1、24.3 24.3 正多边形正多边形和圆和圆第二十四章第二十四章 圆圆知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点正多边形及有关概念正多边形及有关概念11.正多边形正多边形 各边相等，各内角也相等各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形的多边形叫作正多边形.2.圆的内接圆的内接正正n边形边形 把圆分成把圆分成n(n 3)等份，等份，依次连接依次连接各各分点分点所得的多边形叫作这个圆的内接所得的多边形叫作这个圆的内接正正n边边形，这个圆形，这个圆是这个正是这个正n边边形的外接圆形的外接圆.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别解读特别解读“各边相等，各各边相等，各内角内角相等相等”是正多边形是正多边
2、形的两的两个基本特征，当边个基本特征，当边数数n3时，二者必须时，二者必须同时具备同时具备，缺一不可，否则缺一不可，否则多边形就多边形就不是正多边形不是正多边形.感悟新知感悟新知3.正多边形的有关正多边形的有关概念概念(1)正多边形正多边形的中心：的中心：一个正多边形一个正多边形的的外接圆的圆心外接圆的圆心叫作叫作正正多边形多边形的中心的中心.(2)正多边形正多边形的半径：的半径：正多边形的正多边形的外接圆的半径外接圆的半径叫作叫作正多边形正多边形的半径的半径.(3)正多边形正多边形的中心角：的中心角：正多边形正多边形每每一边所一边所对的圆心角对的圆心角叫作正叫作正多边形的中心角多边形的中心角
3、.(4)正多边形正多边形的边心距：的边心距：正多边形的正多边形的中心到正多边形的中心到正多边形的一边一边的的距离距离叫作正多边形的边心距叫作正多边形的边心距.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知4.正多边形的对称性正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形，一所有的正多边形都是轴对称图形，一个正个正n边边形形共共有有n条条对称轴对称轴，每条对称轴都通过，每条对称轴都通过正正n边边形的中心形的中心.n为为偶数时偶数时，它还是，它还是中心对称图形，它的中心就是中心对称图形，它的中心就是对称中心对称中心.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲拓宽视野拓宽视野1.任意任意三角形都有三角形都有外接圆外
4、接圆和内切圆，但是和内切圆，但是只有只有正三角形的正三角形的外外接圆和接圆和内切圆是同心圆内切圆是同心圆.2.任意多边形任意多边形(边边数数大于或大于或等于等于3）不一定有）不一定有外接圆外接圆和内切圆，和内切圆，但当但当多边形多边形是正多边形时，是正多边形时，一定有一定有一个外接圆和一个一个外接圆和一个内切内切圆圆，并且这两个圆，并且这两个圆是同心圆是同心圆.知知1 1练练感悟新知感悟新知如图如图 24.31，三角形三角形 AOB 是正三角形，以点是正三角形，以点 O 为圆为圆心心，OA 为半径作为半径作 O，直径，直径 FC AB，AO，BO 的的延长线交延长线交 O 于点于点 D，E.求
5、证求证：六边形：六边形 ABCDEF 为圆内为圆内接接正正六边形六边形.例1知知1 1练练感悟新知感悟新知思路导引：思路导引：知知1 1练练感悟新知感悟新知证明：证明：三角形三角形 AOB 是正三角形，是正三角形，AOB=OAB=OBA=60，OB=OA.点点 B 在在 O 上上.FC AB，FOA=OAB=60，COB=OBA=60 知知1 1练练感悟新知感悟新知 AOB=BOC=COD=DOE=EOF=FOA=60.AB=BC=CD=DE=EF=FA.AB=BC=CD=DE=EF=FA.六边形六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形为圆内接正六边形.知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒：解
6、法提醒：证明一个多边形是圆内接正多边形的方法证明一个多边形是圆内接正多边形的方法1.利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角角相等相等，每条边相等；，每条边相等；2.证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个个多边形多边形的各顶点等分这个圆的各顶点等分这个圆.知知1 1练练感悟新知感悟新知1-1.若若一个四边形一个四边形的外接圆的外接圆与内切圆是与内切圆是同心圆同心圆，则这个四，则这个四边形边形一定是一定是()A.矩形矩形B.菱形菱形C.正方形正方形D.不能确定不能确定C知知1 1练练感悟新知感悟新知
7、1-2.如如图，图，五边形五边形ABCDE内内接于接于 O，A=B=C=D=E.求证：求证：五边形五边形ABCDE 是正五边形是正五边形.知知1 1练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点正多边形的有关计算正多边形的有关计算2感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知知2 2讲讲感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知2 2练练已知正六边形已知正六边形 ABCDEF 的半径为的半径为 6，求这个正，求这个正六边形六边形的边长的边长 a6，周长，周长 l6 和面积和面积 S6.例2 解题秘方解题秘方：巧用正六边形的边长、半径等关系进巧用正六边形的边长、半径等关系进行计算行计算.知知2 2
8、练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知解法技巧解法技巧：构造特殊三角形解正多边形的方法构造特殊三角形解正多边形的方法在在解决有关正六边形和正方形的计算时，我们往解决有关正六边形和正方形的计算时，我们往往作往作相邻相邻两条半径使其与边分别构成等边三角形和等两条半径使其与边分别构成等边三角形和等腰直角三角形腰直角三角形，然后，然后与前面学过的勾股定理、垂径定与前面学过的勾股定理、垂径定理及切线的性质等理及切线的性质等知识联系知识联系起来综合求解起来综合求解.知知2 2练练感悟新知感悟新知B知知2 2练练感悟新知感悟新知2-2.中考中考安徽安徽如图如图，正五
9、边形正五边形ABCDE内内接于接于 O，连连接接OC，OD，则，则BAECOD=()A.60 B.54C.48 D.36D感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点正多边形的画法正多边形的画法3正正 n 边形的画法：边形的画法：将圆将圆 n 等分，然后顺次连接各等分，然后顺次连接各等分点等分点，即可即可得到所要作的正得到所要作的正n边边形形.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读画正多边形的画正多边形的原理原理是在同圆中，是在同圆中，相等的相等的圆心角圆心角所对的弧所对的弧相等相等.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.用尺规等分用尺规等分圆圆 对于对于一些特
10、殊的正一些特殊的正 n 边形，如正方形、边形，如正方形、正正八边形，八边形，可以用圆规和直尺作图，如图可以用圆规和直尺作图，如图 24.32.在在 O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就，就可把圆四等分，从而作出可把圆四等分，从而作出正正方方形形，若若再逐次平分各边所再逐次平分各边所对的对的弧，就弧，就可可以以作边数逐次倍增的正多边形作边数逐次倍增的正多边形，如如正八边形、正八边形、正十正十六边形等六边形等.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.画圆内接正画圆内接正n边形边形，实质，实质是找圆的是找圆的 n 等分点等分点.2.用量角器等分圆
11、用量角器等分圆是一是一种简单常用的种简单常用的方法方法，但边数，但边数很大时很大时，容易，容易产生较大误差产生较大误差.3.尺规作图是一尺规作图是一种比较种比较准确的等分准确的等分圆的圆的方法，但只方法，但只限限于作于作一些特殊的一些特殊的正多边形正多边形.知知3 3练练感悟新知感悟新知作一个正三角形，使其半径为作一个正三角形，使其半径为 0.9 cm.例3解题秘方解题秘方：用量角器画应先求出中心角，用尺规用量角器画应先求出中心角，用尺规画则先画则先考虑考虑等分圆等分圆.知知3 3练练感悟新知感悟新知解解：作法一：作法一(1)作作半径为半径为 0.9 cm 的的 O；(2)用用量角器画量角器画
12、 AOB=BOC=120，其中，其中 A，B，C 均为圆上的点；均为圆上的点；(3)连接连接 AB，BC，CA，则，则 ABC 为为所所求作的正三角形求作的正三角形，如，如图图 24.34所示所示.知知3 3练练感悟新知感悟新知作法二作法二 (1)作作半径为半径为 0.9 cm 的的 O；(2)作作 O 的任一直径的任一直径 AB；(3)以以B 为圆心为圆心，以，以0.9 cm 为半径作弧，交为半径作弧，交 O 于于D，E；(4)连接连接 AD，DE，EA，则，则 ADE 为为所所求求作的正三角形作的正三角形，如，如图图 24.35所示所示.知知3 3练练感悟新知感悟新知3-1.图图是我们常见是我们常见的地砖的地砖上的图案，其中上的图案，其中包含包含了一种特了一种特殊的殊的平面图形平面图形正八边形正八边形如图如图，AE 是是 O 的直径的直径，用直尺和圆规，用直尺和圆规作作 O 的内接正八边形的内接正八边形ABCDEFGH(不不写作法写作法，保留作图，保留作图痕迹痕迹).略略课堂小结课堂小结正多边形和圆正多边形和圆相关相关概念概念半径半径中心中心边心距边心距中心角中心角正多边正多边形和圆形和圆有关计算有关计算画法画法
