1、第5章 时域离散系统的网络结构 第第5章章 时域离散系统的网络结构时域离散系统的网络结构 5.1 引言引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 线性相位结构 5.6 频率采样结构 5.7 格型网络结构 习题与上机题第5章 时域离散系统的网络结构 5.1 引引 言言一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程：（5.1.1）则其系统函数H(z)为 (5.1.2)MiNiiiinyainxbny01)()()(Ni-iiMiiizazbXYH101)z()z(z
2、第5章 时域离散系统的网络结构 为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理（运算），必须把（5.1.1）式或者（5.1.2）式变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算。其实(5.1.1)式就是对输入信号的一种直接算法，如果已知输入信号x(n)以及ai、bi和n时刻以前的y(ni)，则可以递推出y(n)值。但给定一个差分方程，不同的算法有多种，例如：11311221150113011)(5015230151)(1508011)(z.z.zHz.z.zHz.z.zH第5章 时域离散系统的网络结构 可以证明以上H1(z)=H2(z)=H3(z)，但它们具有不同的算法。不同的算法直接影响系统运算
3、误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。我们用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。这一章是第9章数字信号处理实现的必要基础。在介绍数字系统的基本网络结构之前，先介绍网络结构的表示方法。第5章 时域离散系统的网络结构 5.2 用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构观察（5.1.1）式可知，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算框图及其流图如图5.2.1所示。第5章 时域离散系统的网络结构 图5.2.1 三种基本运算的流图表示第5章 时域离散系统的网络结构 z1与系数a作为支路增益写在支路箭
4、头旁边，箭头表示信号流动方向。如果箭头旁边没有标明增益，则认为支路增益是。两个变量相加，用一个圆点表示（称为网络节点），这样整个运算结构完全可用这样一些基本运算支路组成，图5.2.2所示的就是这样的流图，该图中圆点称为节点，输入x(n)的节点称源节点或输入节点，输出y(n)称为吸收节点或输出节点。每个节点处的信号称节点变量，这样信号流图实际上是由连接节点的一些有方向性的支路构成的。和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中，第5章 时域离散系统的网络结构(5.2.1)从该例中，我们看到用信号流图表示系统的运算情况（网络结构）是比较简明的。以下我们
5、均用信号流图表示网络结构。)()()()()()()()()1()()1()(202112122122221nwbnwbnwbnynwanwanxnwnwnwnwnw第5章 时域离散系统的网络结构 图5.2.2 信号流图第5章 时域离散系统的网络结构 不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图与之相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图。（1）信号流图中所有支路都是基本支路，即支路增益是常数或者是z1；（2）流图环路中必须存在延迟支路；（3）节点和支路的数目是有限的。第5章 时域离散系统的网络结构 图5.2.2（a）是基本信号流图，图中有两个环路，环
6、路增益分别为a1z1和a2z2，且环路中都有延时支路，而图5.2.2（b）不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法，不满足基本信号流图的条件。根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法是列出各个节点变量方程，形成联立方程组，并进行求解，求出输出与输入之间的z域关系。【例例5.2.1】求图5.2.2（a）信号流图决定的系统函数H(z)。解 图5.2.2（a）信号流图的节点变量方程为(5.2.1)式，对（5.2.1）式进行Z变换，得到：第5章 时域离散系统的网络结构 经过联立求解得到：当结构复杂时，上面利用节点变量方程联立求解的方法较麻烦，不如用梅逊（Masson）公式直接写H(z)表示式方便。关
7、于梅逊公式请参考本书附录A。)()()()()()()()()()()()(20211212212122121zWbzWbzWbzYzWazWazXzWzzWzWzzWzW2211221101)()()(zazazbzbbzXzYzH第5章 时域离散系统的网络结构 一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应网络，简称FIR（Finite Impulse Response）网络，另一类称为无限长单位脉冲响应网络，简称IIR（Infinite Impulse Response）网络。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：（5.2.2）其单位脉冲响应h(n)是有
8、限长的，按照（5.2.2）式，h(n)表示为Miiinxbny0)()(第5章 时域离散系统的网络结构 另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在反馈环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如，一个简单的一阶IIR网络的差分方程为其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述其网络结构。nMnbnhn其它00)()()1()(nxnayny第5章 时域离散系统的网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构无限长脉冲响应基本网络结构IIR网络的基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。1 直接型直接型将N阶差分方程重写如下
9、：对应的系统函数为MiNiiiinyainxbny01)()()(NiiiMiiizazbzH101)(第5章 时域离散系统的网络结构 设M=N=2，按照差分方程可以直接画出网络结构如图5.3.1(a)所示。图中第一部分系统函数用H1(z)表示，第二部分用H2(z)表示，那么H(z)=H1(z)Hz(z)，当然也可以写成H(z)=H2(z)H1(z),按照该式，相当于将图5.3.1(a)中两部分流图交换位置，如图5.3.1(b)所示。该图中节点变量w1=w2，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图5.3.1(c)所示的网络结构流图，我们将图5.3.1(c)所示的这类流图称为IIR直接型网络
10、结构。第5章 时域离散系统的网络结构 M=N=2时的系统函数为 对照图5.3.1(c)的各支路的增益系数与H(z)分母分子多项式的系数可见，可以直接按照H(z)画出直接型结构流图。2211221101)(zazazbzbbzH第5章 时域离散系统的网络结构 图5.3.1 IIR网络直接型结构第5章 时域离散系统的网络结构【例例5.3.1】设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解解 由H(z)写出差分方程如下：按照差分方程画出如图5.3.2所示的直接型网络结构。321321814345121148)(zzzzzzzH)3(2)2(11)1(4)(8)3(81)2(43)
11、1(45)(nxnxnxnxnynynyny第5章 时域离散系统的网络结构 图5.3.2 例5.3.1图第5章 时域离散系统的网络结构 上面我们按照差分方程画出了网络结构，也可以按照H(z)表达式，直接画出直接型网络结构，这里需要用到Masson公式。下面讲述直接型的MATLAB的表示与实现。在MATLAB中，直接型结构由2个行向量B和A表示，B和A与数字滤波器系统函数的关系如下：A=a0,a1,a2,aN,B=b0,b1,b2,bM第5章 时域离散系统的网络结构 则直接型系统函数为 调用1.4.2节介绍的MATLAB 信号处理工具箱函数filter就是按照直接型结构实现滤波器。如果滤波器输入
12、信号向量为xn，输出信号向量为yn，则yn=filter(B,A.xn)按照直接型结构实现对xn的滤波，计算系统对输入信号向量xn的零状态响应输出信号向量yn，yn与xn长度相等。NiiiMiiizazbzH00)(第5章 时域离散系统的网络结构 2 级联型级联型在（5.1.2）式表示的系统函数H(z)中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：（5.3.1）式中,A是常数;Cr和dr分别表示H(z)的零点和极点。由于多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数
13、；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)。NrrMrrzdzCAzH1111)1()1()(第5章 时域离散系统的网络结构（5.3.2）式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。这样H(z)就分解成一些一阶或二阶的子系统函数的相乘形式：（5.3.3）式中i(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的子系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示，H(z)则由k个子系统级联构成。Hj(z)如下式：2j21j12j211j0jj1)(zazazzzH)()()()(21zHzHzHzHk第5章 时域离散系统的网络结构 图5.3.3
14、 一阶和二阶直接型网络结构第5章 时域离散系统的网络结构【例例5.3.2】设系统函数H(z)如下式：试画出其级联型网络结构。解解:将H(z)的分子、分母进行因式分解，得到：为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出级联结构图如图5.3.4所示。321321125.075.025.1121148)(zzzzzzzH)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211zzzzzzzH第5章 时域离散系统的网络结构 图5.3.4 例5.3.2图第5章 时域离散系统的网络结构 级联型结构中每一个一阶网络决定
15、一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。在（5.3.2）式中，调整0j、1j和2j三个系数可以改变一对零点的位置，调整1j和2j可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，其优点是调整方便。此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。第5章 时域离散系统的网络结构 3 并联型并联型如果将级联形式的H(z)展成部分分式形式，则得到：（5.3.4）对应的网络结构为这k个子系统并联。上式中，Hi(z)通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为)()()()(21zHzHzHzHk22111101)(zzzzHiiiii第5
16、章 时域离散系统的网络结构 式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果1i=2i=0，则构成一阶网络。由（5.3.4）式，其输出Y(z)表示为上式表明将x(n)送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出y(n)。【例例5.3.3】画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。)()()()()()()(21zXzHzXzHzXzHzYk21115.0120165.01816)(zzzzzH第5章 时域离散系统的网络结构 图5.3.5 例5.3.3图第5章 时域离散系统的网
17、络结构 在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。第5章 时域离散系统的网络结构 MATLAB信号处理工具箱提供了14种线性系统网络结构变换函数，实现各种结构之间的变换。可惜缺少并联结构于其他结构之间的变换函数，参考文献10，18中开发了直接型与并联型的相互变换函数tf2par和par2tf。本
18、书涉及的3种常用结构（直接型、级联型、格型）之间的变换函数有如下4种：(1)tf2sos 直接型到级联型结构变换。(2)sos2tf 级联型到直接型网络结构的变换。(3)tf2latc 直接型到格型结构变换。(4)latc2tf 格型到直接型结构变换。第5章 时域离散系统的网络结构 下面先简要介绍变换函数tf2sos和sos2tf及其调用格式，tf2latc 和 latc2tf在5.7节介绍。(1)S,G=tf2sos(B,A):实现直接型到级联型的变换。B和A分别为直接型系统函数的分子和分母多项式系数向量，当A=1时，表示FIR系统函数。返回L级二阶级联型结构的系数矩阵S和增益常数G。LLL
19、LLaabbbaabbbaabbbS2121022122212022111121101111第5章 时域离散系统的网络结构 S为L6矩阵，每一行表示一个二阶子系统函数的系数向量，第k行对应的2阶系统函数为级联结构的系统函数为 H(z)=H1(z)H2(z)HL(z)L,1,2,k zaza1zbzbb(z)H22k11k22k11k0kk第5章 时域离散系统的网络结构 例5.3.2的求解程序如下：B=8，4，11，2；A=1，1.25，0.75，0.125；S，G=tf2sos(B,A)运行结果：S=1.0000 0.1900 0 1.0000 0.2500 0 1.0000 0.3100 1
20、.3161 1.0000 1.0000 0.5000G=8第5章 时域离散系统的网络结构 该结果与例5.3.2所得结果等价，但本程序结果更标准。(2)B,A=sos2tf(S,G)：实现级联型到直接型网络结构的变换。B、A、S和G的含义与S,G=tf2sos(B,A)中相同。2121110.5zz11.316z0.31z10.25z10.19z18H(z)第5章 时域离散系统的网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构有限长脉冲响应基本网络结构FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程分别为1 直接型直
21、接型按照H(z)或者卷积公式直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。10)()(NnnznhzH10)()()(Nmmnxmhny第5章 时域离散系统的网络结构 图5.4.1 FIR直接型网络结构第5章 时域离散系统的网络结构 2 级联型级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。【例例5.4.1】设FIR网络系统函数H(z)如下式：画出H(z)的直接型结构和级联型结构。解解 将H(z)进行因式分解，得到：其级联型结构和直接型结
22、构如图5.4.2所示。3215.18.20.296.0)(zzzzH)326.1)(5.06.0()(211zzzzH第5章 时域离散系统的网络结构 图5.4.2 例5.4.1图第5章 时域离散系统的网络结构 例5.4.1的求解程序如下：B=0.96,2,2.8,1.5;A=1;S,G=tf2sos(B,A)运行结果：S=1.0000 0.8333 0 1.0000 0 0 1.0000 1.2500 1.8750 1.0000 0 0G=0.9600第5章 时域离散系统的网络结构 级联结构的系统函数为H(z)=0.96(1+0.833z1)(1+1.25z1+1.875z2)级联型结构每一个
23、一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭零点，因此调整零点位置比直接型方便，但H(z)中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。在例5.4.1中直接型需要四个乘法器，而级联型则需要五个乘法器。分解的因子愈多，需要的乘法器也愈多。另外，当H(z)的阶次高时，也不易分解。因此，普遍应用的是直接型。第5章 时域离散系统的网络结构 5.5 线性相位结构线性相位结构 线性相位结构是FIR系统的直接型结构的简化网络结构，特点是网络具有线性相位特性，比直接型结构节约了近一半的乘法器。第7章将证明，如果系统具有线性相位，它的单位脉冲响应满足下面公式:（5.5.1）)1()(nNhnh第5章 时域离散系统
24、的网络结构 式中，“”代表第一类线性相位滤波器;“”号代表第二类线性相位滤波器。系统函数满足下面两式:当N为偶数时,（5.5.2）当N为奇数时,（5.5.3）)()()1(12/0nNNnnzznhzH21)1(1)21(0)21()()(NnNNnnzNhzznhzH第5章 时域离散系统的网络结构 观察（5.5.2）式，运算时先进行方括号中的加法（减法）运算，再进行乘法运算，这样就节约了乘法运算。按照这两个公式，第一类线性相位网络结构的流图如图5.5.1所示，第二类线性相位网络结构的流图如图5.5.2所示。和直接型结构比较，如果N取偶数，直接型需要N个乘法器，而线性相位结构减少到N/2个乘法
25、器，节约了一半的乘法器。如果N取奇数，则乘法器减少到(N1)/2个，也近似节约了近一半的乘法器。第5章 时域离散系统的网络结构 图5.5.1 第一类线性相位网络结构流图第5章 时域离散系统的网络结构 图5.5.2 第二类线性相位网络结构流图第5章 时域离散系统的网络结构 5.6 频率采样结构频率采样结构我们已经知道，频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓。如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的Z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：（5.6.1）1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH第5章 时域离散系统的网
26、络结构 设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，则(5.6.1)式中H(k)用下式计算:要求频率域采样点数NM。（5.6.1）式提供了一种称为频率采样的网络结构。由于这种结构是通过频域采样得来的，存在时域混叠的问题，因此不适合IIR系统，只适合FIR系统。但这种网络结构中又存在反馈网络，不同于前面介绍的FIR网络结构，下面进行分析。1,2,1,0 )()(2jeNkzHkHkNz第5章 时域离散系统的网络结构 将（5.6.1）式写成下式：（5.6.2）式中Hc(z)是前面学习过的梳状滤波器，Hk(z)是IIR的一阶网络。这样，H(z)是由梳状滤波器Hc(z)
27、和N个一阶网络Hk(z)的并联结构进行级联而成的，其网络结构如图5.6.1所示。我们看到该网络结构中有反馈支路，它是由Hk(z)产生的，其极点为10)()(1)(NkkczHzHNzH11)()(1)(zWkHzHzzHkNkNc第5章 时域离散系统的网络结构 即它们是单位圆上有等间隔分布的N个极点，第2章已学过Hc(z)是一个梳状滤波网络，其零点为刚好和极点相同，也是等间隔地分布在单位圆上。理论上，极点和零点相互抵消，保证了网络的稳定性，使频率域采样结构仍属FIR网络结构。1,2,1,0 e2jNkzkNk1,2,1,0 e2jNkzkNk第5章 时域离散系统的网络结构 图5.6.1 FIR
28、滤波器频率采样结构第5章 时域离散系统的网络结构 频率域采样结构有两个突出优点：（1）在频率采样点k处，,只要调整H(k)（即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)），就可以有效地调整频响特性，使实践中的调整方便，可以实现任意形状的频响曲线。（2）只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便可以标准化、模块化。各支路增益可做成可编程单元，生产可编程FIR滤波器。)()e(jkHHk第5章 时域离散系统的网络结构 然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：（1）系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点相互对消保证的
29、。实际上，因为寄存器字长都是有限的，对网络中支路增益 量化时产生量化误差，可能使零极点不能完全对消，从而影响系统稳定性。（2）结构中，H(k)和 一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。kNWkNW第5章 时域离散系统的网络结构 首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为 （5.6.3）式中，Hr(k)是在r圆上对H(z)的N点等间隔采样之值。由于r1，因此可近似取Hr(k)H(k)。这样，零极点均为 。如果由于实际量化误差，零极点不能抵消时，极点位置仍处在单位圆内，保持系统稳
30、定。1011)(1)1()(NkkNrNNzrWkHNzrzH1,2,1,0,e2jNkrkN第5章 时域离散系统的网络结构 另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(Nk)。而且，我们将Hk(z)和HNk(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则kNNkNWW2211101*11)(12cos21)(1)(1)(1)(1)()(zrzkNrzaazWrkHzrWkHzrWkNHzrWkHzHkkkNkNkNNkNk第5章 时域离散系统的网络结构 式中显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.6.2
31、(a)所示。当N为偶数时，H(z)可表示为(5.6.4)12,3,2,1 )(Re2)(Re210NkWkrHakHakNkk121221110112cos21121)0(1)1()(NkkkNNzrzkNzaarzNHrzHNzrzH第5章 时域离散系统的网络结构 图5.6.2 频率采样修正结构第5章 时域离散系统的网络结构 式中，H(0)和H(N/2)为实数。（5.6.4）式对应的频率采样修正结构由N/21个二阶网络和两个一阶网络并联构成，如图5.5.4(b)所示。当N奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为2/)1(122111012cos211)0(1)1()(NkkkN
32、NzrzkNzaarzHNzrzH(5.6.5)第5章 时域离散系统的网络结构 N等于奇数的修正结构由一个一阶网络和(N1)/2个二阶网络结构构成。由图5.6.2可见，当采样点数N很大时，其结构显然很复杂，需要的乘法器和延时单元很多。但对于窄带滤波器，大部分频率采样值H(k)为零，从而使二阶网络个数大大减少。所以频率采样结构适用于窄带滤波器。第5章 时域离散系统的网络结构 5.7 格型网络结构格型网络结构5.7.1 全零点格型网络结构全零点格型网络结构1.全零点格型网络的系统函数全零点格型网络的系统函数全零点格型网络结构的流图如图5.7.1所示。该流图只有直通通路，没有反馈回路，因此可称为FI
33、R格型网络结构。观察该图，它可以看成是由图5.7.2的基本单元级联而成。第5章 时域离散系统的网络结构 图5.7.1 全零点格型网络结构第5章 时域离散系统的网络结构 图5.7.2 基本单元第5章 时域离散系统的网络结构 将上式进行Z变换，得到按照图5.7.2写出差分方程如下：llllknrnene)1()()(11(5.7.1)(5.7.2)1()()(11nrknenrllllllllkzRzzEzE)()()(111)()()(111zRzkzEzRllll(5.7.3)(5.7.4)第5章 时域离散系统的网络结构 再将上式写成矩阵形式 (5.7.5)将N个基本单元级联后，得到:(5.7
34、.6)()(1)()(1111zRzEzkkzzRzEllllll)()(111)()(001111111111zRzEzkkzzkkzzkkzzRzENNNNNN第5章 时域离散系统的网络结构 令Y(z)=EN(z)，X(z)=E0(z)=R0(z),其输出为 由上式得到全零点格型网络的系统函数为只要知道格型网络的系数kl，l=1,2,3,N,由上式可以直接求出FIR格型网络的系统函数。)(11101)()(01)(111zXzkkzzRzEzYNlllNN（5.7.7)（5.7.8)11101)()()(111NlllzkkzzXzYzH第5章 时域离散系统的网络结构 2.由由FIR直接型
35、网络结构转换成全零点格型网络结构直接型网络结构转换成全零点格型网络结构假设N阶FIR型网络结构的系统函数为(5.7.9)式中,h(0)=1;h(n)是FIR网络的单位脉冲响应。令ak=h(k)，得到:(5.7.10)式中，a0=h(0)=1;kl为全零点格型网络的系数,l=1,2,N。NnnznhzH0)()(NkkkzazH0)(第5章 时域离散系统的网络结构 下面仅给出转换公式，推导过程请参考文献19：(5.7.11)(5.7.12)(5.7.13)式中,l=N,N1,1。)(Nkkaa lllka)()1(,3,2,1 12)()()1(lkkakaallklllklk第5章 时域离散系
36、统的网络结构 解释解释 公式中的下标k（或l）表示第k(或l)个系数，这里FIR结构和格型结构均各有N个系数;(5.7.13)式是一个递推公式，上标（带圆括弧）表示递推序号，从（N）开始，然后是N1,N2,2；注意(5.7.12)式，当递推到上标圆括弧中的数字与下标相同时，格型结构的系数kl刚好与FIR的系数相等。下面举例说明。【例例 5.7.1】将下面三阶FIR系统函数3(z)转换成格型网络，要求画出该FIR直接型结构和相应的格型网络结构流图。lllka)(lllaa)(3213576.064.09.01)(zzzzH第5章 时域离散系统的网络结构 解解 例题中N=3,按照(5.7.11)式
37、，有 由(5.7.12)式，得到:按照(5.7.13)式，递推得到:576.0 ,64.0 ,9.0)3(3)3(2)3(1aaa576.0)3(33 ak第5章 时域离散系统的网络结构 l=3,k=1时,l=3,k=2时,45 182 795.0)576.0(164.0576.09.01 223)3(23)3(1)2(1kakaa91 974 181.0)576.0(19.0576.064.01223)3(13)3(2)2(2kakaa91 974 181.0)2(22 ak第5章 时域离散系统的网络结构 l=2,k=1时,最后按照算出的格型结构的系数，画出三阶FIR直接型结构和三级格型网络
38、结构流图如图 5.7.3所示。47 757 672.0)91 974 181.0(1)91 974 181.01(45 182 795.01222)2(12)2(1)1(1kakaa47 757 672.01k第5章 时域离散系统的网络结构 图5.7.3 例5.7.1图第5章 时域离散系统的网络结构 略去由全零点格型网络结构转换到FIR直接型网络结构的公式，如需要了解该内容，请参考文献19。实际上，调用MATLAB函数实现直接型网络结构与格型网络结构之间的相互转换非常容易。tf2latc实现直接型到格型结构变换，latc2tf 实现格型到直接结型结构变换。K=tf2latc(hn):求FIR格
39、型结构的系数向量K=k1,k2,kN,hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，并关于hn(1)=h(0)归一化。应当注意，当FIR系统函数在单位圆上有零极点时，可能发生转换错误。第5章 时域离散系统的网络结构 hn=latc2tf(K)将FIR格型结构转换为FIR直接型结构。K为FIR格型结构的系数向量K，hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，即FIR直接型结构系数向量。显然，该函数可以用于求格型结构的系统函数的系数。例 5.7.1的求解程序如下：hn=1,0.9,0.64,0.576;K=tf2latc(hn)运行结果：K=0.6728 0.1820 0.5760与上面的递推结果相同。第5章
40、时域离散系统的网络结构 5.7.2 全极点格型网络结构全极点格型网络结构全极点IIR系统的系统函数用下式表示:(5.7.14)(5.7.15)式中,A(z)是FIR系统，因此全极点IIR系统H(z)是FIR系统A(z)的逆系统。下面先介绍如何将H(z)变成A(z)。假设系统的输入和输出分别用x(n)、y(n)表示，由(5.7.17)式得到全极点IIR滤波器的差分方程为)(111)(1zAzazHNkkkNkkkzazA11)(第5章 时域离散系统的网络结构 如果将x(n)、y(n)的作用相互交换，差分方程则变成下式:则(5.7.17)观察上式，它描述的是具有系统函数H(z)=A(z)的FIR系
41、统，而(5.7.16)式描述的是H(z)=1/A(z)的IIR系统。按照(5.7.16)式描述的全极点直接型结构如图5.7.4所示。)()()(1nxknyanyNkk)()()(1nyknxanxNkkNkkknxanxny1)()()(5.7.16)第5章 时域离散系统的网络结构 图5.7.4 全极点IIR系统的直接型结构第5章 时域离散系统的网络结构 基于上面的事实，我们将FIR格型结构通过交换公式中的输入输出作用，形成它的逆系统，即全极点格型IIR系统。重新定义输入输出再将FIR格型结构的基本公式(5.7.1)、(5.7.2)重写如下：（5.7.18）（5.7.19）)()(),()(
42、0nenynenxNllllknrnene)1()()(11)1()()(11nrknenrlllldefdef第5章 时域离散系统的网络结构 由于重新定义了输入输出，将el(n)按降序运算，rl(n)不变，即（5.7.20）（5.7.21）（5.7.22）（5.7.23）)()(nenxNllllknrnene)1()()(111,1,NNl)1()()(11nrknenrllll1,1,NNl)()()(00nrneny第5章 时域离散系统的网络结构 按照上面四个方程画出它的结构如图5.7.5所示。为了说明这是一个全极点IIR系统，令N=1,得到方程为（5.7.24）（5.7.25)（5.
43、7.26）（5.7.27）)()(1nenxlknrnene)1()()(010)1()()(001nrknenrl)1()()()(10nyknxneny第5章 时域离散系统的网络结构 图5.7.5 全极点IIR格型结构第5章 时域离散系统的网络结构 当x(n)和y(n)分别作为输入和输出时，（5.7.27）式就是一个全极点的差分方程，由（5.7.24）（5.7.27）式描述的结构就是一阶的单极点格型网络，如图5.7.6(a)所示。如果N2，可得到下面方程组:（5.7.28）（5.7.29）（5.7.30）)()(2nenx)1()()(1221nrknene)1()()(1122nrnek
44、nr)1()()(0110nrknene（5.7.31)（5.7.32)（5.7.33）)1()()(0011nrneknr)()()(00nrneny第5章 时域离散系统的网络结构 图5.7.6 单极点和双极点IIR格型网络结构第5章 时域离散系统的网络结构（5.7.35）经过化简，得到:（5.7.34）显然,（5.7.37）式差分方程表示的就是双极点IIR系统。按照上面两式构成的双极点IIR格型结构如图5.7.6（b）所示。)()2()1()1()(221nxnyknykkny)2()1()1()()(2122nynykknyknr第5章 时域离散系统的网络结构 由上面分析知道,全极点网络
45、可以由全零点格型网络形成，这是一个求逆的问题。对比全零点格型结构和全极点结构，可以归纳出下面的一般求逆准则：（1）将输入到输出的无延时通路全部反向，并将该通路的常数支路增益变成原常数的倒数（此处为1）；（2）将指向这条新通路的各节点的其它节点的支路增益乘以1；（3）将输入输出交换位置。第5章 时域离散系统的网络结构 调用MATLAB 转换函数可以实现全极点系统的直接型和格型结构之间的转换。K=tf2latc(1,A):求IIR全极点系统格型结构的系数向量K，A为(5.7.14)式给出的IIR全极点系统函数的分母多项式A（z）的系数向量。具有零点和极点的IIR格型网络称为格梯型网络结构，这部分内
46、容请参考文献19。K,V=tf2latc(B,A):求具有零点和极点的IIR格型网络系数向量K，及其梯型网络系数向量V。应当注意，当IIR系统函数在单位圆上有极点时，可能发生转换错误。第5章 时域离散系统的网络结构 B，A=latc2tf(K,allpole):将IIR全极点系统格型结构转换为直接型结构。K为IIR全极点系统格型结构的系数向量，A为IIR全极点系统系数函数的分母多项式A（z）的系数向量。显然，该函数可以用于球格型结构的系统函数，这时分子为常数1，所以B=1。B，A=latc2tf(K,V)：将具有零点和极点的IIR格梯型网络结构转换为直接型结构。例如：321z31z85z241
47、31A(Z)第5章 时域离散系统的网络结构 则求IIR全极点系统格型结构系数向量K的程序为A=1,13/24,5/8,1/3;K=tf2latc(1,A)运行结果：K=0.2500 0.5000 0.3333对上面所求格型结构的系数向量K，调用latc2tf求其对应的格型结构的系统函数的程序如下：K=0.2500，0.5000，0.3333；B,A=latc2tf(K,allpole)运行结果：B=1 0 0 0 A=1.0000 0.5417 0.6250 0.3333第5章 时域离散系统的网络结构 对应的系统函数为下面再推导全极点网络结构的传输函数，将(5.4.25)式进行Z变换，得到:（
48、5.7.36）（5.7.37）3210.3333z0.625z0.5417z11A(z)B(z)H(z)llllkzRzzEzE)()()(111)()()(111zRzkzEzRllll第5章 时域离散系统的网络结构 写成矩阵形式:(5.7.38)()(1)()(1111zRzEzkkzzRzEllllll将N个基本单元级联后，得到:)()()()()(00zRzEzYzEzXN)(11101)()(01)(111zYzkkzzRzEzXNlllNN（5.7.39)第5章 时域离散系统的网络结构 与全零点格型网络的系统函数（5.7.8）式比较，全极点格型网络的系统函数正好是（5.7.8）式的
49、倒数。全极点格型网络同样存在稳定问题，可以证明稳定的充分必要条件是|kl|1,l=1,2,N。（5.7.40)111011)()()(111NlllzkkzzXzYzH第5章 时域离散系统的网络结构 习题与上机题习题与上机题1.已知系统用下面差分方程描述:试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。2 设数字滤波器的差分方程为 试分别画出系统的直接型。)1(31)()2(81)1(43)(nxnxnynyny)2(41)1(31)1()()(nynynxnxny第5章 时域离散系统的网络结构 3.设系统的差分方程为 式中,|a|1，|b|1,
50、试画出系统的直接型、级联型结构。x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。4.设系统的系统函数为 试画出各种可能的级联型结构，并指出哪一种最好。abnxbanxnabynybany)1()()2()2()1()()()81.09.01)(5.01()414.11)(1(4)(211211zzzzzzzH第5章 时域离散系统的网络结构 5 题5图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。6 题6图中画出了10种不同的流图，试分别写出它们的系统函数及差分方程。第5章 时域离散系统的网络结构 题5图第5章 时域离散系统的网络结构 题6图第5章
