1、Page 1LOGO一方面，在研究中发现的主要问题：一方面，在研究中发现的主要问题：时域分析法：时域分析法：分析控制系统的直接方分析控制系统的直接方法。法。优点：优点：直观。直观。缺点：缺点：分析高阶系统非常繁琐。分析高阶系统非常繁琐。背景知识背景知识Page 2LOGO另一方面的主要发现：另一方面的主要发现：输入输入不同频率不同频率的的正弦正弦信号，输出的也信号，输出的也是是正弦正弦信号，信号，频率与输入频率相同频率与输入频率相同，仅幅，仅幅值和相角有变化，且变化规律值和相角有变化，且变化规律是输入频率是输入频率的函数的函数。背景知识背景知识Page 3LOGO解决问题的思路：解决问题的思路
2、：输入不同频率的正弦信号，能否通输入不同频率的正弦信号，能否通过分析输出信号的幅值和相角随输入频过分析输出信号的幅值和相角随输入频率的变化规律（率的变化规律（频率特性频率特性），来分析系），来分析系统的性能？统的性能？背景知识背景知识Page 4LOGO第五章第五章 控制系统的频域分析方法控制系统的频域分析方法5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念5.2 幅相频特性图（幅相频特性图（Nyquist图）图）5.3 对数频率特性图（对数频率特性图（Bode图）图）5.4 频域稳定判据频域稳定判据5.5 基于基于MATLAB的频域分析的频域分析Page 5LOGO频率响应频率响应是时间响应的特
3、例，是是时间响应的特例，是控制系统控制系统对正弦输入信号的稳态响应对正弦输入信号的稳态响应。频率特性频率特性是系统是系统对不同频率正弦对不同频率正弦输入信号输入信号的响应特性。的响应特性。频率特性分析法频率特性分析法(频域法频域法)是利用是利用系统的频率特性来分析系统性能的方系统的频率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是法，研究的问题仍然是系统的稳定性、系统的稳定性、快速性和准确性快速性和准确性等，是工程上广为采等，是工程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。用的控制系统分析和综合的方法。频域分析方法概述频域分析方法概述Page 6LOGO 频率特性分析法频率特性分析法是一种图解的分析方
4、是一种图解的分析方法。法。不必直接求解系统输出的时域表达式，不必直接求解系统输出的时域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能，分析闭环系统的响应性能，不需要求解不需要求解系统的闭环特征根。系统的闭环特征根。系统的系统的频域指标和时域指标之间存在频域指标和时域指标之间存在着对应关系着对应关系。频率特性分析中大量使用。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式简洁的曲线、图表及经验公式，使得控，使得控制系统的分析十分方便、直观。制系统的分析十分方便、直观。频域分析方法概述频域分析方法概述Page 7LOGO1(),1G sTRCTs
5、i22(),U ssoi221()()()1UsG s U sTss)sin()(ittu已知已知求稳态时求稳态时?)(otu C tui tuo R)()(o1osULtu5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念Page 8LOGO)j()j(GGjj11(j)()1j1ssGG sTsTo22()()sin()1tTTu teatT olim()()sin()tu tat 稳态时，稳态时，21()()1()arctan()aTT 其中，其中，Page 9LOGOPage 10LOGO频率特性的定义频率特性的定义)(sG)j()(GAPage 11LOGO)j()(G00频率特性的定义P
6、age 12LOGO)j()(GA)j()(G频率特性的定义Page 13LOGO VUGjj系统频率特性的表示形式系统频率特性的表示形式 是是 的实部，称为的实部，称为实频特性实频特性。是是 的虚部，称为的虚部，称为虚频特性虚频特性。U VjGjGPage 14LOGO jsinjcos)(j)(jeAAVUG系统频率特性的表示形式Page 15LOGO j22jjjarctanGAeAGUVVGU 是是 的模，称为的模，称为幅频特性幅频特性。是是 的相角，称为的相角，称为相频特性相频特性。A jGjGjjGG系统频率特性的表示形式Page 16LOGO频率特性的求取频率特性的求取解析法解析
7、法)j(G)(sGj)()j(ssGGjs)j(GjsjsPage 17LOGO 11G sRCs C tui tuo R 1j1)()j(jRCsGGs js例例1Page 18LOGO例例2如图所示系统，其传递函数为如图所示系统，其传递函数为1)(,1)(sHTsKsG求系统的频率特性求系统的频率特性及系统对正弦输入及系统对正弦输入()sinixtAt的稳态响应。的稳态响应。解：系统的闭环传递函数为解：系统的闭环传递函数为1)(KTsKs令令js 系统的频率特性为系统的频率特性为1)(KTjKj222)1()()(TKKjA1arctan)()(KTj0222()sin(arctan)1(
8、1)AKTx ttKKT系统的稳态输出响应为系统的稳态输出响应为Page 19LOGO由于由于频率特性频率特性包括包括幅频幅频特性和特性和相频相频特性，若分特性，若分别将幅值和相角随频率的变化规律画在坐标纸别将幅值和相角随频率的变化规律画在坐标纸上，就得到了所谓的上，就得到了所谓的频率特性图频率特性图。频率特性的图解表示方法幅频幅频特性图特性图相频相频特性图特性图Page 20LOGO乃奎斯特（乃奎斯特（H.Nyquist)18891976，美国美国Bell实验室实验室著名科学家著名科学家5.2 幅相频率特性图幅相频率特性图（乃奎斯特图，或乃氏图）（乃奎斯特图，或乃氏图）Page 21LOGO
9、频率变化频率变化幅相变化幅相变化0()G j5.2.1 乃氏图的基本概念乃氏图的基本概念Page 22LOGOKGj0jjGKG5.2.2 典型环节的乃氏图典型环节的乃氏图Page 23LOGOj1jG90j1jGG 900 jG900jGPage 24LOGOjjG90jjGG 9000 jG90jGPage 25LOGO1j1jTG 010 jG900jG221j1jarctanGTGT Page 26LOGOPage 27LOGO1j2j1j22TTG222222221j1221arctan1j21180arctan1GTTTTTGTTT 2222222222212j211jTTTTTT
10、GPage 28LOGO90j0jReGG9021jT1nnG 010 jG1800jGPage 29LOGO。5.2.3 乃氏图一般作图方法乃氏图一般作图方法0jGjG180jnG90jnGjG0jImG0jReGPage 30LOGO例例3画出下列两个画出下列两个0型系统的极坐标图，式中型系统的极坐标图，式中均大于均大于0。解：系统的频率特性分别为解：系统的频率特性分别为幅频特性幅频特性相频特性相频特性321,TTTK)1)(1()(211sTsTKsG)1)(1)(1()(3212sTsTsTKsG)1)(1()(211TjTjKjG)1)(1)(1()(3212TjTjTjKjG222
11、212111)(TTKA2322222122111)(TTTKA)arctan()arctan()(211TT)arctan()arctan()arctan()(3212TTTPage 31LOGO当当以上分析说明以上分析说明0型系统型系统 、的极坐标图的起的极坐标图的起始点位于正实轴上的一个有限点始点位于正实轴上的一个有限点 。而当。而当 时时分别以分别以 和和 趋于坐标原点。趋于坐标原点。0时时KA)(10)(1KA)(20)(2当当时时0)(1A180-)(10)(2A270-)(2)(1jG)(2jG)0,(jK180-270-Page 32LOGO例例4画出画出I型系统的极坐标图，式
12、中型系统的极坐标图，式中均大于均大于0。解：系统的频率特性分别为解：系统的频率特性分别为幅频特性幅频特性相频特性相频特性TK,)1()(TssKsG)1()(TjjKjG221)(TKATarctan90)(当当0时时)(A90-)(当当时时0)(A180-)(以上分析说明以上分析说明 时，系统的极坐标图起点在无穷时，系统的极坐标图起点在无穷远处，所以下面求出系统起始于无穷远点时的渐近线。远处，所以下面求出系统起始于无穷远点时的渐近线。0Page 33LOGO)(jG当当 时，对时，对 的实部和虚部分别取极限得的实部和虚部分别取极限得0KTTKTjG22001lim)(Relim22001li
13、m)(ImlimTKjG上式表明，上式表明，的极坐标图在的极坐标图在 时，即图形的起始点，时，即图形的起始点，位于相角为位于相角为 的无穷远处，的无穷远处，且趋于一条渐近线，该渐近线且趋于一条渐近线，该渐近线为过点为过点 且平行于虚轴且平行于虚轴的直线；当的直线；当 时，幅值趋时，幅值趋于于0，相角趋于，相角趋于 。)(jG090-)0,(jKT081-Page 34LOGO例例5画出画出II型系统的极坐标图型系统的极坐标图解：系统的频率特性分别为解：系统的频率特性分别为幅频特性幅频特性相频特性相频特性)1)(1()(212TjTjKjG222212211)(TTKA21arctanarcta
14、n180)(TT当当0时时)(A081-)(当当时时0)(A063-)(以上分析说明以上分析说明 时，系统的极坐标图起点在无穷时，系统的极坐标图起点在无穷远处，远处，幅值趋于，幅值趋于0，相角趋于，相角趋于 。0)1)(1()(212sTsTsKsG063-Page 35LOGOPage 36LOGO一般地，机电系统的一般地，机电系统的开环频率特性开环频率特性可表示为可表示为 当当=0 时，称该系统为时，称该系统为 0 型系统型系统；当当=1 时，称该系统为时，称该系统为型系统型系统；当当=2 时，称该系统为时，称该系统为型系统型系统；1212j1j1jjj1j1KGTT系统的型次系统的型次P
15、age 37LOGO各型乃氏图的低频段各型乃氏图的低频段Page 38LOGO各型乃氏图的高频段各型乃氏图的高频段Page 39LOGO乃氏图的负频段乃氏图的负频段令令 从从 增长到增长到 0，相，相应得出的乃氏图是与应得出的乃氏图是与 从从 0 增长到增长到 得出的乃氏得出的乃氏图图以实轴对称以实轴对称的。的。Page 40LOGO5.2节小结节小结Page 41LOGO伯德（伯德（H.W.Bode)，19051982，美国美国Bell实验室实验室著名科学家著名科学家5.3 对数频率特性图（伯德图）对数频率特性图（伯德图）Page 42LOGO简介简介Page 43LOGO123456 7
16、8 910203040 50 6080 100一倍频程一倍频程一倍频程一倍频程一倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程lg1100横坐标横坐标 横坐标按对数横坐标按对数 分度，单位是弧度分度，单位是弧度/秒秒 频率频率 的数值每变化的数值每变化10倍，在对数坐标上变化一个单位，倍，在对数坐标上变化一个单位，将该频带宽度称为十倍频程，记作将该频带宽度称为十倍频程，记作dec；的数值每变化一倍，的数值每变化一倍，称为一倍频程称为一倍频程 由于由于 ，所以横轴上画不出频率为，所以横轴上画不出频率为0的点；至于横轴的点；至于横轴的起始频率取何值，应视所要表示的实际频率范围而定的起始频率取何值，应视所要
17、表示的实际频率范围而定lglg0 Page 44LOGO 纵坐标为纵坐标为 ，对数幅值，单位是，对数幅值，单位是dB（分贝）（分贝）按分贝值线性分度按分贝值线性分度 纵轴上纵轴上0dB表示表示 ，纵轴上没有，纵轴上没有 的点的点 幅值幅值 每增大或减小每增大或减小10倍，对数幅值倍，对数幅值 就相应增就相应增大或减小大或减小20dB幅频特性坐标幅频特性坐标()20lg()LG j1)(jG0)(jG()G j()LPage 45LOGO 纵坐标为纵坐标为 ，输出与输入的相位差，单位是度（，输出与输入的相位差，单位是度（）或）或弧度（弧度（rad）线性分度线性分度相频特性坐标相频特性坐标()Pa
18、ge 46LOGO1 00-1 0-2 0-9 0-4 5 0 T1T2 01T1 01T51T21T5T1 0T2 0T2渐 近 线伯德图样例伯德图样例 由于对数幅频特性和对数相频特性的纵坐标都是由于对数幅频特性和对数相频特性的纵坐标都是线性线性分度分度，横坐标都是，横坐标都是对数分度对数分度，所以两张图绘制在同一张对，所以两张图绘制在同一张对数坐标纸上，并且两张图按频率数坐标纸上，并且两张图按频率上下对齐上下对齐，容易看出同一，容易看出同一频率时的幅值和相位。频率时的幅值和相位。Page 47LOGO5.3.1 典型环节的伯德图典型环节的伯德图KGj 0lg20)(KLL()/dB()10
19、-1100101102010-1100101102-180-90020lgK Page 48LOGOL()/dB()10-1100101-40-200204010-1100101-270-180-900-20dB/dec.j1jG 90lg20j1lg20)(LPage 49LOGOL()/dB()10-1100101-40-200204010-1100101-270-180-900-40dB/dec.2)(j1jG 180lg40)(j1lg20)(2LPage 50LOGO如果如果个积分环节串联，则传递函数为个积分环节串联，则传递函数为ssG1)(对数幅频特性为对数幅频特性为1()20lg
20、()20lg20 lgLG j（dB）对数相频特性为对数相频特性为()()90G j 它的对数幅频特性曲线是一条在它的对数幅频特性曲线是一条在1处穿越频率零分贝线，处穿越频率零分贝线，20dB/dec的直线，相频特性曲线是一条在整个的直线，相频特性曲线是一条在整个90的水平线。的水平线。斜率为斜率为频率范围内为频率范围内为Page 51LOGO 90lg20)(LjjGPage 52LOGO1j1jTG TTTLarctan1lg201j1lg20)(2 00)(L 90)lg(20)(TLPage 53LOGO1j1jTG10-1100101-20-1001010-1100101-180-9
21、00903dB 精确曲线精确曲线渐近线渐近线渐近线渐近线转角频率转角频率L()/dB()Page 54LOGO1j2j1j22TTG TTTTTTTTTTL112arctan112arctan21lg201j2j1lg20)(2222222222 00)(L 180)lg(40)(TLPage 55LOGOPage 56LOGOjj eG 01lg20lg20)(jeL100-10011 01512151 02-540-450-360-270-180-90)(d BL)(Page 57LOGO综上所述，典型环节的对数幅频特性具有以下特点：综上所述，典型环节的对数幅频特性具有以下特点：比例比例环
22、节的对数幅频特性为环节的对数幅频特性为平行于横轴平行于横轴的直线，其相的直线，其相频特性为频特性为 线；线；0 积分积分环节和环节和微分微分环节的对数幅频特性为过点（环节的对数幅频特性为过点（1,0）、斜）、斜率为率为20/dB dec的直线，其相频特性为的直线，其相频特性为90线；线；惯性惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性低频渐近线为环节和一阶微分环节的对数幅频特性低频渐近线为0dB,高频渐近线为始于点高频渐近线为始于点 、斜率为、斜率为 的直的直线，其相频特性在线，其相频特性在 范围内变化；范围内变化；1(,0)20/dB dec0 90 二阶振荡环节二阶振荡环节的对数幅频特性低频渐近线
23、为的对数幅频特性低频渐近线为0dB,高频渐高频渐近线为始于点近线为始于点 、斜率为、斜率为 的直线，其相频的直线，其相频特性在特性在 范围内变化；范围内变化；(,0)n40/dB dec0 180 延迟环节延迟环节的对数幅频特性为的对数幅频特性为0分贝线，其相频特性随分贝线，其相频特性随 成线性变化。成线性变化。Page 58LOGO5.3.2 一般系统开环伯德图的绘制方法一般系统开环伯德图的绘制方法 1212j1j1jjj1j1KGTT)()()()()(121sGsGsGsGsGinin Page 59LOGO)()()()(21jGjGjGjGn )()(2)(1)()()(21njnj
24、jeAeAeA )()()(2121)()()(njneAAA niijinieA1)(1)()()()(1iniAAjGPage 60LOGO 11()20lg()20lg()20lg()20lg()nniiiiLG jAAAniijG1)()()(Page 61LOGO 例例)1)(1()()(21sTsTKsHsG)0(21TT)1(1)1(1)()(21TjTjKjHjG）（1111lg20)(222212TTKL 21arctanarctan)(TTPage 62LOGO 3L 2L 1L20lgK 2 3 1 L()/dB()L Page 63LOGO211,1TTPage 64L
25、OGO 转折频率转折频率 例例)205.0)(25()5.025.0(24)(ssssG)1025.0)(15.2()15.0(3)(ssssG)1025.0)(15.2()15.0(3)(jjjjG15.21j4.05.211025.01j40025.0115.0j25.01Page 65LOGOPage 66LOGOPage 67LOGO绘制系统伯德图的一般步骤：绘制系统伯德图的一般步骤：（1）将系统传递函数）将系统传递函数)(sG分解为若干个标准形式的典型环节传递函数分解为若干个标准形式的典型环节传递函数)(jG（2）确定各环节的转折频率，并从小到大依次标注在伯德图的）确定各环节的转折频
26、率，并从小到大依次标注在伯德图的轴上；轴上；（3）绘制开环对数幅频特性低频段的渐近线，过点）绘制开环对数幅频特性低频段的渐近线，过点(1,20lg)K做斜率为做斜率为20/dB dec的直线，其中的直线，其中K为系统开环放大增益，为系统开环放大增益，相乘的形式，求出系统频率特性相乘的形式，求出系统频率特性 ；为开环系统型别；为开环系统型别；（4）绘制对数幅频特性的其它渐近）绘制对数幅频特性的其它渐近线，从低频段渐近线开始，沿频率增线，从低频段渐近线开始，沿频率增大的方向每遇到一个转折频率就改变大的方向每遇到一个转折频率就改变一次斜率，其规律如表所示；最后，一次斜率，其规律如表所示；最后，最右端
27、转折频率之后的渐近线斜率最右端转折频率之后的渐近线斜率是是 ，其中，其中 分别是传递函数分母、分子的阶数；分别是传递函数分母、分子的阶数；20()/nm dB dec,n mPage 68LOGO绘制系统伯德图的一般步骤：绘制系统伯德图的一般步骤：（5）如有必要，可按照典型环节的误差修正曲线在相应转折频率附件进行修）如有必要，可按照典型环节的误差修正曲线在相应转折频率附件进行修正，以得到精确对数幅频特性的光滑曲线；正，以得到精确对数幅频特性的光滑曲线；（6）绘制对数相频特性曲线，分别绘制出个典型环节的对数相频特性曲）绘制对数相频特性曲线，分别绘制出个典型环节的对数相频特性曲线，在利用式（线，在
28、利用式（5.3-22）进行叠加，得到系统的相频特性曲线。）进行叠加，得到系统的相频特性曲线。注意，注意，当系统的多个环节具有相同交接频率时，该当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处的斜率的变化应为各个环节对应的斜交接频率点处的斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。率变化值的代数和。Page 69LOGO5.3.3 由频率特性确定传递函数由频率特性确定传递函数 频率特性是线性系统（环节）在特定情况频率特性是线性系统（环节）在特定情况下（下（输入正弦信号输入正弦信号）下的传递函数，故由传递函）下的传递函数，故由传递函数可以得到系统（环节）的频率特性。反过来，数可以得到系统（环
29、节）的频率特性。反过来，由频率特性也可求得相应的传递函数。由频率特性也可求得相应的传递函数。由于对数幅频特性对系统特征的描述强于对数由于对数幅频特性对系统特征的描述强于对数相频特性，故工程实际应用中，常常只使用对数幅相频特性，故工程实际应用中，常常只使用对数幅频特性来求系统的传递函数。频特性来求系统的传递函数。问题：使用对数幅频特性反求系统的传递函数问题：使用对数幅频特性反求系统的传递函数唯一唯一吗？如果不唯一，如何区分？吗？如果不唯一，如何区分？Page 70LOGO例例021TT111222j1j1j,jj1j1TTGGTT2112221jj1TGGT 112212jarctanarcta
30、njarctanarctanGTTGTT Page 71LOGOPage 72LOGO111222j1j1j,jj1j1TTGGTTPage 73LOGO例例Page 74LOGO)(L)5.00(decdB/2015.0325.0lg20K20KssG20)(1（1 1）起始段起始段 的斜率为的斜率为 ，说明传，说明传函数中包含一个积分环节，即函数中包含一个积分环节，即 。时，纵坐标为时，纵坐标为32dB/dec32dB/dec。则。则 （2）在）在 频段上，频段上，斜率由斜率由 改变改变为为 ，说明开环传递函数中包含一阶微分环节，说明开环传递函数中包含一阶微分环节，由于转折频率为，由于转折
31、频率为0.5，则，则T=2.55.0)(LdecdB/20decdB/01Ts12)(2 ssGPage 75LOGO)(L（3）在）在 时，时，的斜率由的斜率由0dB/dec.0dB/dec.变为变为-40-40 dB/decdB/dec可知系统中包含一个转折频率为可知系统中包含一个转折频率为5的振荡环节，即的振荡环节，即 514.004.01)(23sssG（4）由修正曲线可确知）由修正曲线可确知21lg20)54.0()2504.01(1lg2032382225.011.004.01)(23sssGPage 76LOGO)(L故故 对应的最相位系统的传递函数为对应的最相位系统的传递函数为
32、)11.004.0()12(20)(2sssssGPage 77LOGOPage 78LOGO劳斯判据劳斯判据的不足：的不足：定性定性较难从量上判断系统的稳定程度较难从量上判断系统的稳定程度 必须知道系统的闭环传递函数必须知道系统的闭环传递函数Nyquist稳定判据稳定判据根据开环频率特性判断闭环稳定性根据开环频率特性判断闭环稳定性对含有延迟环节的系统无效对含有延迟环节的系统无效Page 79LOGO5.4 5.4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据基本思想：利用开环频率特性判断闭环系统稳定性。基本思想：利用开环频率特性判断闭环系统稳定性。()()G jH j ()1bG sG sG s H s
33、 1G s H s G s H sPage 80LOGO开环传递函数为：开环传递函数为：()()()()()kM sGsG s H sN s特征多项式为：特征多项式为：()1()()1()M sG s H sN s()()()M sN sN s 取取()()()1()()()M sN sF sG s H sN s 为辅助函数，为辅助函数，闭环极点，也就是特征方程的根；闭环极点，也就是特征方程的根；F(s)的零点的零点 ：(1()()0)G s H sN(s)=0的根，即开环极点；的根，即开环极点；闭环传递函数为：闭环传递函数为：()()1()()bG sG sG s H sF(s)的极点的极点
34、 ：()0)N s 构造控制系统的辅助函数构造控制系统的辅助函数 Page 81LOGO()()()F sG s H s与与平平面面的的关关系系：()()1()G s H sF s 将将GH平面原点左平面原点左移一个单位，即移一个单位，即F(s)的原点的原点(1,0)j由所构造的辅助函数的特点，借助复变函数的由所构造的辅助函数的特点，借助复变函数的幅角定理幅角定理，乃奎斯特所，乃奎斯特所提出的控制系统稳定判据表述如下：提出的控制系统稳定判据表述如下：辅助函数的特点辅助函数的特点Page 82LOGO乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 设系统的设系统的G(s)H(s)在右半平面上有在右半平面上有P
35、个极点，则闭环系统个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：当稳定的充要条件是：当 时，系统开环奈氏曲线时，系统开环奈氏曲线逆时针逆时针包围包围(-1,j0)点的圈数点的圈数N=P。如果开环系统稳定，即如果开环系统稳定，即P=0，则闭环系统稳定的充要条，则闭环系统稳定的充要条件是系统开环奈氏曲线不包围件是系统开环奈氏曲线不包围(-1,j0)点。如果点。如果NP，则闭环，则闭环系统不稳定，且不稳定的闭环系统在系统不稳定，且不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为右半平面的极点数为Z=P-N。(,)奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据特点：开环判断闭环！特点：开环判断闭环！Page 83LOGO乃奎斯特判稳步
36、骤乃奎斯特判稳步骤 计算：计算：G(s)H(s)在右半平面上的极点在右半平面上的极点P；绘制：绘制：G(s)H(s)的乃奎斯特图的乃奎斯特图；观察：观察：G(s)H(s)的乃奎斯特图的乃奎斯特图逆时针逆时针包围包围(-1,j0)点的点的圈数圈数N，逆时针为正，顺时针记为负，逆时针为正，顺时针记为负；判别：若判别：若P-N=0，稳定；若不为，稳定；若不为0，则控制系统，则控制系统闭闭环环s右半平面的极点数右半平面的极点数Z=P-N；若；若Z为负，计算有误为负，计算有误。说明：为了简单起见，通常只绘制出说明：为了简单起见，通常只绘制出 曲线的曲线的正半部分，即只画出正半部分，即只画出 从从0变化到
37、变化到 时的开环幅相频率特时的开环幅相频率特性曲线，此时，乃氏判据的表达式变为性曲线，此时，乃氏判据的表达式变为Z=P-2N。显然，只有当显然，只有当Z=P-2N=0时，系统才是稳定的。时，系统才是稳定的。()()G jH j Page 84LOGO例例判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。(a)2000ZPN212(1)3ZPN 202(1)2ZPN 2000ZPN(b)(c)(d)Page 85LOGO例例开环传递函数为：开环传递函数为：（T1,T2,K均为正数），均为正数），试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。12()(1)(1)kKGsT sT s解解：（
38、1）当参数）当参数K，T1和和T2为任意为任意正值时，正值时，s1=-1/T1，s2=-1/T2，开环右半平面无极点，故开环右半平面无极点，故 P=0。（2）绘制开环乃奎斯特图如右图。）绘制开环乃奎斯特图如右图。（3）开环乃奎斯特图没有包围）开环乃奎斯特图没有包围(-1,j0)，故，故 N=0。（4）闭环系统在）闭环系统在 s 右半平面的极点右半平面的极点个数：个数：Z=P-2N=0。故闭环系统。故闭环系统是稳定的。是稳定的。Page 86LOGO 另外，作为对比可求出闭环传递函数另外，作为对比可求出闭环传递函数01)(21221KsTTsTT 由劳斯判据知闭环系统是稳定的。由劳斯判据知闭环系
39、统是稳定的。Page 87LOGO例例已知某闭环系统的开环传递函数为已知某闭环系统的开环传递函数为：，（K0,T0）,判别系统的稳定性，图中虚线为增补段。判别系统的稳定性，图中虚线为增补段。解解：()(1)kKGss T sI型系统。型系统。0N 0P 20ZPN故系统稳定。故系统稳定。奈氏判据可应用于奈氏判据可应用于、型系统。型系统。Page 88LOGO5.4 频域稳定判据频域稳定判据 奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist）稳定判据是奈奎斯特于）稳定判据是奈奎斯特于1932年提出年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点
40、有：特点有：1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）；能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）；3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。Page 89LOGO s平面平面 F(s)平面平面 F(s)的零点的零点 原点原点 F(s)的极点的极点 无限远点无限远点 s平面上的其他点平面上的其他点 原点外的有限点原点外的有限点s平面
41、上的点与平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系平面上的点有对应关系1212()()()()()()()mnK szszszF sspspsp 注意，虽然函数注意，虽然函数F(s)从从s平面到平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知程往往并非如此。例如已知()(1)(2)KF ss ss 这个函数在有限的这个函数在有限的s平面上除平面上除s=0,1,2以外均解析，除此三点外，以外均解析，除此三点外，s平平面上的每一个面上的每一个s值在值在F(s)平面只有一个对应点，但是平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在平面上的每一
42、个点在s平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成当当F(s)取一个常数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。取一个常数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。(1)(2)()Ks ssF sPage 90LOGO 现考虑现考虑s平面上一点平面上一点s1映射到映射到F(s)平面上的点平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，可以用一个向量来表示，即当即当111()1()111()11()()ijmjszij F sinjspjjKsz eF sF sesp e向量的幅值为向量的幅值为11111()()()mnijijF s
43、szsp1111()()1111mnijijmjszspiinjjKszesp11111()()()miinjjKszF ssp11111()miinjjKszF ssp向量的相角为向量的相角为二、幅角定理二、幅角定理 Page 91LOGOReImReIms平面平面F(s)平面平面)(s)(1sF1s)(1sFPage 92LOGO 当当s平面上动点平面上动点s从从s1经过某曲线经过某曲线CS到达到达s2，映，映射到射到F(s)平面上也将是一平面上也将是一段曲线段曲线CF，该曲线完全，该曲线完全由由F(s)表达式和表达式和s平面上的平面上的曲线曲线CS决定。若只考虑动决定。若只考虑动点点s从
44、从s1到达到达s2相角的变化相角的变化量，则有量，则有21()()()F sF sF s 22111111()()()()mnmnijijijijszspszsp21211111()()()()mmnniijjiijjszszspspPage 93LOGO例例设：设：,当当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到到(-1，j0)，映射到，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到到(-1，-j0)，相角的变化为：，相角的变化为：sssF2)(045)(180135)90 2211()()()()ijijszspszs
45、p 21()()()F sF sF s 2121()()()()iijjszszspsp Page 94LOGO 现考虑现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS。当变点。当变点s沿沿CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线平面上也映射出一条封闭曲线CF。在。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧
46、。在F(s)平面上，由于平面上，由于CS映射映射而得到的封闭曲线而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于的形状及位置，严格地决定于CS。顺时针FC平面)(sF示意图示意图平面s顺时针sC 在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围线线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否是否包围原点和包围原点
47、的次数，也可以推测出围线包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的内域中有关零、极点数的信息。的信息。Page 95LOGO1.围线围线CS既不包围零点也不包围极点既不包围零点也不包围极点 如图所示，在如图所示，在s平面上当变点平面上当变点s沿围线沿围线CS按按顺时针方向运动一周时，我们来考察顺时针方向运动一周时，我们来考察F(s)中中各因子项的幅角的变化规律。各因子项的幅角的变化规律。ABCDEFGH12平面s顺时针SC123现以图中未被包围的零点现以图中未被包围的零点-2为例。当变点为例。当变点s沿沿CS绕行一周后，因子绕行一周后，因子(s+2)的幅角的幅角a
48、a的变化的变化为为0。同理，对未被包围的极点也是一样，因子项同理，对未被包围的极点也是一样，因子项(s+0)的幅角的幅角b b在变点在变点s沿沿CS绕行一周后的变绕行一周后的变化也等于化也等于0。于是，映射到于是，映射到F(s)平面上，当变点平面上，当变点F(s)沿沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于绕行一周后的幅角变化也应等于0。这表这表明，围线明，围线CF此时不包围原点。此时不包围原点。a ab bPage 96LOGO2.围线围线CS只包围零点不包围极点只包围零点不包围极点 如图所示围线如图所示围线CS包围一个零点包围一个零点z=-2，考察因子，考察因子(s+2)幅角幅角a a，当变点，当
49、变点s沿沿CS顺时针绕行一周时，顺时针绕行一周时，a a的变化为的变化为-360。映射到。映射到F(s)平面上对应变点平面上对应变点F(s)沿沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于绕行一周后的幅角变化也应等于-360。同理，同理，当围线当围线CS的内域包含的内域包含Z个零点时个零点时(但不包含极点但不包含极点)，CF 应顺时应顺时针包围原点针包围原点Z次。次。ABCDEFGH12平面s顺时针SCa aPage 97LOGO 围线围线CS只包围极点不包围零点只包围极点不包围零点 这种情况如图所示，如果围线这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点包围一个极点，则当变点，则当变点s沿沿CS顺时针绕顺时
50、针绕行一周时，因子行一周时，因子(s+0)1的幅角的幅角b b将变化将变化360。映射到。映射到 F(s)平面上，围线平面上，围线CF应应逆时针包围原点一次。逆时针包围原点一次。同理，同理，当围线当围线CS的内域只包含的内域只包含P个极点时，个极点时，CF应逆时针包围原点应逆时针包围原点P次，次，或者说，或者说，CF顺时针包围原点顺时针包围原点P次。次。ABCDEFGH12平面s顺时针SCb bPage 98LOGO 围线围线CS包围包围Z个零点和个零点和P个极点个极点 由上述讨论显然可知，由上述讨论显然可知，当变点当变点s沿沿CS顺时针绕行一周时，顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围应顺时针包
