1、第4章习题答案4-1解：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。根轨迹的作用是提供图解方法分析闭环控制系统性能。4-2解：4-3解：点若在根轨迹上，则必然满足相角条件：故在根轨迹上。由得=12，将原式化为标准形式，即得，故K=1.5.4-4解：（1）根据法则1得，分支数为max(3,0)=3.根据法则2得，起点为0，-5，-2，终点为无穷远。根据法则3得，实轴上的根轨迹和 根据法则4得，渐近线n-m=3条：根据法则5得， 得d1=-0.88,d2=-3.79（舍去）根据法则6知，无起始角和终止角。根据法则7得，根轨迹与虚轴交点，令代入根轨迹方程得 ，有根据
2、以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图，如图（1）所示. （1） （2）、（3）、（4）（5）步骤同（1） （2） （3） （4） （5）4-5解：（1）取纯虚根j代入根轨迹方程得（2）渐近线：，分离点：,与虚轴交点：，起始角：4-6解：先概要绘制出根轨迹求根轨迹与虚轴交点：解得：，当时，求得。故时，闭环系统稳定。4-7解：先概要绘制出根轨迹求根轨迹与虚轴交点：解得：，故使系统稳定的K值范围为(1,1.29).4-8解：分离点：，解得将分别代入幅值条件得闭环特征方程为，把代入，整理，令实部、虚部分别为0得：，解得，故产生重实根的为0.54,7.46，产生纯虚根的为2.4-9解：（1）系统特征方程为
3、，以除以方程两边得等效开环传递函数为，当b从零变化到无穷大时，根轨迹为当b=2时，系统的闭环传递函数为。（2）系统特征方程为，以除以方程两边得等效开环传递函数为，当b从零变化到无穷大时，根轨迹为当b=2时，系统的闭环传递函数为。4-10解：渐近线为，（1）a1时，当K从零变化到无穷大时，根轨迹形状随渐近线、零极点取值不同由（a）向（b）变化，但始终位于复平面左半平面，系统稳定 （a） （b）（2）a=1时，特征方程为，以除以方程两边得等效开环传递函数为，当K从零变化到无穷大时，根轨迹为此时，两条根轨迹与虚轴重合，一条根轨迹浓缩成点。（3）a1时，当K从零变化到无穷大时，根轨迹形状随渐近线、零极
4、点取值不同由（c）向（d）变化，有根轨迹位于复平面右半平面，系统不稳定 （c） （d）（4）a=0时，特征方程为，以除以方程两边得等效开环传递函数为，当K从零变化到无穷大时，根轨迹为此时，系统为III型系统，不稳定。4-11解：（1）根轨迹如图所示（2）闭环传递函数为特征方程为 （1）依题意，上式还可写成： （2）（1）式（2）式对比得：把代入得，再代入上式中，推得，解得（舍去），此时解得所求共轭极点为-0.5770.577j。4-12解：根轨迹如下图闭环传递函数为特征方程为 （1）依题意，上式还可写成： （2）（1）式（2）式对比，将代入得：解得=-13.8（舍去），2.26,0.515当=2.26时，解出极点不在根轨迹上，故舍去；当=0.515时，解出极点为-0.26j0.45，此时=-7.92，=-2.57.符合题意，此时=5.4，=0.34.
