1、17.5 IRR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较2 10()()NnnH zh n z3nFIRFIR数字滤波器很容易得到严格的线性相位。数字滤波器很容易得到严格的线性相位。nFIRFIR数字滤波器的单位脉冲响应是有限长的，数字滤波器的单位脉冲响应是有限长的，因此总是稳定的。因此总是稳定的。nFIRFIR滤波器的设计方法：滤波器的设计方法：n窗函数法窗函数法n频率取样法频率取样法n等纹波逼近法等纹波逼近法n1.线性相位FIR数字滤波器n单位脉冲响应h(n)的长度为N，则其频率响应函数为 其中，为幅度特性，为相位特性。而线性相位FIR滤波器是指 是w的线性函数。其中：n第一类线性相位的
2、相位特性函数是的严格线性函数:n第二类线性相位FIRDF的相位特性函数如下式:4 1jj0(e)()e 7.1.1NnnHh n（）jj()g(e)()e 7.1.2HH（）()7.1.3（）0()7.1.4（）g()H()()52.线性相位FIR滤波器的时域约束条件1）第一类线性相位对）第一类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件n第一类线性相位FIRDF的相位函数 ，由(7.1.1)和（7.1.2）得 n由式（7.1.5）得到 1jjjg01g0 (e)()e()e ()(cosjsin)()(cosjsin)(7.1.5)NnnNnHhnHhnnnH11gg00()cos()cos,()
3、sin()sin 7.1.6NNnnHh nnHh nn（）()n将式（7.1.6）中两式相除得：即n移项并用三角公式化简得到要求 和h(n)满足如下条件:610()sin()0 7.1.7Nnh nn（）1(),7.1.82()(1),01Nh nh NnnN （）1010()coscossin()sinNnNnh nnh nn1100()cossin()sincosNNnnh nnh nn2)第二类线性相位对第二类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件第二类线性相位FIRDF的相位函数n由式（由式（7.1.1）和式（）和式（7.1.2），有：有：n经过同样的推导过程可得到经过同样的推导过程
4、可得到：n要求要求 和和h(n)满足如下条件满足如下条件 71jjj(/2)g0(e)()e()eNnnHhnH 10()cos()0 7.1.9Nnh nn（）1(),7.1.1022()(1),01Nh nh NnnN （）()2 3.线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点n对幅度特性Hg()的约束情况情况1:h(n)=h(N-n-1),N为奇数时Hg()的特点：Hg()关于0，2三点偶对称，情况情况2:h(n)=h(N-n-1),N为偶数时Hg()的特点:Hg()关于0，2偶对称,而关于奇对称，因此8情况情况3:h(n)=-h(N-n-1),N为奇数时Hg
5、()的特点：Hg()关于0，2三点奇对称，情况情况4:h(n)=-h(N-n-1),N为偶数时Hg()的特点：Hg()关于0，2奇对称,而关于偶对称，910表表7.1.1(a)线性相位线性相位FIRDF的时域和频域特性一览表的时域和频域特性一览表11表表7.1.1(b)线性相位线性相位FIRDF的时域和频域特性一览表的时域和频域特性一览表4.线性相位线性相位FIRDF的零点分布特点的零点分布特点将 代入上式，得到：由(7.1.14)式可以看出：如果 是 的零点，其倒数 也必然是其零点；又因为h(n)是实序列，H(z)的零点必定共轭成对，因此 和 也是其零点。这样线性相位FIR滤波器的零点确定其
6、中一个，另外三个也确定了，当然也有特殊情况（共轭为本身or倒数为本身的情况，如图所示）1210()()NnnH zh n z()(1)h nh Nn 11001(1)(1)10()()(1)=()=()7.1.14NNnnnnNNmNmH zh n zh Nn zh m zzH z （）z=zi()H z1zi*zi1*(z)i1314n理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应 n其对应的单位脉冲响应其对应的单位脉冲响应 可以看到可以看到()7.2.10jcjdceHe（）sin()1()7.2.2)2()cccjj ndnh needn（15n将将n可以将可以将看作是看作是与矩形窗与
7、矩形窗 相乘相乘 ()01()0dh nnNh n其它()()()7.2.3dNh nh n Rn（）()NRn16n时域加窗时域加窗n频域卷积频域卷积()()()dRh nh n wn11()()()()22jjjjjdRdRH eHeWeHeWed（7.2.4）17n时域表示时域表示n频域表示频域表示n幅度幅度n相位相位101()0RnNwn其它1120sin(2)()sin(2)NNjjj nRnNW eeegsin(2)()sin(2)RNW12N18nFIR滤波器的幅频特性滤波器的幅频特性gg11()()()()()d22jjjjdRgdRgH eHeWeeHWg1()()()d2d
8、gRgHHWdg1 ()0 ccH1920n(1)在理想特性不连续点在理想特性不连续点c附近形成过渡带。附近形成过渡带。过滤带的宽度近似等于过滤带的宽度近似等于 WR()主瓣宽度，主瓣宽度，=4/N。n(2)通带内增加了波动，最大的峰值在通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N 处。阻带内产生了余振，最大的负峰在处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波动的情况与窗函处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。数的幅度谱有关。WR()波动愈快（加大时），波动愈快（加大时），通带与阻带内波动愈快，通带与阻带内波动愈快，WR()旁瓣的大小直旁瓣的大小直接影响波动的大小。接影
9、响波动的大小。n这些影响是对这些影响是对hd(n)加矩形窗引起的，称之为加矩形窗引起的，称之为吉吉布斯效应布斯效应。21n增加矩形窗口的宽度增加矩形窗口的宽度N不能减少吉布斯效应的不能减少吉布斯效应的影响。影响。N的改变只能改变的改变只能改变坐标的比例和坐标的比例和 的绝对的绝对大小，不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值。加大大小，不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值。加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。并不是减少吉布斯效应的有效方法。n寻找合适的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包寻找合适的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度就变小了；旁瓣含更多的能量，相应旁瓣幅度就变小了；旁瓣的减少可使通
10、带与阻带波动减少，从而加大阻的减少可使通带与阻带波动减少，从而加大阻带的衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。带的衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。sin/2sing/2()NxRxWN（）()RW22n矩形窗矩形窗n三角（三角（Bartlett）窗）窗 n汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗n哈明（哈明（Hamming）窗）窗 n布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗n凯塞凯塞-贝塞尔（贝塞尔（Kaiser-Basel-）窗）窗23n矩形窗矩形窗101()0nNw n其它sin2()sin2RNW图图7.2.3 矩形窗的四种波形矩形窗的四种波形24n三角（三角（Bartlett）窗）
11、窗其频谱函数为：其频谱函数为：其幅度函数为：其幅度函数为：21012()212112nNnNw nnNnNN122B2 sin(/4)()sin(/2)NjjNW eeN2Bg2sin(/4)()sin(/2)NWN25n汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗 Hnggg22()0.5()0.2511220.5()0.25(N1RRgRgRRgRgWWWWNNWWWNN当时)hn22()0.5 1 cos()0.5()()cos11NNNnnw nR nR nR nNN26n哈明（哈明（Hamming）窗）窗 Hm2()0.540.46cos()1nwnw nNHmgg22()0.54()0.23
12、11RRgRgWWWWNN27n布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗 Bl24()0.420.5cos0.08cos()11nnwnw nNN28n凯塞凯塞-贝塞尔（贝塞尔（Kaiser-Basel）窗）窗 20k02111()()nINw nI2012()1!kkIk 2930窗函数类型旁瓣峰值n（dB）过渡带宽度B阻带最小衰减s（dB）近似值精确值矩形窗134/N1.8/N21三角窗258/N6.1/N25汉宁窗318/N6.2/N44哈明窗418/N6.6/N53布莱克曼窗5712/N11/N74凯塞窗(=7.865)57 10/N8031表中过渡带宽和阻带最小衰减是用对应的窗函
13、数表中过渡带宽和阻带最小衰减是用对应的窗函数设计的设计的FIR数字滤波器的频率相响应指标。除了以数字滤波器的频率相响应指标。除了以上上6种窗函数外，比较有名的还有种窗函数外，比较有名的还有Chebyshev窗、窗、Gaussian窗窗。32n1.根据允许的过渡带宽及阻带衰减，选根据允许的过渡带宽及阻带衰减，选定窗函数和定窗函数和N值。值。n2.给出希望设计的滤波器的频率响应函给出希望设计的滤波器的频率响应函数数n3.计算计算 如果如果不能用简单函数表示，可以不能用简单函数表示，可以用求和代替积分。用求和代替积分。1()()2jj nddh nHeed22101()()MjkjknMMddkh
14、nHeeM33n4.将将与窗函数相乘得与窗函数相乘得FIR数字滤波器数字滤波器的冲激响应的冲激响应h(n)n5.计算计算FIR数字滤波器的频率响应，并验数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标证是否达到所要求的指标 10()()NjjnnH eh n eh(n)=h()()dn w n34n例例7.2.1 用窗函数法设计线性相位高通用窗函数法设计线性相位高通FIRDF，要求，要求通带截止频率通带截止频率p=/2 rad，阻带截止频率，阻带截止频率s=/4 rad，通带最大衰减，通带最大衰减 p=1 dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=40 dB。解：解：（1）选择窗函数w(n)，计算
15、窗函数长度N。已知阻带最小衰减s=40 dB，由表(7.2.2)可知汉宁窗和哈明窗均满足要求，这里选择汉宁窗。本例中过渡带宽度 ，汉宁窗的精确过渡带宽度 ，解不等式得到：N24.8，而对高通滤波器N要取奇数，所以此处N取25.所以有：ps/4 tB tB=6.2/N25()0.5 1cos()12nw nRn35（2 2）构造）构造式中，式中，（3 3）求出）求出将将=12=12代入，得：代入，得：公式中第一项对应全通滤波器，第二项是低通，两者之公式中第一项对应全通滤波器，第二项是低通，两者之差即为高通。差即为高通。jd(e)Hjjcdce,(e)0,0H csp1/212,()/23/8N
16、dh()nccjjddjjjjc1()(e)ed2sin()1sin()eedeed2()()nnnh nHnnnndsin3(12)/8()(12)(12)nh nnn36（4 4）加窗）加窗d25()()()sin3(12)/8(12)0.50.5cos()(12)12h nh n w nnnnRnn实际设计的时候一般用Matlab工具箱函数，可调用工具箱函数fir1实现窗函数法设计步骤的（2）（4）的过程。n1）fir1是用窗函数法设计线性相位FIRDF的工具箱函数，以实现线性相位FIRDF的标准窗函数法设计。n2）用fir2函数设计时，可以指定任意形状的 ，所以称之为任意形状幅度特性窗
17、函数法设计函数，它实质是一种频率采样法与窗函数法的综合设计函数37jd(e)H381.基本思想基本思想n频域采样法是在频率域对理想滤波器频域采样法是在频率域对理想滤波器采样，采样，在采样点上设计的滤波器在采样点上设计的滤波器和理想滤波器和理想滤波器幅度值相等，然后根据频率域的采样值求幅度值相等，然后根据频率域的采样值求得实际设计的滤波器的频率特性得实际设计的滤波器的频率特性。n对理想滤波器的频率特性对理想滤波器的频率特性在在0,2 范围内范围内等间隔地取样等间隔地取样N个点个点 2d()()jdkNHkHe39n根据插值公式根据插值公式n此式就是直接利用频率采样值此式就是直接利用频率采样值Hd
18、(k)形成滤波形成滤波器的系统函数，适合频率采样结构器的系统函数，适合频率采样结构1dk10N()1()1 WNNkHkzH zNz40n当当h(n)是偶对称，是偶对称，h(n)=h(N-n-1)，N为奇数。为奇数。nH()是偶对称的是偶对称的n对对在在0,2 范围内等间隔地取样范围内等间隔地取样N个点个点12d()()NjjdgHeHedgdg()(2)HH2()kkNHH1 2N1k2NkNkN kN kHH41n当当h(n)是偶对称，是偶对称，h(n)=h(N-n-1)，N为偶数。为偶数。nH()是偶对称的是偶对称的n对对在在0,2 范围内等间隔地取样范围内等间隔地取样N个点个点12d(
19、)()NjjdgHeHedgdg()(2)HH 2()kkNHH1 2N1k2NkNkN kN kHH 42n采用频域取样法设计的采用频域取样法设计的FIRFIR数字滤波器在阻带数字滤波器在阻带内的衰减很小，在实际应用中往往达不到要求。内的衰减很小，在实际应用中往往达不到要求。n产生这种现象的原因是由于在通带边缘采样点产生这种现象的原因是由于在通带边缘采样点的陡然变化而引起的起伏振荡。的陡然变化而引起的起伏振荡。n增加阻带衰减的方法是在通带和阻带的边界处增加阻带衰减的方法是在通带和阻带的边界处增加一些过渡的采样点，从而减小频带边缘的增加一些过渡的采样点，从而减小频带边缘的突变，也就减小了起伏振
20、荡，增大了阻带最小突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。衰减。n 的内插表示形式：n式中n因此采样点处H(ejwk)与H(k)相等，逼近误差为043jw()()H eFT h n-1jwk=02()()()NH eH kwkNj(1)/21 sin(/2)()esin(/2)NNN 44n 45图图7.3.1 频率采样法设计过程中的波频率采样法设计过程中的波形（形（N=15）图图7.3.2 采样点数采样点数N不同时的逼不同时的逼近误差比较（近误差比较（N=15,75）m123s4454 dB6575 dB8595 dB46将过渡带采样点的个数将过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减与
21、滤波器阻带最小衰减 s的经的经验数据列于表验数据列于表7.3.1中，我们可以根据给定的阻带最小衰减中，我们可以根据给定的阻带最小衰减 s选择过渡带采样点的个数选择过渡带采样点的个数m。表表7.3.1 过渡带采样点的个数过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减与滤波器阻带最小衰减 s的经验数据的经验数据47(1)根据阻带最小衰减根据阻带最小衰减 选择过渡带采样点的个数选择过渡带采样点的个数m。(2)确定过渡带宽度确定过渡带宽度 ，估算频域采样点数（即滤波器，估算频域采样点数（即滤波器长度）长度）N。如果增加。如果增加m个过渡带采样点，则过渡带宽度个过渡带采样点，则过渡带宽度近似变成近似变成 。当
22、。当N确定时，确定时，m越大，过渡带越越大，过渡带越宽。如果给定过渡带宽度宽。如果给定过渡带宽度 ，则要求，则要求 ，即滤波器长度即滤波器长度N必须满足以下等式：必须满足以下等式：(3)构造一个希望逼近的频率响应函数：构造一个希望逼近的频率响应函数：设计标准型片段常数特性的设计标准型片段常数特性的FIR数字滤波器时，一般构数字滤波器时，一般构造幅度特性函数造幅度特性函数 为相应的理想频响特性，且满足为相应的理想频响特性，且满足表表7.1.1要求的对称性。要求的对称性。stB(1)2/mNtB(1)2/BtmN2N(1)tmBjj(1)/2ddg(e)()eNHHjdg(e)H48(4)按照按照
23、(7.3.1)式进行频域采样：式进行频域采样：并加入过渡采样。过渡带采样值可以设置为经验值，或用并加入过渡采样。过渡带采样值可以设置为经验值，或用累试法确定，也可以采用优化方法估算。累试法确定，也可以采用优化方法估算。(5)对对 进行进行N点点IDFT，得到第一类线性相位，得到第一类线性相位FIR数字数字滤波器的单位脉冲响应：滤波器的单位脉冲响应：(6)检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤波器边界频率未达到指标要求，则要微调波器边界频率未达
24、到指标要求，则要微调 的边界频的边界频率。率。(1)jjd2()(e)()e,0,1,2,1NkNkNH kHA kkNdg2(),0,1,2,1A kHkkNNH(k)N 101()IDFT()(),0,1,2,N1knNkh nH kH k WnNdgH()等波纹最佳逼近法的特点：等波纹最佳逼近法的特点：（1）是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的）是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均，并在整个逼近频段上均匀分布。即幅频响应在通带和阻带都是等波纹的；匀分布。即幅频
25、响应在通带和阻带都是等波纹的；（2）可以分别控制通带和阻带波纹幅度。）可以分别控制通带和阻带波纹幅度。（3）在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。）在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。（4）与窗函数设计法和频率采样法比较，设计的滤波器）与窗函数设计法和频率采样法比较，设计的滤波器性能价格性能价格比最高。比最高。阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。滤波器阶数最低。比
26、较例题比较例题7.2.3和例题和例题7.2.1，设计指标要求相同的带阻滤波器，设计指标要求相同的带阻滤波器，等波纹最佳逼近法需要等波纹最佳逼近法需要28阶，而窗函数法需要阶，而窗函数法需要79阶！阶！49Hd()表示希望逼近的幅度特性函数。表示希望逼近的幅度特性函数。Hg()表示实际设计的滤波器幅度特性函数。表示实际设计的滤波器幅度特性函数。加权误差函数加权误差函数 50()Edg()()()()EWHHW()称为误差加权函数，用来控制不同频段（一般指通带和阻带）称为误差加权函数，用来控制不同频段（一般指通带和阻带）的逼近精度。等波纹最佳逼近基于切比雪夫逼近，在通带和阻带以的逼近精度。等波纹最
27、佳逼近基于切比雪夫逼近，在通带和阻带以的最大值最小化为准则，采用的最大值最小化为准则，采用Remez多重交换迭代算法求解滤波器系数多重交换迭代算法求解滤波器系数h(n)。()E W()取值越大的频段逼近精度越高，开始设计时应根据逼近精度取值越大的频段逼近精度越高，开始设计时应根据逼近精度要求确定要求确定W()，在，在Remez多重交换迭代过程中多重交换迭代过程中W()是确知函数。是确知函数。由于切比雪夫（由于切比雪夫（Chebyshev）和雷米兹（）和雷米兹（Remez）对解决该问题做出了）对解决该问题做出了贡献，所以又称之为切比雪夫逼近法，或雷米兹逼近法。贡献，所以又称之为切比雪夫逼近法，或
28、雷米兹逼近法。等波纹最佳逼近设计中，把数字频段分为等波纹最佳逼近设计中，把数字频段分为 “逼近（或研究）区域逼近（或研究）区域”一般指通带和阻带一般指通带和阻带 “无关区域无关区域”一般指过渡带一般指过渡带设计过程中只考虑对逼近区域的最佳逼近。设计过程中只考虑对逼近区域的最佳逼近。注意：无关区宽度不能为零，即注意：无关区宽度不能为零，即Hd()不能是理想滤波特性。不能是理想滤波特性。否则，设计必将失败。否则，设计必将失败。51等波纹滤波器的技术指标及其描述参数：等波纹滤波器的技术指标及其描述参数：等波纹最佳逼近设计法的数学证明复杂，所以本节略去其复杂的数等波纹最佳逼近设计法的数学证明复杂，所以
29、本节略去其复杂的数学推导，只介绍其基本思想和实现线性相位学推导，只介绍其基本思想和实现线性相位FIR数字滤波器的等波纹数字滤波器的等波纹最佳逼近设计的最佳逼近设计的MATLAB信号处理工具箱函数信号处理工具箱函数remez和和remezord。52M,fo,mo,w=remezord(f,m,rip,Fs)hn=remez(M,fo,mo,w)求滤波器阶数求滤波器阶数N和误差加权函数和误差加权函数W()时，要求给出时，要求给出 1和和 2工程实际中设计指标通常以工程实际中设计指标通常以 p和和 s给出给出两种描述参数之间的换算关系：两种描述参数之间的换算关系：11p111120lg20lg11
30、 2s2120lg20lg1 pp/201/20101101s/2021053()W由图可见：由图可见：和和N由滤波器设计指标（即由滤波器设计指标（即 p和和 s，以及过渡带宽度）确定，以及过渡带宽度）确定 期望逼近的通带为期望逼近的通带为0,/4，阻带为阻带为5 /16,，过渡带已知，过渡带已知 （1）根据给定的逼近指标估算滤波器阶数）根据给定的逼近指标估算滤波器阶数N和误差加和误差加权函数权函数 ；（2）采用）采用remez算法得到滤波器单位脉冲响应算法得到滤波器单位脉冲响应h(n)。MATLAB工具箱函数工具箱函数remezord和和remez就是完成就是完成以上以上2个设计步骤的有效函
31、数。个设计步骤的有效函数。54()W1Remez：采用采用remez算法实现线性相位算法实现线性相位FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近数字滤波器的等波纹最佳逼近设计。其调用格式为设计。其调用格式为:hn=remez(M,f,m,w)返回单位脉冲响应向量返回单位脉冲响应向量hn。remez函数的调用参数（函数的调用参数（M,f,m,w）一般通过调用）一般通过调用remezord函数来计算。调用参数含义如下函数来计算。调用参数含义如下:M为为 FIR数字滤波器阶数，数字滤波器阶数，hn长度长度N=M+1。f和和m给出希望逼近的幅度特性：给出希望逼近的幅度特性：f为边界频率向量，为边界频率向量，0f1
32、，要求，要求f为单调增向量（即为单调增向量（即f(k)f(k+1)），而且从），而且从0开始，以开始，以1结束，结束，1对应数字频率对应数字频率=（模拟频率（模拟频率Fs/2，Fs表示时域采样频率）。表示时域采样频率）。m是与是与f对应的幅度向量，对应的幅度向量，m与与f长度相等，长度相等，m(k)表示频点表示频点f(k)的幅度响应值。的幅度响应值。如果用命令如果用命令Plot(f,m)画出幅频响应曲线，则画出幅频响应曲线，则k为奇数时，频段为奇数时，频段f(k)，f(k+1)上上的的幅频响应就是期望逼近的幅频响应值，频段幅频响应就是期望逼近的幅频响应值，频段f(k+1)，f(k+2)为无关区
33、。简言之，为无关区。简言之，Plot(f,m)命令画出的幅频响应曲线中，起始频段为第一段，奇数频段为逼近命令画出的幅频响应曲线中，起始频段为第一段，奇数频段为逼近区，偶数频段为无关区。区，偶数频段为无关区。55例如，通带频段例如，通带频段 ，阻带频段，阻带频段 ，则，则，f=0,1/4,5/16,1；m=1,1,0,0plot(f,m)画出的幅度特性曲线如图所示。画出的幅度特性曲线如图所示。图中奇数段（第图中奇数段（第1、3段）的水平幅度为希望逼近的幅度特性，偶数段）的水平幅度为希望逼近的幅度特性，偶数段（第段（第2段）的下降斜线为无关部分，逼近时形成过渡带，并不考虑该段）的下降斜线为无关部分
34、，逼近时形成过渡带，并不考虑该频段的幅频响应形状。频段的幅频响应形状。w为误差加权向量，其长度为为误差加权向量，其长度为f的一半。的一半。w(i)表示对表示对m中第中第i个逼近频个逼近频段的误差加权值。图段的误差加权值。图7.4.2(a)中中w=1,10。缺省。缺省w时，默认时，默认w为全为全1（即每个逼近频段的误差加权值相同）。（即每个逼近频段的误差加权值相同）。560,/45/16,希望逼近的幅度特性曲线希望逼近的幅度特性曲线remez函数还可以设计两种特殊滤波器：希尔伯特变换器和数字微分器。函数还可以设计两种特殊滤波器：希尔伯特变换器和数字微分器。调用格式：调用格式：hn=remez(M
35、,f,m,w,hilbert)hn=remez(M,f,m,w,defferentiator)2Remezord：根据逼近指标估算根据逼近指标估算FIR数字滤波器的最低阶数数字滤波器的最低阶数M、误、误差加权向量差加权向量w和归一化边界频率向量和归一化边界频率向量f。返回参数作为返回参数作为remez函数的调用参数。调用格式函数的调用参数。调用格式:M,fo,mo,w=remezord(f,m,rip,Fs)57hn=remez(M,fo,mo,w)参数说明：参数说明：f与与remez中类似，这里中类似，这里f可以是模拟频率（可以是模拟频率（Hz）或归一化数字频率，但）或归一化数字频率，但必须
36、以必须以0开始，以开始，以Fs/2（用归一化频率时对应（用归一化频率时对应1）结束，而且省略了）结束，而且省略了0和和Fs/2两个频点。两个频点。Fs为采样频率，缺省时默认为采样频率，缺省时默认Fs=2Hz。注意：注意：这里这里f的长度（包括省略的的长度（包括省略的0和和Fs/2两个频点）是两个频点）是m的两倍，即的两倍，即m中中的每个元素表示的每个元素表示f给定的一个逼近频段上希望逼近的幅度值。给定的一个逼近频段上希望逼近的幅度值。例如，对上面希望逼近的幅度特性曲线图，例如，对上面希望逼近的幅度特性曲线图，f=1/4,5/16;m=1,0。注意注意:省略省略Fs时，时，f中必须为归一化频率。
37、中必须为归一化频率。有时估算的阶数有时估算的阶数M略小，使设计结果达不到指标要略小，使设计结果达不到指标要求，这时要取求，这时要取M+1或或M+2（必须注意对滤波器长度（必须注意对滤波器长度N=M+1的奇偶性要求）。所以必须检验设计结果。的奇偶性要求）。所以必须检验设计结果。如果无关区（过渡带）太窄，或截止频率太接近零如果无关区（过渡带）太窄，或截止频率太接近零频率和频率和Fs/2时，设计结果可能不正确。时，设计结果可能不正确。rip表示表示f和和m描述的各逼近频段允许的波纹幅度（幅频响应最大描述的各逼近频段允许的波纹幅度（幅频响应最大逼近误差），逼近误差），f的长度是的长度是rip的两倍。的
38、两倍。例：对上图所示的低通滤波器，例：对上图所示的低通滤波器，5812rip,对高通滤波器，对高通滤波器，21rip,调用调用remez和和remezord函数设计线性相位函数设计线性相位FIR数字滤波器的关键问题：数字滤波器的关键问题：设计指标设计指标 remezord函数的调用参数函数的调用参数f,m,rip和和Fs其中，其中，Fs一般是根据实际信号处理要求（按照采样定理）确定。一般是根据实际信号处理要求（按照采样定理）确定。下面给出由各种滤波器设计指标确定下面给出由各种滤波器设计指标确定remezord调用参数调用参数f,m和和rip的公式，编程时直接套用即可。的公式，编程时直接套用即可
39、。59p dBs,s dBps/,/f1,0m 12rip,1、低通滤波器设计指标、低通滤波器设计指标 逼近通带逼近通带:，通带最大衰减，通带最大衰减:逼近阻带逼近阻带:，阻带最小衰减，阻带最小衰减:remezord调用参数调用参数:p0,2、高通滤波器设计指标、高通滤波器设计指标逼近通带逼近通带:，通带最大衰减，通带最大衰减:；逼近阻带逼近阻带:，阻带最小衰减，阻带最小衰减:。调用参数调用参数:60p,pdBs0,sdBsp/,/f0,1m 21rip,，plpu,pdBslsu0,sdBslplpusu/,/,/,/f0,1,0m 212rip,3、带通滤波器设计指标、带通滤波器设计指标，
40、通带最大衰减，通带最大衰减:逼近阻带逼近阻带:，阻带最小衰减，阻带最小衰减:remezord调用参数调用参数:逼近通带逼近通带:slsu,sdBplpu0,pdBplslsupu/,/,/,/f1,0,1m 121rip,4、带阻滤波器设计指标、带阻滤波器设计指标，阻带最大衰减，阻带最大衰减:逼近通带逼近通带:，通带最小衰减，通带最小衰减:remezord调用参数调用参数:，逼近阻带逼近阻带:注意：注意：工程实际中常常给出对模拟信号的滤波指标要求，设计数字滤波器，对输入模拟信号采样后进行数字工程实际中常常给出对模拟信号的滤波指标要求，设计数字滤波器，对输入模拟信号采样后进行数字 滤波。这时，调
41、用参数滤波。这时，调用参数f可以用模拟频率表示。但是，调用可以用模拟频率表示。但是，调用remezord时一定要加入采样频率参数时一定要加入采样频率参数Fs。例例7.4.1 利用等波纹最佳逼近法重新设计利用等波纹最佳逼近法重新设计FIR带阻通滤波器。指标与例带阻通滤波器。指标与例7.2.3相同，即相同，即:逼近通带逼近通带:，通带最大衰减，通带最大衰减:逼近阻带逼近阻带:，阻带最小衰减，阻带最小衰减:解解:调用调用remezord和和remez函数求解。本例设计程序为函数求解。本例设计程序为ep741.m。ep741.m:例例7.4.1 用用remez函数设计带阻滤波器函数设计带阻滤波器f=0
42、.2,0.35,0.65,0.8;%省略了省略了0和和1m=1,0,1;rp=1;rs=60;%由式（由式（7.4.4）和式（）和式（7.4.5）求通带和阻带波纹幅度）求通带和阻带波纹幅度dat1、dat2和和rip：dat1=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1);dat2=10(-rs/20);rip=dat1,dat2,dat1;M,fo,mo,w=remezord(f,m,rip);hn=remez(M,fo,mo,w);以下绘图检验部分略去以下绘图检验部分略去610,0.2,0.8,0.35,0.65 p1 dBs60 dB程序运行结果程序运行结果:M=28。即。即h
43、(n)的长度的长度N=29。注意：例注意：例7.2.3中中N=80。62例例7.4.2 利用等波纹最佳逼近法设计利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字低通滤波器，数字低通滤波器，实现对模拟信号的数字滤波处理。要求与例实现对模拟信号的数字滤波处理。要求与例7.2.2相同。相同。求出求出h(n)，并画出损耗函数曲线和相频特性曲线。，并画出损耗函数曲线和相频特性曲线。解解:将例将例7.2.2 中所给指标重写如下中所给指标重写如下:通带截止频率通带截止频率:fp=1500 Hz；通带最大衰减；通带最大衰减:p=1 dB；阻带截止频率阻带截止频率:fs=2500 Hz；阻带最小衰减；阻带最小衰减:s=40
44、dB；对模拟信号的采样频率对模拟信号的采样频率:Fs=10 kHz。63调用调用remezord和和remez函数设计的程序函数设计的程序ep742.m在下页给出在下页给出 ep742.m:例例7.4.2 用用remez函数设计低通滤波器函数设计低通滤波器Fs=10000;对模拟信号采样的频率为对模拟信号采样的频率为1 kHzf=1500,2500;边界频率为模拟频率边界频率为模拟频率(Hz)m=1,0;rp=1;rs=40;dat1=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1);dat2=10(-rs/20);rip=dat1,dat2;M,fo,mo,w=remezord(f,m
45、,rip,Fs);M=M+1;边界频率为模拟频率边界频率为模拟频率(Hz)时，调用参数必须加入采样频率时，调用参数必须加入采样频率Fshn=remez(M,fo,mo,w);以下绘图检验部分省略以下绘图检验部分省略64运行结果运行结果:滤波器阶数滤波器阶数M=15。例例7.2.2中用窗函数设计的滤波器阶数为中用窗函数设计的滤波器阶数为23。6566n首先，从性能上来说首先，从性能上来说，IIR滤波器系统函数的极点可以位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得好的选择性，但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。n相反，FIR滤波器却可以得到严格的线性相位特性。
46、然而由于FIR滤波器系统函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数达到高的选择性；对于同样的滤波器幅频响应指标，FIR滤波器所要求的阶数可以比IIR滤波器高510倍，成本较高，运算量大，信号延时也较大。n对相同的选择性和相同的线性相位要求来说，则IIR滤波器必须加全通网络进行相位校正，同样要大大增加滤波器的阶数和复杂性。67n从结构上从结构上，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。相反，FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题。n此外，FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法实现，在相同阶数的条件下，运算速度可以大大提高。68n从设计工具看从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都提供有效的封闭形式的设计公式进行准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器设计则一般没有封闭形式的设计公式。n另外，也应看到，IIR滤波器虽然设计简单，但主要用于设计具有片段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻滤波器等，往往脱离不了模拟滤波器的局限性，而FIR滤波器则要灵活得多。
