1、第2章 随机过程的基本概念第2章 随机过程的基本概念2.1 随机过程的定随机过程的定义义2.2 随机过程的分布及其数字特征随机过程的分布及其数字特征 2.3 复随机过复随机过程程2.4 几类重要的随机过几类重要的随机过程程2.5 正态过程与正态过程与 Wiener过过程程2.6 Poisson过过程程习题二习题二第2章 随机过程的基本概念在概率论中主要研究一个或有限个随机变量，即一维随机变量或 n 维随机向量。随着科学技术的发展，往往需要接连不断观察或研究随机现象的变化过程，这就要同时考虑无穷多个随机变量，或者说一族随机变量。随机过程正是在这种要求下于上世纪初产生并发展起来的一门数学分支，它是
2、研究随机现象变化过程的概率规律性的理论。目前已广泛应用于物理学、生物学、通讯和控制、管理学等许多现代科学技术领域之中。本章介绍随机过程的有穷维分布、随机过程的数字特征等基本概念，并讨论正态过程、Wiener 过程、Poisson 过程等几类重要的随机过程。第2章 随机过程的基本概念2.1 随机过程的定义随机过程的定义概率论中所研究的随机现象，从数量上看都可以用一有限维的随机向量去刻画，但在许多实际问题中所遇到的随机现象并不是都能用随机向量来刻画和表达的。我们先来看两个例子。第2章 随机过程的基本概念例例 2.1.1 试研究某一电话站在正常工作条件下，来到呼唤次数的问题。在概率论中会讨论:在单位
3、时间内一电话站在正常工作条件下接到的呼唤次数，例如可用 Poisson 随机变量 X()表示，且有第2章 随机过程的基本概念但在实际问题中所需要研究的不仅是单位时间内电话站接到呼唤次数的概率，而是要研究0，t 的一段时间内接到呼唤次数的概率及其有关规律。由此可见，仅用一与时间 t 无关的随机变量或与时间 t 无关的随机点就不能反映这类随机现象了。要反映这类随机现象，就必须用一个与时间参量 t 有关的随机变量，才能表达这类随机现象。在这种情况下，随机变量就应表达为 X(，t)，t T。这种不但与 ()有关，而且还与另一参数 t(T)有关的随机变量 X(，t)称为随机过程。第2章 随机过程的基本概
4、念在本例中，在 t 确定后对每一 的出现就表示对电话站做一次观察其接到呼唤次数的试验。由此可见，这种试验的结果就不再是一个仅与 有关的数值，而是还与 t 有关的一个数值的集合。例如若令X(，0)=0，则 X(，t)对固定的 (即一次试验)，它的取值可用图表出(图 21)。第2章 随机过程的基本概念图 21第2章 随机过程的基本概念若在 X(，t)中取与上图不同的 ，X(，t)就表示另一次试验的结果，亦即另一条阶梯曲线。总之，X(，t)表示了一族阶梯曲线(或函数)。另一方面，对每一固定的 t 0，X(，t 0)表示了一随机变量，它的取值范围就是直线 t=t 0 与所有的这类阶梯曲线族的交点的纵坐
5、标值的集合。与上例类似的还有很多，如新浪网站上进入的用户数，其上某一条广告链接的点击情况，从某网络终端发出的请求数，某高速公路收费站的汽车数，某只股票的价格变动情况，等等。第2章 随机过程的基本概念例例 2.1.2 设有一生产振荡器的工厂，试研究该工厂生产的振荡器的输出波形问题。解解 设从其产品中任取一台振荡器进行测试，其输出波形为 x(t)=a sin(t+?)。现在的问题是:该厂生产的每一台振荡器是否都有相同的输出波形。事实上，由于实际生产中的振荡器不一致性，其输出的振幅 A、角频率 及初相角?均有一定的允许误差，这就造成不同的振荡器有着不同的输出波形，从而使该厂生产的振荡器的输出波形是一
6、族正弦曲线第2章 随机过程的基本概念在未测试完毕以前是不能事先准确地预言其输出的波形是上述一族正弦曲线中的哪一条正弦曲线。之所以产生这种现象，实际上是因为 A，都是某一概率空间(，F，P)中的随机变量，因而使得每一次测试的结果是正弦波形曲线族中之一，且按一定的概率分布取某一波形。因此上述正弦波形族应表为对每一固定的 t 0，X(，t 0)是一随机变量。因此 X(，t)是定义在(，F，P)上及指标集 T上的一族随机变量。第2章 随机过程的基本概念由对上述随机现象的分析可以看出:它们都不能用一个随机变量或随机向量来表达，而是需用含有参量 ()的一族函数或一个含有参量 t 的随机变量族来表达。这样就
7、得到关于随机过程的如下定义。第2章 随机过程的基本概念定义定义 2.1.1 设已给概率空间(，F，P)及一参数集 T(R 1)，若对每一 t(T)，均有定义在(，F，P)上的一个随机变量 X(，t)与之对应，则称依赖于参数 t 的随机变量族 X(，t)为一随机过程。记为X(，t)，t T;简记为 X(t)，t T，或 X。其中 t 称为参数，在实际问题中参数 t 常表示时间，T 称为参数空间，它是实数集的子集。X(，t)的取值范围记为 E，称为随机过程的状态空间。称 X(，t 0)为随机过程于 t 0时所处的状态。第2章 随机过程的基本概念由随机过程的定义可知，随机过程是概率空间 中的元 和参
8、数集 T 中的数 t 的二元函数，对每一确定的t 0 T，X(，t 0)是定义在(，F，P)上的随机变量，对每一确定的 0 (即对每次完成的试验)，X(0，t)是定义在 T 上的普通的确定性(不具有随机性)函数(实值或复值函数)，此函数记为:X(0，t)=x(0，t)，称 x(0，t)为随机过程 X(，t)对应于 0的一个样本函数，有时也称 x(0，t)为随机过程对应于 0的轨道或现实。第2章 随机过程的基本概念实际中，有两种常见形式，一种是 T=0，1，2，此时其值常用 n 表示，X(n，)常写为 X n()，它表示第 n 次观察时刻的值。另一种是 T=a，b 为一时间区间，特别的 T=(0
9、，)，t T 表示时间 t，X(t，)表示 t 时的观察值。第2章 随机过程的基本概念2.2 随机过程的分布及其数字特征随机过程的分布及其数字特征2.2.1 随机过程的有穷维分布随机过程的有穷维分布由概率论知，随机变量的概率特性可用分布函数刻画。这样就会提出，随机过程的统计特性应该用什么方法表达?第2章 随机过程的基本概念设 X=X(t)，t T 为一随机过程，按其定义可知，对于任意固定的 t T，X(t)为一随机变量，其分布函数称之为随机过程 X 的一维分布函数，显然一维分布函数不能完全描述随机过程。进而，对任意固定的 t1，t 2 T，X(t 1)，X(t 2)的联合分布函数称为随机过程
10、X 的二维分布函数。第2章 随机过程的基本概念一般地，对任意固定的 t1，t 2，t n T，X(t1)，X(t 2)，X(t n)的 n 维联合分布函数称为随机过程 X 的 n 维分布函数。第2章 随机过程的基本概念定义定义 2.2.1 设 X=X(t)，t T 为一随机过程，其有限维分布函数的全体F=F t 1，t 2，t n(x 1，x 2，x n)，x 1，x 2，x n R 1;t 1，t 2，t n T;n N 称为随机过程 X 的有限维分布函数族。不难看出，随机过程的有限维分布函数族具有如下两个性质:(1)对称性:对 1，2，n 的任一排列 i 1，i 2，i n，有第2章 随机
11、过程的基本概念(2)相容性:对任意 m n，有综上所述，如果已知一个随机过程，那么也就知道了该过程的有限维分布函数族，即该过程中的任意有限个随机变量的联合分布就完全知道，从而也就完全确定了它们之间的关系。相反的问题是，一个随机过程的有限维分布函数族是否就完全反映了该随机过程的概率特性?前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在 1931 年解决了这一问题。对此有如下定理。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.2.1 设 T R 1 是一已知的参数集，F=F t1，t 2，t n(x 1，x 2，x n)，x 1，x 2，x n R 1:t1，t 2，t n T;n N 是一有限维分布函数族，若此有限维分布函
12、数族满足对称性和相容性，则必存在概率空间(，F，P)及定义在其上的随机过程 X(t)，t T，使得 F 恰好是该随机过程的有限维分布函数族。此定理说明，随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。第2章 随机过程的基本概念由于随机变量的分布函数与特征函数有一一对应关系，所以，可以通过随机过程的有限维特征函数族描述其概率特性，其中请读者考虑:有限维分布函数族的对称性与相容性对特征函数族意味着什么。第2章 随机过程的基本概念2.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的有限维分布函数族虽然是对随机过程概率特征的完整描述，但是在实际问题中很难求得。另一方面，对某些随机过程，为
13、描述它的概率特性，不一定需要求出它的有限维分布函数族，只需要求出描述随机过程的几个表征值就够了。为此，我们给出随机过程的一些数字特征。第2章 随机过程的基本概念设 X=X(t)，t T 为一随机过程。如果对于每个 t T，E X(t)存在，则称函数为 X 的均值函数。若对 s，t T，存在，则称 C X(s，t)为 X 的协方差函数。第2章 随机过程的基本概念若对 t T，存在，则称 D X(t)为 X 的方差函数。若对 s，t T，R X(s，t)=E X(s)X(t)存在，则称 R X(s，t)为 X(t)，t T 的相关函数。协方差函数与相关函数、均值函数间有下列关系:第2章 随机过程的
14、基本概念均值函数 m X(t)是随机过程 X=X(t)，t T 的样本函数在时刻 t 的平均值，方差函数 D X(t)反映随机过程 X 的样本函数在时刻 t 对于均值函数 m X(t)的偏离程度，而协方差函数 C X(s，t)和相关函数 R X(s，t)表示随机变量 X(s)和 X(t)的线性相关关系。第2章 随机过程的基本概念例例 2.2.1 设随机过程 X(t)=A cos(t+)，t R，其中振幅 A 及角频率 均为常数，相位 是一随机变量，称 X(t)为随机相位正弦波过程。若 服从-，上的均匀分布，试求:(1)X(t)的一维分布;(2)X(t)的数字特征。第2章 随机过程的基本概念解解
15、(1)由题意知:且第2章 随机过程的基本概念故按求随机变量函数的密度函数的方法可得:第2章 随机过程的基本概念在实际问题中，有时需要同时考虑几个随机过程。例如，在通讯中，除了信号还要考虑干扰，这时，描述它们之间线性相关程度的数字特征是互协方差函数和互相关函数。第2章 随机过程的基本概念定义定义 2.2.2 设 X=X(t)，t T 1，Y=Y(t)，t T 2 是两个随机过程，若对于任意s T 1，t T 2，则称第2章 随机过程的基本概念为 X 与 Y 的互协方差函数，而称为 X 与 Y 的互相关函数。显然，如果对任意 s T 1，t T 2，有 C XY(s，t)=0，则称 X(t)，t
16、T 1 与 Y(t)，t T 2 互不相关。第2章 随机过程的基本概念2.3 复复 随随 机机 过过 程程定义定义 2.3.1 设 X(t)，t T 与 Y(t)，t T 是两个实值随机过程，则称为复随机过程，简记为 Z=Z(t)，t T。称为复随机过程 Z 的均值函数;第2章 随机过程的基本概念称为复随机过程 Z 的自协方差函数，并且称 R Z(s，t)=E Z(s)Z(t)，s，t T 为复随机过程 Z 的自相关函数。显然，Z(t)，t T 的自协方差函数和自相关函数具有关系:当 s=t 时，自协方差函数就是方差函数第2章 随机过程的基本概念由于故同样，对于两个复随机过程 Z 1(t)，t
17、 T 1，Z 2(t)，t T 2，反映它们之间相关程度的数字特征是互协方差函数:第2章 随机过程的基本概念对于复随机过程 Z(t)，t T，可以通过其实部 X(t)，t T 与其虚部 Y(t)，t T 的自相关函数和互相关函数来表示它的自相关函数:类似地，可以通过两个复随机过程 Z 1(t)，t T 1，Z 2(t)，t T 2 的实部和虚部的互相关函数来表示它们的互相关函数:第2章 随机过程的基本概念例例 2.3.1 设复随机过程其中 X 1，X 2，X n 是相互独立的随机变量，且 X k N(0，2k)，1，2，n 是常数，求 Z(t)，t 0 的均值函数和相关函数。第2章 随机过程的
18、基本概念解解综综上所述，从期望和协方差函数的角度来说，复随机过程可化为实随机过程来研究，而有关的结论对二者是相同的。第2章 随机过程的基本概念2.4 几类重要的随机过程几类重要的随机过程前面定义的随机过程是一般意义上的，要直接研究它是很困难的，因此，我们要引入一些特别的随机过程。本节给出三类随机过程:二阶矩过程，正交增量过程、独立增量过程。它们是从二阶矩的存在性及增量的性质方面来定义。下面两节讨论的随机过程则是从有限维分布函数是正态分布、Poisson 分布的方面来定义的。第2章 随机过程的基本概念2.4.1 二阶矩过程二阶矩过程这是非常重要的一类过程，在工程实际问题中常用到的正态过程、宽平稳
19、过程等都是二阶矩过程。定义定义 2.4.1 设 X=X(t)，t T 是一随机过程，若对任意的 t T，均有 E|X(t)|2+，则称 X 为二阶矩过程。例如例 2.2.1 是实的二阶矩过程，而例 2.3.1 则是复二阶矩过程的例子。下面讨论二阶矩过程的相关函数的一些性质。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.4.1 二阶矩过程的均值函数和相关函数一定存在。证证明明 由 Schwarz 不等式得:故 E(X(t)和 E(Y(t)均存在，从而 E(Z(t)存在。仍用 Schwarz 不等式得:因此 R Z(s，t)也存在。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.4.2 二阶矩过程的相关函数具有
20、下列性质:(1)Hermite 性:R Z(s，t)=R Z(t，s)，s，t T;(2)非负定性:即对任意的正整数 n，任意的 t 1，t2，t n T 和任意的 n 个复数a 1，a 2，a n，有:证明证明(1)第2章 随机过程的基本概念(2)可以证明，如果函数具有非负定性，则它必具有 Hermite 性，因此相关函数最本质的特性就是非负定性。事实上，我们有如下定理。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.4.3 (二阶矩过程的存在性定理)设 T R 1 是一参数集，R(s，t)是定义在 T T 上的二元非负定函数，则必存在一个二阶矩过程 X(t)，t T，以给定的 R(s，t)为相关函
21、数。且当 R(s，t)是实值二元函数时，X(t)，t T 是一实二阶矩过程。证明可参阅参考文献13。第2章 随机过程的基本概念2.4.2 正交增量过程正交增量过程定定义义 2.4.2 设 X=X(t)，t T 是二阶矩过程，若对任意的 a t 1 t 2 t 3 t 4 T，t 1，t 2 上的增量 X(t 2)-X(t 1)与 t 3，t 4 上的增量 X(t 4)-X(t 3)是正交的，即则称 X 是 T 上的正交增量过程。第2章 随机过程的基本概念通常在有限区间a，b 或半开区间 a，+)上讨论正交增量过程。若 X 是 a，b 上的正交增量过程，则对任意的 a s t b，有特别地，当
22、X(a)=0 时，有第2章 随机过程的基本概念若 a=-且则对任意的 s t，上式仍成立。设 X(t)，t T 是二阶矩过程，定义 H(t)=E|X(t)|2=R X(t，t)，t T，则有如下定理。第2章 随机过程的基本概念第2章 随机过程的基本概念(3)设 a s 2 和 t 1 t 2 t n T，随机变量 X(t 2)-X(t 1)，X(t 3)-X(t 2)，X(t n)-X(t n-1)相互独立，则称 X(t)，t T 是独立增量过程;进而，若对于任意的 s t，随机变量 X(t)-X(s)的分布仅依赖于 t-s，则称 X(t)，t T 是平稳增量过程，进而，若它还是独立增量过程，
23、则称之为平稳独立增量过程。第2章 随机过程的基本概念例例 2.4.2 设 X(t)表示某网站在 0，t 时间段进入的用户数，则 X(t)，t 0 是一随机过程。对于任意 0 t1 t 2 t n，随机变量 X(t 2)-X(t 1)，X(t 3)-X(t )，X(t n)-X(t n-1)分别表示在时间段 t 1，t 2，t 2，t3，t n-1，t n 中进入的用户数，自然可以认为它们是相互独立的，所以，X(t)，t 0 是一独立增量过程。进而，对于任意 s t，随机变量X(t)-X(s)的分布可以认为仅与 t-s 有关，故 X(t)，t 0 是平稳独立增量过程。在 2.4.1 节中已经说明
24、，随机过程的概率特性由其有限维分布函数族确定，但对于独立增量过程，我们有以下定理。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.4.5 设 T=a，b 或 T=a，)，独立增量过程 X(t)，t T 的有限维分布函数族由其初始分布 F a(x)=P X(a)x 及其增量的一维分布函数所唯一确定。进而，当X(a)=0 时，平稳独立增量过程的有限维分布函数族由其一维分布唯一确定。第2章 随机过程的基本概念证明证明 对 a=t0 t 1 t 2 t n，t k T，记则 Y 1，Y 2，Y n 相互独立，于是 X(t 1)，X(t 2)，X(t n)的联合分布函数为它由 F a()及 Y 1，Y 2，Y
25、n 的分布函数唯一确定。对于平稳独立增量过程，当 X(a)=0 时，Y k 与 X(t k)-X(t k-1)同分布，从而结论成立。证明证明 对 a=t0 t 1 t 2 t n，t k T，记则 Y 1，Y 2，Y n 相互独立，于是 X(t 1)，X(t 2)，X(t n)的联合分布函数为它由 F a()及 Y 1，Y 2，Y n 的分布函数唯一确定。对于平稳独立增量过程，当 X(a)=0 时，Y k 与 X(t k)-X(t k-1)同分布，从而结论成立。第2章 随机过程的基本概念2.5 正态过程与正态过程与 Wiener 过程过程2.5.1 正态过程正态过程定定义义 2.5.1 设随机
26、过程 X=X(t)，t T 的任一有限维分布函数均是正态分布的，则称 X 为正态过程或高斯过程。第2章 随机过程的基本概念由于正态过程的一阶矩、二阶矩存在，所以正态过程是二阶矩过程;又由于正态向量的概率分布由其均值向量和协方差矩阵确定，故正态过程的有限维分布由其均值函数和协方差函数(或相关函数)确定。这就是说，对于正态过程，如果知道了均值函数和相关函数，则X(t)，t T 的概率特性就完全确定。正态过程在随机过程中的重要性，类似于正态随机变量在概率论中的地位。这是由于在实际问题中，许多随机过程都可看作或近似看作为正态过程，而且正态过程具有很好的概率特性。第2章 随机过程的基本概念例例 2.5.
27、1 已知 A，B 相互独立同服从 N(0，2)分布，为一实常数，求 X(t)=A cos t+B sin t，t 0 的均值函数、协方差函数和有限维分布。解解第2章 随机过程的基本概念对任意的 n 及 t1，t 2，t n 0，有:由于 A，B 为相互独立的正态随机变量，故(A，B)为服从 N(0，2 E)的二维正态随机变量，而(X(t 1)，X(t 2)，X(t n)是二维正态随机变量(A，B)的线性变换，故服从 n 维正态分布 N(0，D)，其中第2章 随机过程的基本概念因此X(t)，t 0 是一正态过程。第2章 随机过程的基本概念例例 2.5.2 已知随机变量 R、相互独立，R 服从Ra
28、yleigh 分布，即其概率密度函数为 服从区间(0，2)上的均匀分布。对-t+，令 X(t)=R cos(t+)，其中 是常数。求证X(t)，-t+是一正态过程。第2章 随机过程的基本概念证明证明 因为第2章 随机过程的基本概念由于 Jacobi 行列式故(X，Y)的概率密度函数为第2章 随机过程的基本概念由于(X，Y)为二维正态随机变量 N(0，2E 2)，而(X(t 1)，X(t 2)，X(t n)是二维正态随机变量(X，Y)的线性变换，故服从 n 维正态分布，因此 X(t)，-t+是一正态过程。第2章 随机过程的基本概念2.5.2 Wiener 过程过程在随机过程理论及其应用中，Wie
29、ner 过程起着重要的作用。例如，在理论上，它是建立随机微分方程的基石;在应用上，它是 Brown 运动和电路中“热噪声”的随机模型。因此，有时也称 Wiener 过程为 Brown 运动。第2章 随机过程的基本概念1827 年，英国植物学家 R.Brown 发现，悬浮在液体或气体中的微粒由于连续地受到周围分子的碰撞而不停顿地作不规则的运动，人们把这种现象称为 Brown 运动。1905 年，A.Einstein 指出，不管运动在表面上如何不规则，但这些粒子的移动是可以用概率规律来分析的。到了 1923 年，美国数学家 N.Wiener 开始把 Brown 运动作为随机过程来研究，而且很快由
30、Levy 等数学家将之作了很大的发展。第2章 随机过程的基本概念设 X(t)表示质点(这里把微粒称为质点)在时刻 t 的位置坐标(我们不妨设 X(0)=0，即质点在开始时位于坐标原点)，则 X(t)也表示质点直到时刻 t 所作的位移。因此在时间(s，t)(s t)内，它所作的位移是 X(t)-X(s)。由于在时间(s，t)内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞的结果都产生了一个小的位移，故 X(t)-X(s)是大量的小位移之和。由中心极限定理知，X(t)-X(s)服从正态分布。第2章 随机过程的基本概念由于介质是处于平衡状态，因此质点在一小区间上位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始观测的时
31、刻无关，它表明 X(t+)-X(s+)与 X(t)-X(s)有相同的概率分布，而且可以认为 E X(t)-X(s)=0。由于分子运动的独立性和无规则性，故还可以认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也应是独立的。基于以上考虑，Wiener 和 Levy 给出了 Wiener 过程的数学定义。第2章 随机过程的基本概念定义定义 2.5.2 实随机过程 W(t)，t 0 称为参数 2的 Wiener 过程，如果(1)W(0)=0;(2)是平稳独立增量过程;(3)对任意的 0 s 0，W(t)N(0，2t);(2)对任意 0 a s t，E(W(s)-W(a)(W(t)-W(a)=2
32、 min(s-a，t-a)。特别，R W(s，t)=C W(s，t)=2 min(s，t)。证证明明(1)是明显的。(2)由定理 2.4.4 和定理 2.4.5 立得。第2章 随机过程的基本概念直观上，我们猜测有以下定理。定理定理 2.5.2 Wiener 过程是正态过程。证证明明 设 W(t)，t 0 为参数 2的 Wiener 过程，对任意的 n，任取 0 t1 t 2 t n，由于 W(t 1)，W(t 2)-W(t 1)，W(t n)-W(t n-1)相互独立，而且 W(t k)-W(t k-1)N(0，2(t k-t k-1)，所以(W(t 1)，W(t 2)-W(t 1)，W(t
33、n)-W(t n-1)是 n 维正态向量，而第2章 随机过程的基本概念即(W(t 1)，W(t 2)，W(t n)是正态向量(W(t 1)，W(t 2)-W(t 1)，W(t n)-W(t n-1)的线性变换，所以(W(t 1)，W(t 2)，W(t n)是正态向量，故 W(t)，t 0 是正态过程。第2章 随机过程的基本概念2.6 Poisson 过程过程2.6.1 Poisson 过程的定义过程的定义有这样一类随机现象，例如电话交换台在某一段时间内来到的呼叫次数、放射性裂变在某段时间内分裂出来的质点数、十字路口在某一段时间内通过的车辆数、某服务站在一段时间内接到的顾客数等。若将“到达一次呼
34、叫”、“放射一个质点”、“通过一辆汽车”、“接待一位顾客”等都作为一个“随机点”，则这种源源不断地出现的随机点的过程称为随机点过程。第2章 随机过程的基本概念如果计算在某一段时间内出现的随机点的数目，这个数目也是随机的，它随着这段时间的延伸而不断变化，称这个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。Poisson 过程是一类特殊的计数过程，它在通信网络、管理学、物理学、地质学、生物学、核医疗学和天文学等领域有广泛的应用，而且它是构造许多随机过程的基础，所以具有很大的理论价值和应用价值。第2章 随机过程的基本概念定义定义 2.6.1 称取非负整数值的随机过程 N(t)，t 0 为强度(或参数)的
35、Poisson 过程，如果(1)N(0)=0;(2)是平稳独立增量过程;(3)对任意的 0 s 0，N(t)服从参数为 t 的 Poisson 分布;(2)m N(t)=D N(t)=t，C N(s，t)=min(s，t)，R N(s，t)=2st+min(s，t)。与上一节中类似，定义 2.6.1 中的条件(3)也可改为定理 2.6.1 中的(1)。第2章 随机过程的基本概念2.6.2 Poisson 过程的数学模型过程的数学模型为了具体起见，我们以电话呼叫过程为例来建立 Poisson 过程的数学模型。设 N(t)为0，t)这段时间内到达的呼叫次数，则 N(t)的状态空间为 0，1，2，且
36、具有以下性质:(1)零初值性:N(0)=0。(2)独立增量性:在任意两个不相重叠的时间间隔内来到的呼叫次数相互独立。(3)齐次性:在 s，t)这段时间内来到的呼叫次数只与时间间隔长度 t-s 有关而与起点时间 s 无关。第2章 随机过程的基本概念(4)普通性:在充分小的时间间隔内，最多只来到一次呼叫。这个性质用式子具体表达如下:以 p k(t)表示在时间间隔 t 内来到 k 次呼叫的概率，则存在一个正常数 ，使得对充分小的 t，有：p 0(t)=1-t+o(t)(在充分小的时间间隔内无呼叫的概率为 1-t);p 1(t)=t+o(t)(在充分小的时间间隔内有一次呼叫的概率为 t);(在充分小的
37、时间间隔内来到两次或两次以上呼叫是几乎不可能的)。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.6.2 设 N(t)，t 0 为满足上述四个条件的计数过程，则 N(t)，t 0 为强度 的 Poisson 过程。证证明明 Poisson 流的条件(1)(3)就是 Poisson 过程所应满足的条件(1)(2);下面证明还满足 Poisson 过程的条件(3)，即证明第2章 随机过程的基本概念为了求出 p k(t)，考虑 0，t+t 内到达 k 次呼叫的概率 p k(t+t)，将 0，t+t)分为0，t)和 t，t+t)两部分，这是两个不相重叠的区间，故由 N(t)的独立增量性、齐次性及全概率公式得:
38、第2章 随机过程的基本概念令 t 0 得:因为由假设(1)知，第2章 随机过程的基本概念(2)当 k 1 时，由(2.6.1)式得:令 t 0 得：第2章 随机过程的基本概念在(2.6.2)式中，再令 k=2，并利用已求出的 p 1(t)，可求出 p 2(t)，如此继续下去，可解出另一方面，强度 的 Poisson 过程显然满足上述四个条件。定理 2.6.2 说明，可用后 者作为 Poisson 过程 的定义，它 比较直观，应用时可能 较为方便。第2章 随机过程的基本概念2.6.3 Poisson 过程的到达时间与点间间隔分布过程的到达时间与点间间隔分布设 N(t)表示时间区间 0，t)内到达
39、服务机构(呼叫中心)的顾客数，且 N(t)，t 0 为强度 的 Poisson 过程。设 1，2，分别表示第 1 个，第 2 个，顾客到达服务机构的时间，称 n，n=1，2，为到达时间序列，N(t)在 n-1，n)内的值保持不变。令 T n=n-n-1 表示第 n-1 个顾客和第 n 个顾客到达服务机构的时间间隔，称 T n，n=1，2，为到达时间间隔或点间间距序列。显然有 n=T 1+T 2+T n。到达时间间隔 T n的分布由下面的定理给出。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.6.3 设 N(t)，t 0 为强度 的 Poisson 过程。T n，n=1，2，是其到达时间间隔序列，则
40、T n，n=1，2，是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为 的指数分布。证证明明 由于 Poisson 过程是独立平稳增量过程，因此两随机点到达的时间间隔是相互独立的。(1)首先求 T 1 的分布:因为 T 1 表示第一个顾客到达以前所需的时间，所以 T 1 t 表示在0，t)内事件还没有出现，因此有即 T 1服从参数为 的指数分布;第2章 随机过程的基本概念(2)由于平稳增量性，故落于区间 s，s+t)中的随机点的个数仅与时间间隔的长度 t 有关，而与时间的起点 s 无关，即所以 T 2 服从参数为 的指数分布，且与 T 1 独立。第2章 随机过程的基本概念(3)对于 n 2 和 t，s
41、 1，s n-1 0，有所以 T n 服从参数为 的指数分布，且与 T 1，T 2，T n-1 相互独立，由于 n 是任意的正整数，故任意 T n 服从参数为 的指数分布，且 T n，n=1，2，相互独立。定理 2.6.3 说明，到达时间间隔 T n，n=1，2，是相互独立随机变量，且都服从参数为 的指数分布。第2章 随机过程的基本概念顺便指出，定理 2.6.3 的逆定理也是成立的，即若计数过程 N(t)，t 0 的到达时间间隔序列 T n(n=1，2，)是相互独立同服从参数为 的指数分布的随机变量，则 N(t)，t 0 为强度 的 Poisson 过程。故在排队论中，有时说顾客到达是强度 的
42、 Poisson 流，有时说顾客到达的时间间隔相互独立，且同为服从参数 的指数分布随机变量。这两个说法是等价的。由第一章特征函数知，到达时间 n，n=1，2，服从参数为 n 和 的 Gamma 分布。这个结论还可以由下面的定理给出。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.6.4 设 N(t)，t 0 为强度 的 Poisson 过程，则其到达时间 n(n=1，2，)服从参数为 n 和 的 Gamma 分布，它的概率密度函数为第2章 随机过程的基本概念证明证明 由于对上式取导数就有第2章 随机过程的基本概念例例 2.6.1 某个中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔一个记录一次，假设粒子是按平均率
43、为每分钟 4 个的 Poisson 过程到达，令 T 是两个相继被记录粒子之间的时间间隔(以分钟为单位)。试求:(1)T 的概率密度函数;(2)P T 1。第2章 随机过程的基本概念解解 设 X 1，X 2，X n，为被记录粒子之间的时间间隔，则它们是相互独立同分布的，只要求出 X 1 的分布，即为 T 的分布。由于 X 1 t 等价于在时间 0，t)内至多到达一个粒子，故有第2章 随机过程的基本概念例例 2.6.2 有小汽车、大客车、货车三种汽车，分别以强度为 R、G、B 的 Poisson 流到达某收费站，设它们是相互独立的。把汽车合并成单个输出过程(不考虑汽车的长度、延时)。(1)求两辆
44、汽车之间的时间间隔的概率密度函数;(2)求在 t 0 时刻观察到一辆小汽车，下一辆汽车将是(a)小汽车，(b)货车，(c)不是小汽车的概率;(3)求在 t 0 时刻观察到一辆小汽车，下三辆汽车仍是小汽车，然后是一辆大客车或货车将到达的概率。第2章 随机过程的基本概念解解(1)由于独立的 Poisson 过程之和仍为 Poisson 过程，且其强度为 C=R+G+B。设 Z C 为两辆汽车到达的时间间隔，则其概率密度函数为第2章 随机过程的基本概念(2)设 Z R、Z G、Z B 分别为两辆小汽车、大客车、货车到达的时间间隔，Z X 为小汽车与非小汽车到达的时间间隔。由(1)知 Z X 的概率密
45、度函数为由于 Z X 与 Z R 相互独立，故下一辆是小汽车的概率为第2章 随机过程的基本概念令 Z Y 是从 t 0 算起的非货车的到达时刻，则同理可得第2章 随机过程的基本概念(3)来到的是三辆小汽车然后是一辆大客车或货车同时发生的概率为下面讨论 Poisson 过程与均匀分布的关系。设 N(t)，t 0 为强度 的 Poisson 过程，若在 0，t 内仅有一个随机点来到，是其到达时间，则当 s t 时可见，服从0，t 上的均匀分布。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.6.5 设 N(t)，t 0 为强度 的 Poisson 过程，在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时间 1 2
46、n 和 n 个相互独立同服从 0，t 上均匀分布的随机变量 U 1，U 2，U n的顺序统计量 U(1)U(2)0)。假设损伤是可叠加的，即在时刻t 的损伤可表示为其中 k 为仪器受到第 k 次震动的时刻，求 E D(t)。第2章 随机过程的基本概念解解 由全期望公式得第2章 随机过程的基本概念由定理 2.6.5 得所以故第2章 随机过程的基本概念2.6.4 复合复合 Poisson 过程过程复合 Poisson 过程有很强的应用背景，其定义如下。定定义义 2.6.2 设 N(t)，t 0 为强度 的 Poisson 过程，Y k，k=1，2，是一列独立同分布的随机变量，且与 N(t)，t 0
47、 独立，令称 X(t)，t 0 为复合 Poisson 过程。第2章 随机过程的基本概念例例 2.6.5 保险公司的保险赔偿金问题。设某人寿保险公司的保险单持有者在时刻 1，2，n，死亡，其中 0 1 2 n 是随机变量，保险公司对在时刻 k 死亡的保险单持有者的家属支付保险赔偿金为 Y k，设Y k，k=1，2，是独立同分布的随机变量序列，再设保险单持有者在0，t 时间段死亡的人数，是强度 的 Poisson 过程 N(t)，t 0，则在 0，t 内保险公司支付的保险金为可见X(t)，t 0 是一复合 Poisson 过程。第2章 随机过程的基本概念例例 2.6.6 商店的营业额问题。设 N
48、(t)是时间段 0，t 内来到某商店的顾客人数，自然可以认为 N(t)，t 0 是 Poisson 过程。若 Y k 是第 k 个顾客的购货金额，可以认为 Y k，k=1，2，是独立同分布的随机变量序列，且与 N(t)，t 0 独立，因此在时间段 0，t 内该商店的营业额为可见X(t)，t 0 是一复合 Poisson 过程。结合 Poisson 过程有以下的性质。第2章 随机过程的基本概念定理定理 2.6.6 设 X(t)，t 0 是复合 Poisson 过程，相应的 Poisson 过程 N(t)，t 0 的强度为 ，则(1)X(t)，t 0 是独立平稳增量过程。(2)X(t)的特征函数为
49、 f t(u)=et(f(u)-1)。其中 f(u)是 Y 1 的特征函数。(3)若 E Y 2 1 ，则 m X(t)=tE(Y 1)，D X(t)=tE(Y 2 1)。第2章 随机过程的基本概念证明证明(1)首先证明 X(t)，t 0 是独立增量过程，事实上，设 0 t 0 t 1 t 2，根据 N(t)，t 0 和 Y k 的独立性假设，易见两者相互独立。第2章 随机过程的基本概念(2)为证 X(t)，t 0 具有平稳增量性，只需证明对任意 0 s t，X(t)-X(s)的特征函数是 t-s 的函数。所以，X(t)具有平稳增量性，至此(1)得证。第2章 随机过程的基本概念在上式中，令 s
50、=0 得 X(t)的特征函数为 f t(u)=et(f(u)-1)。最后，利用特征函数与矩的关系，即得第2章 随机过程的基本概念习习 题题 二二1.设 X i(i=1，2，)是独立随机变量列，且有相同的两点分布令 Y(0)=0，第2章 随机过程的基本概念第2章 随机过程的基本概念2.设 X(t)=A cos t-B sin t，其中 A、B 是相互独立且有相同的 N(0，2)分布的随机变量，是常数，t (-，)，试求:(1)X(t)的一个样本函数;(2)X(t)的一维概率密度函数;(3)均值函数和协方差函数。第2章 随机过程的基本概念第2章 随机过程的基本概念6.在题 5 中，进一步设 Z(t
