二画法二(测量长度测量长度)：先量出线段先量出线段a的长度的长度，再再画一条等于这个长度的线段画一条等于这个长度的线段知识点知识点1 1：线段的画法及长短比较：线段的画法及长短比较(重点重点)3线段的长短比较：线段的长短比较：(1)线段长短比较的线段长短比较的实质是线段的长度的比较实质是线段的长度的比较(2)线段长短的比较方法：线段长短的比较方法：度量法度量法(数数)：用刻度尺量出线段的长度，根据长度大小来比较，用刻度尺量出线段的长
9、度，根据长度大小来比较，长度大的线段较长，长度相等时两线段相等长度大的线段较长，长度相等时两线段相等叠合法叠合法(形形)：比较两条线段比较两条线段AB与与CD的长短，可以把线段的长短，可以把线段AB移移到线段到线段CD上，使点上，使点A与点与点C重合，点重合，点B与点与点D在重合点的同一侧在重合点的同一侧1线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短简单说成：线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短简单说成：两点之间，线段最短两点之间，线段最短2两点间的距离：连接两点的线段的长度两点间的距离：连接两点的线段的长度知识点知识点2 2：线段的性质及两点间的距离：线段的性质及两点间的距离(重点重点)
10、注：注：线段是一个图形，两点间的距离是指线段的长度，是一个线段是一个图形，两点间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是线段本身，因此不能说数值，而不是线段本身，因此不能说“A，B两点间的距离是线两点间的距离是线段段AB”，而应该说，而应该说“A，B两点间的距离是线段两点间的距离是线段AB的长度的长度”知识点知识点3 3：尺规作线段的和与差：尺规作线段的和与差(难点难点)条件条件图形图形作法作法 结论结论 用圆规在射线用圆规在射线AE上截取线段上截取线段ABa，再在射线再在射线BE上截上截取线段取线段BCb线段线段AC是线是线段段a、b的和，的和，即即ACab用圆规在射线用圆规在射线AE上截取
11、线段上截取线段ABa，再在线段再在线段AB上截上截取线段取线段BDb线段线段AD是线是线段段a、b的差，的差，即即ADab注：注：进行线段的和、差作图时，要掌握画一条线段等于已知线进行线段的和、差作图时，要掌握画一条线段等于已知线段的方法，作图时作图痕迹要保留，并且结论必须写明哪条线段的方法，作图时作图痕迹要保留，并且结论必须写明哪条线段是所求作的线段段是所求作的线段1线段的中点：线段的中点：如图，点如图，点M在线段在线段AB上，上，AMBM，点，点M叫作线叫作线段段AB的中点的中点.应用：应用：因为点因为点M是线段是线段AB的中点，所以的中点，所以AMBM AB，AB2AM2BM.知识点知识
12、点4 4：线段的中点及等分点：线段的中点及等分点(难点难点)2线段的等分点：线段的等分点：如如图图所示，所示，B，C是线段是线段AD上的两点上的两点，且且ABBCCD AD或或AD3AB3BC3CD，我们我们称点称点B，C是线段是线段AD的三等分点的三等分点类似类似地，还有线段的四等分点地，还有线段的四等分点，如如图图所示所示，ABBCCDDE AE或或AE4AB4BC4CD4DE.典例精讲典例精讲【题型一题型一】线段的长短比较线段的长短比较例例1：如图，用圆规比较两条线段：如图，用圆规比较两条线段AB和和AB的长短，结论正确的的长短，结论正确的是是()AABAB BABABCABAB D没有
13、刻度尺，无法确定没有刻度尺，无法确定C变式：为比较线段变式：为比较线段AB、CD的长短，小明将点的长短，小明将点A与点与点C重合，使两条重合，使两条线段在一条直线上，点线段在一条直线上，点B在在CD的延长线上，则的延长线上，则()AABCD CABCD D以上都有可能以上都有可能B例例2：下列说法正确的是：下列说法正确的是()A过过A，B两点的直线的长度是两点的直线的长度是A，B两点之间的距离两点之间的距离B线段线段AB就是就是A，B两点之间的距离两点之间的距离C在连接在连接A，B两点的所有线中，最短线的长度是两点的所有线中，最短线的长度是A，B两点两点之间的距离之间的距离D乘火车从上海到北京
14、要行驶乘火车从上海到北京要行驶1 463千米，这就是说上海站千米，这就是说上海站与北京站之间的距离是与北京站之间的距离是1 463千米千米C【题型二题型二】两点间的距离两点间的距离变式：如图，变式：如图，C，D是线段是线段AB上两点若上两点若AC3，点，点C是线段是线段AD的中点，的中点，AB10，则，则B，D两点之间的距离是两点之间的距离是_4例例3：下列四个现象中，可用：下列四个现象中，可用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”来解释的来解释的现象有现象有()用两个钉子就可以把木条固定在墙上；用两个钉子就可以把木条固定在墙上；植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所植树时，只要确
15、定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；在的直线；从从A地到地到B地架设电线，总是尽可能地沿着直线架设；地架设电线，总是尽可能地沿着直线架设；把弯曲的公路改直，就能缩短路程把弯曲的公路改直，就能缩短路程A B C DD【题型三题型三】线段的性质线段的性质变式：如图，变式：如图，A，B是公路是公路(直线直线l)两旁的两个村庄若两个村庄要两旁的两个村庄若两个村庄要在公路上合修一个汽车站，使它到在公路上合修一个汽车站，使它到A，B两个村庄的距离之和最两个村庄的距离之和最小，试在直线小，试在直线l上标上标出汽车站的位置，并说明作图依据出汽车站的位置，并说明作图依据解：如图，连接解：如图，连接AB交
16、直线交直线l于点于点P，则点，则点P即为汽车站的位置依即为汽车站的位置依据：两点之间，线段最短据：两点之间，线段最短lBA例例4：如图：如图(1)ADAB_AC_BC_；(2)ABAD_AC_BC_；(3)ACBDAD_【题型四题型四】线段的和与差线段的和与差BDCDABCDBDBCADCDBC例例5：如图，已知线段：如图，已知线段a，b，求作线段，求作线段AB2ab.不写步骤，不写步骤，保留作图痕迹保留作图痕迹解：如图，线段解：如图，线段AB即为所求作即为所求作【题型五题型五】尺规作图尺规作图例例6：点：点B在线段在线段AC上，下列关系式：上，下列关系式：AB AC；ABBC；AC2BC；A
17、BBCAC.其中能表示点其中能表示点B是线段是线段AC的中点的有的中点的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个【题型六题型六】线段的中点及等分点线段的中点及等分点C课堂小结课堂小结1.比较比较两条线段长短的方法：两条线段长短的方法：度量法，叠合法度量法，叠合法2基本作图基本作图：作一条线段等于已知线段：作一条线段等于已知线段3线段的中点线段的中点：因为因为点点M是线段是线段AB的中点，所以的中点，所以AMBM AB或或AB2AM2BM.4线段的线段的和、差、倍、分和、差、倍、分同学们，这是我们第一次接触线段的运算，一定要多观察，同学们，这是我们第一次接触线段的运算，一定要多观察，没图的时候先画图，能帮助我们更直观地解决问题没图的时候先画图，能帮助我们更直观地解决问题
