1、高二下学期第三次月考数学科试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合，则（）ABCD2已知函数，则（）A3B6C9D123“”是“为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4的展开式中，含项的系数为，则（）A1BCD5现有两筐排球，甲筐中有10个白色球、5个红色球，乙筐中有4个黄色球、6个红色球、5个黑色球.某排球运动员练习发球时，在甲筐取球的概率为0.6，在乙筐取球的概率为0.4.若该运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球的概率为（）A0.73B0.36C0.32D0.286定
2、义在上的偶函数满足，且，则的值为（）ABCD7随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，）支持不支持男生女生通过计算有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为（）附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A15B65C16D668古印度数学家婆什伽罗
3、在丽拉沃蒂一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（）A15B20C24D27二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9若正实数a，b满足，则（）ABCD10某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱独奏独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，
4、比赛评分采取10分制某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表对学生网络评分按分成三组，其频率分布直方图如图所示教师评委ABCDEFG有效评分9.69.19.48.99.29.39.5则下列说法正确的是（）A现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同B估计全校有1200名学生的网络评分在区间内C在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7D从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则11如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，点为圆弧上一动点（点与点不重合），则（）A存在值，使得B三棱锥体积的最
5、大值为C当时，异面直线与所成角的余弦值为D当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12已知集合，若，则的值为 .13若，且，则 .14如图，一张纸的长，宽，.M，N分别是AD，BC的中点.现将沿BD折起，得到以A，B，C，D为顶点的三棱锥，则三棱锥的外接球O的半径为 ；在翻折的过程中，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是 .四本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.15已知命题：“，使得不等式成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合A；(2)设不等式的解集为B，若是的充分条件，求实数a的取值范围.16202
6、0年11月，国务院办公厅印发新能源汽车产业发展规划（2021-2035年），要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，.(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；(2)已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业
7、的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本）参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.17如图，已知六面体的面为梯形，棱平面，为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.18某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：等级一等二等三等利润（万元/每件）0.80.6-0.3(1)求生产两件产品中至少有
8、一件一等品的概率；(2)求该公司每天所获利润（万元）的数学期望；(3)若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n件产能，其成本也将相应提升（万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.（）19如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，.是棱PD上的点，且四面体的体积为(1)证明：；(2)若过点C，M的平面与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值.1D【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】，所以.故选：D.2C【解析】由分段函数的表达式，代入即可求解.【详解】由，所以.故选：C【点睛】本题考查了对数
9、式的运算性质、分段函数求函数值，属于基础题.3A【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】为奇函数，此式子对于定义域内的任意皆成立，必有则故“”是“为奇函数”的充分不必要条件,正确.故选：4C【分析】先求出的通项公式，然后整理出项的系数，根据系数相等可得答案.【详解】的展开式的通项公式为，令，可得；所以含项的系数为，即，解得.故选：C.5B【分析】设事件“运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球”，事件“运动员从甲筐球中取球”， 事件“运动员从乙筐球中取球”，计算出，由全概率公式可得答案.【详解】设事件“运动员从这两筐球中任取一个排球，则取
10、到红色排球”，事件“运动员从甲筐球中取球”， 事件“运动员从乙筐球中取球”，由题意可得，由全概率公式可得.故选：B.6D【分析】根据题意可判断是以4为周期的周期函数，即可利用周期性和奇偶性求解.【详解】由为偶函数且得，所以是以4为周期的周期函数，所以，故选：D.7D【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可.【详解】因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以，即，因为函数在时单调递增，且，所以的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为.故选：D.8D【分析】根据题意可得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列
11、，从而得到，然后将分离出来，再结合基本不等式即可得到结果.【详解】由题意可知，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，所以2.由，得，整理得对任意，且恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数的最大值为27.故选：D.9BCD【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断B；由题意可得，再利用基本不等式中“1”的等量代换即可判断C；将两边平方，再利用作差法即可判断D.【详解】对于A，当时，满足，故A错误；对于B，由，得，所以或（舍去），所以，当且仅当时，取等号，故B正确；对于C，由，得，则，当且仅当，即时，取等号，故C正确；对于D，由，得，则，当且仅当时，取等号，所以，故D正确.故
12、选：BCD.10ABD【分析】根据中位数概念判断A，由频率分布直方图估计样本容量判断B，由极差概念判断C，由二项分布求出期望判断D【详解】去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，A正确；因为学生网络评分在区间内的频率为0.3，学生总人数为4000，则网络评分在区间内的学生估计有人，B正确；若去掉的一个最高分为9.6，去掉的一个最低分为8.9，则9名教师原始评分的极差等于0.7，C错误；学生网络评分在区间内的频率为0.5，则，所以，D正确；故选：ABD11BCD【分析】利用线面垂直的性质即可判断选项A；根据棱锥的体积计算公式判断选项B；建立空间直角坐标系，利用空间向
13、量的夹角公式判断选项C；利用线面垂直的性质以及勾股定理和基本不等式即可判断选项D.【详解】对于选项，由题意知，若，平面，则平面，所以，不成立，故不正确；对于选项，在三棱锥中，半圆面，则是三棱锥的高，当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积取得最大值，三棱锥的体积取得最大值为，故选项B正确；对于选项C：当时，则为的中点，以的中点为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则,，可得，则，故异面直线与所成角的余弦值为，所以正确；对于选项，取的中点，过点作于点，连接，由题意知，平面，平面，又因为，平面，可得平面，所以为在平面内的射影，则为直线与平面所成的角，设，则，在Rt中，所以，故，令，则，且，所以，当且
14、仅当，即时取等号，所以，则，所以直线与平面所成最大角的正弦值为，此时，所以，连接，因为平面，平面，所以，因为为正方形，所以，在中，可得，在中，可得，则，因为，所以点为四棱锥外接球的球心，因为，由，解得，所以球心到面的距离，设截面半径为，则有，所以截面面积为，故D正确. 故选：BCD.12#【分析】由题知，进而根据集合关系求解即可.【详解】由得，所以或，解得或，因为，所以.故答案为：13#【分析】根据正态分布的对称性，列式求解.【详解】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为，由正态分布的对称性可得.故答案为：14 【分析】利用外接球球心为两个平面的外接圆圆心的交点，可知三棱锥的外接球O的球心O在BD
15、的中点，即可求出半径；分析直线MN被球O截得的线段长与二面角的大小有关，求出二面角在临界值时的情况，即可得到线段长的取值范围.【详解】解：由于和都是直角三角形，所以两个面的外接圆圆心都在BD的中点处，因此三棱锥的外接球O的球心O在BD的中点，则半径，直线MN被球O截得的线段长与二面角的大小有关，当二面角接近时，直线MN被球O截得的线段长最长，趋于直径，当二面角接近时，直线MN被球O截得的线段长最短，如图翻折后，此时，所以则，由相似比可得，所以，直线MN被球O截得的线段长，综上直线MN被球O截得的线段长的取值范围是，故答案为：；.15(1)(2)【分析】（1）分离参数得，利用二次函数的图象与性质
16、即可得到答案；（2）因式分解得，设，证明出，从而得到的解集，则得到不等式，解出即可.【详解】（1）由，使得不等式成立，所以因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，当时，所以，.（2）由可得.设，令，单调递递减，单调递增，所以，所以从而或，因为是的充分条件，则，则，即；实数的取值范围是.16(1)(2)当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值【详解】（1）令，则y关于u的线性回归方程
17、为，由题意可得，则，所以，y关于x的回归方程为.（2）由可得，年利润，当时，年利润M取得最大值，此时，所以，当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值17(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面的法向量后利用线面角的向量公式直接求解即可.【详解】（1）因为平面ABCD，所以，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面的法向量为，则，令，解得，故，所以，故，又平面，所以平面.（2）由（1）得设平面的法向量为则，令，解得，故所以，设直线与平面所成的角为，则又，所以.18(1)0.75(2)1.22（万元）(3)
18、不该增产，理由见解析.【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算；（2）先分析 的可取值，再按步骤写出分布列，根据数学期望公式求解；（3）分析当产品的数量增加n件时的净利润，根据净利润决策.【详解】（1）设一件产品是一等品为事件A，则一件产品不是一等品为事件 ， ，2件产品至少有1件为一等品事件为 ，其概率 ；（2）设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C，则 ，则可取的值为 ， ， , ， , ,其分布列为： -0.60.30.51.21.41.6 0.010.080.10.160.40.25数学期望 （万元）；（3）由（2）可知，每件产品的平均利润为 （万元），则增加n件产品，
19、利润增加为万元），成本也相应提高 （万元），所以净利润 ， ，设 ，则 ，当 时，是增函数，当 时，是减函数 ，在取得最大值，又 ，只能取整数， 或时可能为最大值 ， ，即在 取得最大值时也是亏本的，所以不应增加产量；19(1)证明见解析；(2).【分析】（1）解法一：取AB中点O，连接PO，CO.推导得到平面，平面PBC，根据体积即可得出答案；解法二：先证明平面PAB. 过M作交AP于点N，证明得到平面PBC，根据体积即可得出答案；（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向
20、量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.【详解】（1）解法一：如图1，取AB中点O，连接PO，CO.因为，所以，.又因为是菱形，所以，.因为，所以，所以.又因为平面，平面ABCD，所以平面.因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因为，所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，所以.解法二：如图2，取AB中点O，连接PO，CO，因为，所以，又因为是菱形，所以，.因为，所以，所以.因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.所以，.过M作交AP于点N，所以.又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因为，所以，所以N
21、是PA的中点，所以M是PD的中点，所以.（2）解法一：由（1）知，.如图3，以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，所以，.因为，设，则，因为，故存在实数a，b，使得，所以，解得，所以.设平面的法向量为，则，即，取，得到平面的一个法向量.设平面与平面夹角是，又因为是平面的一个法向量，则.所以平面与平面夹角的余弦值是.解法二：由（1）知，如图3，以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，则，即.取，得到平面的一个法向量.因为，设，则，因为，所以，所以设平面的法向量为，则，即.取，得到平面的一个法向量.设平面与平面夹角是，又因为是平面的一个法向量，则.所以平面与平面夹角的余弦值是.解法三：在平面内，过C作交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，因为是菱形，所以.如图4，在平面PAD内，作交EM的延长线于点，设交AP于点Q.所以，四边形是平行四边形，.所以，所以，所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点.如图5，在平面PAB内，作，交AB于T，因为平面，所以平面，所以，因为，在平面内，作，交BC于点N，连接QN，过A作交BC于K，在中，所以，所以，因为，且两直线在平面内，所以平面，因为平面，所以.所以是二面角的平面角.在中，所以.所以平面与平面夹角的余弦值是.
