1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool 习题与上机题第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中只考虑了幅度特性，没考虑
2、相位特性，所设计的滤波器一般是某种确定的非线性相位特性。为了得到线性相位特性，对IIR滤波器必须另外增加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本也高，又难以得到严格的线性相位特性。有限脉冲响应(FIR)滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。本章中用N表示FIR滤波器单位脉冲响应h(n)的长度，其系统函数H(z)为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 H(z)是z1的N1次多项式，它在z平面上有N1个零点，在原点z=0处有一个N1重极点。因此，H(z)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器最突出的优点。FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大差别
3、。FIR滤波器设计任务是选择有限长度的h(n)，使频率响应函数H(ej)满足技术指标要求。本章主要介绍三种设计方法：窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。10)()(NnnznhzH第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 7.1 线性相位线性相位FIRFIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点1 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器对于长度为N的h(n)，频率响应函数为（7.1.1）（7.1.2）式中，Hg()称为幅度特性;()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|，Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。线性相位FIR滤波器是指()是
4、的线性函数，即10jje)()e(NnnnhH)(jje)()e(gHH第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 为常数（7.1.3）如果()满足下式：是起始相位 （7.1.4）严格地说，此时()不具有线性相位特性，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即也称这种情况为线性相位。一般称满足（7.1.3）式是第一类线性相位；满足（7.1.4）式为第二类线性相位。0=/2是第二类线性相位特性常用的情况，所以本章仅介绍这种情况。，)(00)(，d()d 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 2.线性相位线性相位FIR的时域约束条件的时域约束条件线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时，对h(
5、n)的约束条件。1)第一类线性相位对h(n)的约束条件 第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数()=，由式（7.1.1）和（7.1.2）得到:（7.1.5）1jjjg0(e)()e()e NnnHh nH1g0()(cosjsin)()(cosjsin)Nnh nnnH第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 由式（7.1.5）得到:(7.1.6)将（7.1.6）式中两式相除得到：1010()coscossin()sinNnNnh nnh nn1g01g0()cos()cos ()sin()sinNnNnHh nnHh nn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 即 移项并用三角公式化简得到:（7
6、.1.7）函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇对称，是满足（7.1.7）式的一组解。因为sin(n)关于n=奇对称，如果取=(N1)/2，则要求h(n)关于(N1)/2偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件:10()sin()0Nnh nn1100()cossin()sincosNNnnh nnh nn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（7.1.8）由以上推导结论可知，如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为N的FIR数字滤波器具有第一类线性相位特性（严格线性相位特性），则h(n)应当关于n=(N1)/2点偶对称。当N确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，
7、即()=(N1)/2。N为奇数和偶数时,h(n)的对称情况分别如表7.1.1中的情况1和情况2所示。1(),2()(1),01Nh nh NnnN 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 表表7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 2)第二类线性相位对h(n)的约束条件第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数()=/2，由式（7.1.1）和（7.1.2），有：经过同样的推导过程可得到 （7.1.9）函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇对称，是满足
8、式（7.1.9）的一组解，因为cos(n)关于n=偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件：1jjj(/2)g0(e)()e()eNnnHhnH 10()cos()0Nnh nn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（7.1.10）由以上推导结论可知，如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为N的FIR数字滤波器具有第二类线性相位特性，则h(n)应当关于n=(N1)/2点奇对称。N为奇数和偶数时h(n)的对称情况分别如表7.1.1中情况3和情况4所示。1(),22()(1),01Nh nh NnnN 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 3 线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的
9、特点的特点实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频域约束条件。将时域约束条件h(n)=h(Nn1)代入式（7.1.1），设h(n)为实序列，即可推导出线性相位条件对FIR数字滤波器的幅度特性Hg()的约束条件。当N取奇数和偶数时对Hg()的约束不同，因此，对于两类线性相位特性，下面分四种情况讨论其幅度特性的特点。这些特点对正确设计线性相位FIR数字滤波器具有重要的指导作用。为了推导方便，引入两个参数符号：1,2N12NM第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，表示取不大于(N1)/2的最大整数。显然，仅当N为奇数时，M=(N1)/2。情况情况1：h(n)=h(Nn1),N为奇数。
10、将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()=代入式（7.1.1）和（7.1.2），得到:2/)1(N第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 所以（7.1.11）因为cos(n-)关于=0,2三点偶对称，所以由式（7.1.11）可以看出，Hg()关于=0,2三点偶对称。因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器。对于N=13的低通情况，Hg()的一种例图如表7.1.1中情况1所示。1g0()()2()cos()MnHhh nn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况情况2：h(n)=h(Nn1),N为偶数。仿照情况1的推导方法得到:1jjjjg0
11、0(e)()e=()ee2()cos()NMnnnHHh nh nn（7.1.12）g0()2()cos()MnHh nn式中，。因为是偶数，所以当时(1)/2/21/2NN cos()cossin022NNnnn 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 而且cos(n)关于过零点奇对称，关于=0和2偶对称。所以Hg()=0，Hg()关于=奇对称，关于=0和2偶对称。因此，情况2不能实现高通和带阻滤波器。对N=12 的低通情况，Hg()如表7.1.1中情况2所示。情况情况3：h(n)=h(Nn1)，N为奇数。将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()=/2代入式（7.1.1）和（7.1.2），并
12、考虑，得到:102Nh第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 1g0()2()sin()MnHh nn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，N是奇数，=(N1)/2是整数。所以，当=0，,2时，sin(n)=0,而且sin(n)关于过零点奇对称。因此Hg()关于=0,2三点奇对称。由此可见，情况3只能实现带通滤波器。对N=13的带通滤波器举例，Hg()如表7.1.1中情况3所示。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况情况4：h(n)=h(Nn1),N为偶数。用情况3的推导过程可以得到:（7.1.13）式中，N是偶数，=(N1)/2=N/21/2。所以，当=0,2时，sin(n)=0；当
13、=时，sin(n)=(1)nN/2,为峰值点。而且sin(n)关于过零点=0和2两点奇对称，关于峰值点=偶对称。因此Hg()关于=0和2两点奇对称，关于=偶对称。由此可见，情况4不能实现低通和带阻滤波器。对N=12的高通滤波器举例，Hg()如表7.1.1中情况4所示。g0()2()sin()MnHh nn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 为了便于比较，将上面四种情况的h(n)及其幅度特性需要满足的条件列于表7.1.1中。应当注意，对每一种情况仅画出满足幅度特性要求的一种例图。例如，情况1仅以低通的幅度特性曲线为例。当然也可以画出满足情况1的幅度约束条件（Hg()关于=0,2三点偶对称）的高
14、通、带通和带阻滤波器的幅度特性曲线。所以，仅从表7.1.1就认为情况1只能设计低通滤波器是错误的。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 3.线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点数字滤波器的零点分布特点将h(n)=h(N1n)代入上式,得到:（7.1.14）10()()NnnH zh n z11001(1)(1)10()()(1)()()NNnnnnNNmNmH zh n zh Nn zh m zzH z 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 由（7.1.14）式可以看出，如z=zi是H(z)的零点，其倒数也必然是其零点；又因为h(n)是实序列，H(z)的零点必定共轭成对，因此也是其零
15、点。这样，线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了,如图7.1.1中。当然，也有一些特殊情况，如图7.1.1中z1、z2和z4情况。1iz*1*)(iizz 和1*13333()zzzz、和第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的零点分布第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.2.1 窗函数法设计原理窗函数法设计原理设希望逼近的滤波器频率响应函数为Hd(ej)，其单位脉冲响应是hd(n)。ccde)e(21)(e)()e(jjddjdjdnnnHnhnh
16、H第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 如果能够由已知的Hd(ej)求出hd(n)，经过Z变换可得到滤波器的系统函数。但通常以理想滤波器作为Hd(ej)，其幅度特性逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列。例如，线性相位理想低通滤波器的频率响应函数Hd(ej)为（7.2.1）其单位脉冲响应hd(n)为（7.2.2）jjcdce|(e)0 H)()(sindee21)(cjjdccnnnhna第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 由上式看到，理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)是无限长，且是非因果序列。hd(n)的波形如图7.2.1（a）所示。为了构造一个长
17、度为N的第一类线性相位FIR滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段关于n=（N1）/2偶对称。设截取的一段用h(n)表示，即式中,RN(n)是一个矩形序列，长度为N，波形如图7.2.1（b）所示。由该图可知，当取值为（N1）/2时，截取的一段h(n)关于n=（N1）/2偶对称，保证所设计的滤波器具有线性相位。我们实际设计的滤波器的单位脉冲响应为h(n)，长度为N，其系统函数为H(z)，)()()(dnRnhnhN（7.2.3）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 这样用一个有限长的序列h(n)去代替hd(n)，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯（Gibbs）效应。该效应
18、引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求，如图7.2.2所示。这种吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，因此，也称为截断效应。下面讨论这种截断效应的产生，以及如何构造窗函数w(n),用来减少截断效应，设计一个能满足技术要求的FIR线性相位滤波器。10)()(NnnznhzH第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.1 窗函数设计法的时域波形（矩形窗，N=30）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.2 吉普斯效应第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思想。另外，我们知道Hd(ej)是一个以2为周期
19、的函数，可以展为傅里叶级数，即傅里叶级数的系数为hd(n)，当然就是Hd(ej)对应的单位脉冲响应。设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅里叶级数系数h(n)，n=1,2,N1，以N项傅氏级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点附近会引起较大误差，这种误差就是前面说的截断效应，如图7.2.2所示。nnnhHjdjde)()e(第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 因此，从这一角度来说，窗函数法也称为傅氏级数法。显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大，应在满足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。在（7.2.3）式中
20、，RN(n)（矩形序列）就是起对无限长序列的截断作用，可以形象地把RN(n)看做一个窗口，h(n)则是从窗口看到的一段hd(n)序列，所以称h(n)=hd(n)RN(n)为用矩形窗对hd(n)进行加窗处理。下面分析用矩形窗截断的影响和改进的措施。为了叙述方便，用w(n)表示窗函数，用下标表示窗函数类型，矩形窗记为wR(n)。用N表示窗函数长度。（7.2.4）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计)(jRjdjd)e()e(21)e(WHH（7.2.4）根据傅里叶变换的时域卷积定理，得到（7.2.3）式的傅里叶变换：式中，Hd(ej)和WR(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即（7.
21、2.5）jRg)1(21j10j10jR10jRe)()2/sin()2/sin(e eee)()(WNwnWeWNNnnNnnNnnjR第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 WRg()称为矩形窗的幅度函数，如图7.2.3（b）所示，将图中2/N,2/N区间上的一段波形称为WRg()的主瓣，其余较小的波动称为旁瓣。将Hd(ej)写成Hd(ej)=Hdg()ej，则按照（7.2.1）式，理想低通滤波器的幅度特性函数（如图7.2.3（a）所示）为|0|1)(ccdg，H21)2/sin()2/sin()(RgNNW，式中第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.3 矩形窗加窗效应第7章 有限
22、脉冲响应数字滤波器的设计 将Hd(ej)和WR(ej)代入（7.2.4）式，得到：Rgdgj)(jRgjdgjd)()(21ede)(e)(21)e(WHWHH（7.2.6）将H(ej)写成H(ej)=Hg()ej ，则gdgRg1()()()d2HHW第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中Hg()是H(ej)的幅度特性。该式说明加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性Hdg()与矩形窗幅度特性WRg()的卷积。图7.2.3（f）表示Hdg()与WRg()卷积形成的Hg()波形。当=0时，Hg(0)等于图7.2.3（a）与（b）两波形乘积的积分，相当于对WRg()在c之间一段波
23、形的积分，当c2/N时，近似为之间波形的积分。将H(0)值归一化到1。当=c时，情况如图7.2.3（c）所示，当c 2/N时，积分近似为WRg()一半波形的积分，对Hg(0)归一化后的值近似为1/2。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 当=c2/N时，情况如图7.2.2（d）所示，WR()主瓣完全在区间c,c之内，而最大的一个负旁瓣移到区间c,c之外，因此Hg(c2/N)有一个最大的正峰。当=c+2/N时，情况如图7.2.2（e）所示，WRg()主瓣完全移到积分区间外边，由于最大的一个负旁瓣完全在区间c,c内，因此Hg(c+2/N)形成最大的负峰。图7.2.2表明，Hg()最大的正峰与最大的
24、负峰对应的频率相距4/N。通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，Hg()与原理想低通Hdg()的差别有以下两点：第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（1）在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度近似等于WRg()主瓣宽度4/N。（2）通带内产生了波纹，最大的峰值在c2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关，WRg()旁瓣幅度的大小直接影响Hg()波纹幅度的大小。以上两点就是对hd(n)用矩形窗截断后，在频域的反映，称为吉布斯效应。这种效应直接影响滤波器的性能。通带内的波纹影响滤波器通带的平稳性，阻带内的波纹影响阻带内的衰
25、减，可能使最小衰减不满足技术指标要求。当然，一般滤波器都要求过渡带愈窄愈好。下面研究如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 直观上，好像增加矩形窗的长度，即加大N，就可以减少吉布斯效应的影响。只要分析一下N加大时WRg()的变化，就可以看到这一结论不是完全正确。我们讨论在主瓣附近的情况。在主瓣附近，按照式（7.2.5），WRg()可近似为该函数的性质是随x加大（N加大），主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变；另一方面，N加大时，WRg()的主瓣和旁瓣宽度变窄，波动的频率加快。三种不同长度的矩形窗函数的幅度特性WRg(
26、)曲线如图7.2.4(a)、(b)、(c)所示。Rgsin(/2)sin()/2NxWNx第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 用这三种窗函数设计的FIR滤波器的幅度特性Hg()曲线如图7.2.4(d)、(e)、(f)所示。因此，当N加大时，Hg()的波动幅度没有多大改善，带内最大肩峰比H(0)高8.95%，阻带最大负峰值为H(0)的8.95%，使阻带最小衰减只有21 dB。加大N只能使Hg()过渡带变窄（过渡带近似为主瓣宽度4/N）。因此加大N,并不是减小吉布斯效应的有效方法。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.4 矩形窗函数长度的影响第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 以上分
27、析说明，调整窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度，而要减少带内波动以及增大阻带衰减，只能从窗函数的形状上找解决问题的方法。构造新的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度更小。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。下面介绍几种常用的窗函数。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.2.2 典型窗函数介绍典型窗函数介绍本节主要介绍几种常用窗函数的时域表达式、时域波形、幅度特性函数（衰减用dB计量）曲线，以及用各种窗函数设计的FIR数字滤波器的单位脉冲响应和损耗函数曲线。为了叙述简单，我们把这组波形图简称为“四种波形”。下面均以低通为例
28、，Hd(ej)取理想低通，c=/2，窗函数长度N=31。1 矩形窗（矩形窗（Rectangle Window）wR(n)=RN(n)前面已分析过，按照（7.2.5）式，其幅度函数为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（7.2.7）为了描述方便，定义窗函数的几个参数:旁瓣峰值n窗函数的幅频函数|Wg()|的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减值（dB）；过渡带宽度Bg用该窗函数设计的FIR数字滤波器（FIRDF）的过渡带宽度；阻带最小衰减s用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。图7.2.4所示的矩形窗的参数为:n=13 dB；Bg=4/N;s=21 dB。Rgsin(/2)()sin(/2)
29、NW第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 2 三角形窗（三角形窗（Bartlett Window）（7.2.8）其频谱函数为1)1(21122)1(21012)(BNnNNnNnNnn，21j2jBe)2/sin(4/sin2)e(NNNW第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 其幅度函数为 （7.2.10）三角窗的四种波形如图7.2.5所示，参数为:n=25 dB;Bg=8/N;s=25 dB。2Bg2sin(/4)()sin(/2)NWN第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.5 三角窗的四种波形第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 3 汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗升余弦窗升余
30、弦窗（7.2.11）HnN2()0.5 1 cos()1nwnRnN第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 当N1时，N1N汉宁窗的幅度函数WHng()由三部分相加，旁瓣互相对消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图7.2.6所示，参数为:n=31 dB;Bg=8/N;s=44 dB。HngRgRgRg22()0.5()0.25WWWWNN第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.6 汉宁窗的四种波形第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 4 哈明（哈明（Hamming）窗）窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗 （7.2.12）其频谱函数WHm(ej)为)(12cos46.054.0)(NH
31、mnRNnn)e(23.0)e(23.0)e(54.0)e(12R12jRERjHmNENWWWW第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 其幅度函数WHmg()为当N时，其可近似表示为1223.01223.0)(54.0)(RgRgRgHmgNWNWWWNWNWWW223.0223.0)(54.0)(RgRgRgHmg第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占99.96%，瓣峰值幅度为40 dB，但其主瓣宽度和汉宁窗的相同，仍为8/N。可见哈明窗是一种高效窗函数，所以MATLAB窗函数设计函数的默认窗函数就是哈明窗。哈明窗的四种波形如图7.2.
32、7所示，参数为:n=41 dB;Bg=8/N;s=53 dB。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.7 哈明窗的四种波形第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（7.2.13）5 布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗其频谱函数为)(14cos08.012cos5.042.0)(BlnRNnNnnN）（）（）（14jR14jR12jR12jRjRjBlee04.0 e)e(25.0)e(42.0)e(NNNNWWWWWW第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 其幅度函数为这样其幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同的WRg()函数，使旁瓣再进一步抵消。旁瓣峰值幅度进一步
33、增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗的3倍。布莱克曼窗的四种波形如图7.2.8所示，参数为:n=57 dB;B=12/N;s=74 dB。（7.2.14）141404.0 121225.0)(42.0)(RgRgRgRgRgBlgNWNWNWNWWW第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.8 布莱克曼窗的四种波形第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 6 凯塞凯塞贝塞尔窗（贝塞尔窗（Kaiser-Basel Window）以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞贝塞尔窗是一种参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。（7.2.15）式中10)()()(00kNnIIn
34、，21121Nn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 I0()是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：一般I0()取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4 9。当=5.44时，窗函数接近哈明窗。=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。在设计指标给定时，可以调整值，使滤波器阶数最低，所以其性能最优。凯塞（Kaiser）给出的估算和滤波器阶数N的公式如下:2011()1!2kkIk 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（7.2.17）式中，Bt=|sp|,是数字滤波器过渡带宽度。应当注意，因为式（7.2.17）为阶数估算，所以必须对
35、设计结果进行检验。另外，凯塞窗函数没有独立控制通带波纹幅度，实际中通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度。凯塞窗的幅度函数为（7.2.16）ss0.4ssss0.112(8.7),50 dB0.5842(21)0.07886(21),2150 dB0,21st82.285NB第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(1)/2kgkk1()(0)2()cosNnWww nn（7.2.18）对的8种典型值，将凯塞窗函数的性能列于表7.2.1中，供设计者参考。由表可见,当=5.568时,各项指标都好于哈明窗。6种典型窗函数基本参数归纳在表7.2.2中，可供设计时参考。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 表表
36、7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影凯塞窗参数对滤波器的性能影 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 表表7.2.2 6种窗函数的基本参数种窗函数的基本参数 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 表中过渡带宽和阻带最小衰减是用对应的窗函数设计的FIR数字滤波器的频率响应指标。随着数字信号处理的不断发展，学者们提出的窗函数已多达几十种，除了上述6种窗函数外，比较有名的还有Chebyshev窗、Gaussian窗5,6。MATLAB信号处理工具箱提供了14种窗函数的产生函数，下面列出上述6种窗函数的产生函数及其调用格式：第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 wn=boxcar(N)列向量wn中返
37、回长度为N的矩形窗函数w(n)wn=bartlett(N)列向量wn中返回长度为N的三角窗函数w(n)wn=hanning(N)列向量wn中返回长度为N的汉宁窗函数w(n)wn=hamming(N)列向量wn中返回长度为N的哈明窗函数w(n)wn=blackman(N)列向量wn中返回长度为N的布莱克曼窗函数w(n)wn=kaiser(N,beta)列向量wn中返回长度为N的凯塞贝塞尔窗函数w(n)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.2.3 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器的步骤滤波器的步骤用窗函数法设计FIR滤波器的步骤如下：(1)根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的
38、类型，并估计窗口长度N。先按照阻带衰减选择窗函数类型。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。然后根据过渡带宽度估计窗口长度N。待求滤波器的过渡带宽度Bt近似等于窗函数主瓣宽度，且近似与窗口长度N成反比，NA/Bt，A取决于窗口类型，例如，矩形窗的A=4，哈明窗的A=8等，参数A的近似和精确取值参考表7.2.2。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(2)构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)，即 对所谓的“标准窗函数法”，就是选择Hd(ej)为线性相位理想滤波器（理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻）。以低通滤波器为例，Hdg()应满足：（7.2.19）jj(1)/2d
39、dg(e)()eNHHcdgc1|()0|H第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 由图7.2.2知道，理想滤波器的截止频率c近似位于最终设计的FIRDF的过渡带的中心频率点，幅度函数衰减一半（约6 dB）。所以如果设计指标给定通带边界频率和阻带边界频率p和s，一般取（7.2.20）(3)计算hd(n)。如果给出待求滤波器的频响函数为Hd(ej)，那么单位脉冲响应用下式求出：2spc（7.2.21）jjddde)e(21)(nHnh第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 2jdd()(e)kMMHkH如果Hd(ej)较复杂，或者不能用封闭公式表示，则不能用上式求出hd(n)。我们可以对Hd(ej)
40、从=0到=2采样M点，采样值为，k=0,1,2,M1，进行M点IDFT(IFFT)，得到：（7.2.22）根据频域采样理论，hdM(n)与hd(n)应满足如下关系：dd()IDFT()MMMhnHkdd()()()MMrhnh nrM Rn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 因此，如果M选得较大，可以保证在窗口内hdM(n)有效逼近hd(n)。对（7.2.19）式给出的线性相位理想低通滤波器作为Hd(ej)，由（7.2.2）式求出单位脉冲响应hd(n)：为保证线性相位特性，=(N1)/2。(4)加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n)。cdsin()()()nh nn第7章 有限脉冲响
41、应数字滤波器的设计【例例7.2.1】用窗函数法设计线性相位高通FIRDF，要求通带截止频率p=/2 rad，阻带截止频率s=/4 rad，通带最大衰减 p=1 dB，阻带最小衰减 s=40 dB。解解(1）选择窗函数w(n)，计算窗函数长度N。已知阻带最小衰减 s=40 dB，由表（7.2.2）可知汉宁窗和哈明窗均满足要求，我们选择汉宁窗。本例中过渡带宽度Btps=/4，汉宁窗的精确过渡带宽度Bt=6.2/N，所以要求Bt=6.2/N/4，解之得N24.8。对高通滤波器N必须取奇数，取N=25。由式（7.2.11）,有第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（2）构造Hd(ej):式中25()0.
42、5 1cos()12nw nRnjjcdce,(e)0,0Hspc1312,22N第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（3）求出hd(n):将=12代入得 jjdd1()(e)ed2nh nHccjjjj1 eedeed2nncsin()sin()()()nnnndsin3(12)/8()(12)(12)nh nnn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(n12)对应全通滤波器，是截止频率为3/8的理想低通滤波器的单位脉冲响应，二者之差就是理想高通滤波器的单位脉冲响应。这就是求理想高通滤波器的单位脉冲响应的另一个公式。（4）加窗:sin3(12)/8(12)nnd()()()h nh n w n
43、25sin3(12)/8(12)0.50.5cos()(12)12nnnRnn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.2.4 窗函数法的窗函数法的MATLAB设计函数简介设计函数简介实际设计时一般用MATLAB工具箱函数。可调用工具箱函数fir1实现窗函数法设计步骤（2）（4）的解题过程。(1)fir1是用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器的工具箱函数，以实现线性相位FIR数字滤波器的标准窗函数法设计。这里的所谓“标准”，是指在设计低通、高通、带通和带阻FIR滤波器时，Hd(ej)分别表示相应的线性相位理想低通、高通、带通和带阻滤波器的频率响应函数。因而将所设计的滤波器的频率响应称为标准频
44、率响应。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 Fir1的调用格式及功能：hn=fir1(M,wc)，返回6 dB截止频率为wc的M阶（单位脉冲响应h(n)长度N=M+1）FIR低通（wc为标量）滤波器系数向量hn，默认选用哈明窗。滤波器单位脉冲响应h(n)与向量hn的关系为h(n)=hn(n+1)n=0,1,2,M而且满足线性相位条件:h(n)=h(N1n)。其中wc为对归一化的数字频率，0wc1。当wc=wcl,wcu时，得到的是带通滤波器，其6 dB通带为wclwcu。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 hn=fir1(M,wc,ftype)，可设计高通和带阻FIR滤波器。当ftype=
45、high时，设计高通FIR滤波器；当ftype=stop，且wc=wcl,wcu时，设计带阻FIR滤波器。应当注意，在设计高通和带阻FIR滤波器时，阶数M只能取偶数（h(n)长度N=M+1为奇数）。不过，当用户将M设置为奇数时，fir1会自动对M加1。hn=fir1(M,wc,window)，可以指定窗函数向量window。如果缺省window参数，则fir1默认为哈明窗。例如:第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 hn=fir1(M,wc,bartlett(M+1)，使用Bartlett窗设计；hn=fir1(M,wc,blackman(M+1)，使用blackman窗设计；hn=fir1(
46、M,wc,ftype,window)，通过选择wc、ftype和window参数（含义同上），可以设计各种加窗滤波器。(2)fir2为任意形状幅度特性的窗函数法设计函数，用fir2设计时，可以指定任意形状的Hd(ej)，它实质是一种频率采样法与窗函数法的综合设计函数。主要用于设计幅度特性形状特殊的滤波器（如数字微分器和多带滤波器等）。用help命令查阅其调用格式及调用参数的含义。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 例7.2.1 的设计程序ep721.m如下:ep721.m:例7.2.1 用窗函数法设计线性相位高通FIR数字滤波器wp=pi/2;ws=pi/4;Bt=wp-ws;计算过渡带宽度
47、N0=ceil(6.2*pi/Bt);根据表7.2.2汉宁窗计算所需h(n)长度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整数N=N0+mod(N0+1,2);确保h(n)长度N是奇数wc=(wp+ws)/2/pi;计算理想高通滤波器通带截止频率(关于归一化)hn=fir1(N-1,wc,high,hanning(N);调用fir1计算高通FIR数字滤波器的h(n)略去绘图部分第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 运行程序得到h(n)的25个值:h(n)=0.0004 0.0006 0.0028 0.0071 0.0000 0.0185 0.0210 0.0165 0.0624 0.0355 0.
48、10610.2898 0.6249 0.2898 0.1061 0.0355 0.0624 0.0165 0.0210 0.0185 0.0000 0.0071 0.00280.00060.0004高通FIR数字滤波器的h(n)及损耗函数如图7.2.9所示。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.9 高通FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计【例例7.2.2】对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带0f 1.5kHz内衰减小于1 dB，阻带2.5kHzf 上衰减大于40 dB。希望对模拟信号采样后用线性相位FIR数字滤波器实现上述滤波，采样频率Fs
49、=10 kHz。用窗函数法设计满足要求的FIR数字低通滤波器，求出h(n)，并画出损耗函数曲线。为了降低运算量，希望滤波器阶数尽量低。解解（1）确定相应的数字滤波器指标:通带截止频率为3.010000150022sppFf第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 阻带截止频率为 阻带最小衰减为 s=40dB（2）用窗函数法设计FIR数字低通滤波器，为了降低阶数选择凯塞窗。根据式（7.2.16）计算凯塞窗的控制参数为5.010000250022sssFf0.4ss0.5842(21)0.07886(21)3.3953第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 指标要求过渡带宽度Bt=sp=0.2，根据式（
50、7.2.17）计算滤波器阶数为取满足要求的最小整数M=23。所以h(n)长度为N=M+1=24。但是，如果用汉宁窗，h(n)长度为N=40。理想低通滤波器的通带截止频率c=(s+p)/2=0.4，所以由式（7.2.2）和式（7.2.3）,得到:式中，w(n)是长度为24（=3.395）的凯塞窗函数。st840822.28872.2852.2850.2MBdsin0.4()1()()()(),11.5()2nNh nh n w nw nn第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 实现本例设计的MATLAB程序为ep722.m。ep722.m:例7.2.2 用凯塞窗函数设计线性相位低通FIR数字滤波器
