1、1第五章第五章 控制系统误差分析与计算控制系统误差分析与计算5.1 5.1 误差的概念误差的概念 1 15.2 5.2 系统的类型系统的类型 2 25.3 5.3 静态误差静态误差 3 35.4 5.4 动态误差动态误差 4 42 5.1 5.1 误差的概念误差的概念定义与概念定义与概念n“准确准确”是对控制系统提出的一个重要性能要是对控制系统提出的一个重要性能要求。求。l对实际控制系统来说，输出量常常不能绝对精确地对实际控制系统来说，输出量常常不能绝对精确地达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。是所谓的误差。n 随机干扰随机干扰
2、-产生随机误差；元件性能不好产生随机误差；元件性能不好-产生系统误差产生系统误差n 这里要研究的是系统在没有干扰作用，元件也这里要研究的是系统在没有干扰作用，元件也是理想的线性元件的情况下，系统仍可能产生是理想的线性元件的情况下，系统仍可能产生的误差。的误差。3 5.1 5.1 误差的概念误差的概念定义与概念定义与概念n 系统的运动可以分为两个阶段：系统的运动可以分为两个阶段：（1 1）过渡过程（瞬态）过渡过程（瞬态）（2 2）到达某种新的平衡状态（稳态）到达某种新的平衡状态（稳态）n 输出量：输出量：由瞬态分量（自由响应）和稳态分量（强迫响应）由瞬态分量（自由响应）和稳态分量（强迫响应）组成
3、组成n 误差：误差：由瞬态误差和稳态误差两部分组成。由瞬态误差和稳态误差两部分组成。n 引起瞬态误差引起瞬态误差：内由：是系统本身的结构经典控制理论时期内由：是系统本身的结构经典控制理论时期 4040年代末年代末到到5050年代年代 单机自动化单机自动化 局部自动化局部自动化 单变量控制单变量控制 自动调自动调节器节器 伺服系统伺服系统 外由：是输入量及其导数的不连续变化外由：是输入量及其导数的不连续变化4 5.1 5.1 误差的概念误差的概念定义与概念定义与概念n 引起稳态误差：引起稳态误差：内由：也是系统本身的结构内由：也是系统本身的结构 外由：是输入量及其导数的连续变化部分外由：是输入量
4、及其导数的连续变化部分。n 瞬态过程瞬态过程-动态响应性能动态响应性能 主要体现主要体现：（1 1）响应速度）响应速度 （2 2）稳定性）稳定性n 稳态过程稳态过程-稳态响应性能稳态响应性能 主要体现：主要体现：（1 1）跟踪输入信号的准确度）跟踪输入信号的准确度 （2 2）抑制干扰信号的能力）抑制干扰信号的能力 5 5.1 5.1 误差的概念误差的概念系统误差系统误差e(t)e(t)与偏差与偏差(t)(t)n 一、系统误差一、系统误差e(t)e(t)与偏差与偏差(t)(t)的关系的关系l1.1.系统误差系统误差 系统误差系统误差e(t).E1(s)e(t).E1(s)是实际输出与期望输出的差
5、是实际输出与期望输出的差。设设xor(t)xor(t)是控制系统所希望的输出，是控制系统所希望的输出，xo(t)xo(t)是其实际的输是其实际的输出则误差为出则误差为 e(t)=xor(t)-xo(t)e(t)=xor(t)-xo(t)L L变换变换 E1(s)=Xor(s)-Xo(s)E1(s)=Xor(s)-Xo(s)-(1)6 5.1 5.1 误差的概念误差的概念系统误差系统误差e(t)e(t)与偏差与偏差(t)(t)l2.2.系统偏差系统偏差 系统偏差系统偏差(t).E(s)(t).E(s)是输入信号与反馈信号的差。是输入信号与反馈信号的差。若输入信号若输入信号xi(t)xi(t)作为
6、期望值，反馈信号作为期望值，反馈信号b(t)b(t)作为实际作为实际值。值。则偏差：则偏差：(t)=xi(t)-b(t)(t)=xi(t)-b(t)L L变换变换：E(s)=Xi(s)-B(s)E(s)=Xi(s)-B(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s)-(2)-(2)7 5.1 5.1 误差的概念误差的概念系统误差系统误差e(t)e(t)与偏差与偏差(t)(t)l3 3E E1 1(s)(s)与与E(s)E(s)的关系：的关系：系统没有误差时，则系统没有误差时，则 Xo(s)=Xor(s)Xo(s)=Xor(s)此时此时E1(s)=0E1(s)=0，E1(s
7、)=0E1(s)=0，E(s)E(s)不再对不再对Xo(s)Xo(s)进行调节此时进行调节此时 E(s)=Xi(s)-H(s)E(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s)Xo(s)=Xi(s)-H(s)=Xi(s)-H(s)Xor(s)Xor(s)=0 =0 Xi(s)=H(s)Xi(s)=H(s)Xor(s)Xor(s)-(3)-(3)由式（由式（1 1）（）（2 2）（）（3 3）可得到，）可得到，一般情况下一般情况下E E1 1 (s)(s)与与E(s)E(s)的关系的关系:E E1 1(s)=E(s)/H(s)(s)=E(s)/H(s)则对单位反馈系统来说，则对单位反馈系统来说，H(s)=
8、1H(s)=1。则误差与偏差相同。则误差与偏差相同。E E1 1(s)=E(s)(s)=E(s)8 5.1 5.1 误差的概念误差的概念系统误差系统误差e(t)e(t)与偏差与偏差(t)(t)n 二、干扰二、干扰N(s)N(s)作用下，系统的误差作用下，系统的误差l若系统有干扰若系统有干扰N(s)N(s)作用，对线性系统，输出作用，对线性系统，输出Xo(s)Xo(s)可以可以是是Xi(s)Xi(s)引起的输出与引起的输出与N(s)N(s)引起的输出的叠加。引起的输出的叠加。Xo(s)=G1G2/(1+G1G2H)Xi(s)+G2/(1+G1G2H)N(s)Xo(s)=G1G2/(1+G1G2H
9、)Xi(s)+G2/(1+G1G2H)N(s)=Gxi(s)Xi(s)+GN(s)N(s)=Gxi(s)Xi(s)+GN(s)N(s)l系统误差系统误差：E1(s)=Xor(s)-Xo(s)=Xi(s)/H(s)-Xo(s)E1(s)=Xor(s)-Xo(s)=Xi(s)/H(s)-Xo(s)=1/H(s)-Gxi(s)1/H(s)-Gxi(s)Xi(s)+Xi(s)+（-GN(s)-GN(s)）N(s)N(s)=xi(s)Xi(s)+N(s)N(s)=xi(s)Xi(s)+N(s)N(s)l可见，系统的误差不仅与系统的结构和参数有关，而且可见，系统的误差不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统
10、的输入和干扰的特性有关。与系统的输入和干扰的特性有关。9 5.1 5.1 误差的概念误差的概念系统误差系统误差e(t)e(t)与偏差与偏差(t)(t)n 三、系统误差分类三、系统误差分类l1.1.瞬态误差瞬态误差 系统过渡过程中（即调整时间内），系统实际输出量与希望的输系统过渡过程中（即调整时间内），系统实际输出量与希望的输出量之间的偏差出量之间的偏差-称为称为瞬态误差瞬态误差。当时间大于调整时间，可以认为基本衰减为零。当时间大于调整时间，可以认为基本衰减为零。l2.2.稳态误差稳态误差 系统过渡过程结束后（即时间大于调整时间），系统实际输出量系统过渡过程结束后（即时间大于调整时间），系统实际
11、输出量与希望的输出量之间的偏差与希望的输出量之间的偏差-称为称为稳态误差稳态误差。是系统稳态性能的尺度，反映了系统响应的准确性。是系统稳态性能的尺度，反映了系统响应的准确性。10 5.1 5.1 误差的概念误差的概念系统误差系统误差e(t)e(t)与偏差与偏差(t)(t)n3.3.稳态误差又分为动态误差、静态误差稳态误差又分为动态误差、静态误差(1)(1)动态误差动态误差-随时间变化的稳态误差（动态过程量）随时间变化的稳态误差（动态过程量）反映稳态误差的变化规律，其大小取决于系统的动态误差系反映稳态误差的变化规律，其大小取决于系统的动态误差系 数和输入信号及其各阶导数。数和输入信号及其各阶导数
12、。(2)(2)静态误差静态误差-当时间当时间tt时的稳态误差（静态量）时的稳态误差（静态量）是稳态误差的极限值，其大小取决于系统的静态误差系数。是稳态误差的极限值，其大小取决于系统的静态误差系数。静态误差的定义：静态误差的定义：ess=lime(t)=lim sE1(s)（终值定理）（终值定理）静态偏差的定义静态偏差的定义:ss=lim(t)=lim s E(s)（终值定理）（终值定理）11 5.2 5.2 系统的类型系统的类型系统分类系统分类n 求给定输入下的稳态偏差，不计干扰信号，即求给定输入下的稳态偏差，不计干扰信号，即N N（S S）=0=0，则系统的开环传递函数为则系统的开环传递函数
13、为：n 当根据当根据V V值的不同，分为值的不同，分为0 0型、型、I I型、型、IIII型型-系统（系统（V=0V=0、1 1、2 2、-）V V为串联积分环节的个数为串联积分环节的个数 它表征了系统的结构特征它表征了系统的结构特征 V V愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差，一般系统不超过愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差，一般系统不超过IIIIII级。级。12 5.3 5.3 静态误差静态误差系统的静态误差与偏差系统的静态误差与偏差n静态误差静态误差u是控制系统的一个重要性能指标是控制系统的一个重要性能指标.往往要求小于某一个往往要求小于某一个给定值的范围给定值的范围.n与输入有关的静态偏差与
14、输入有关的静态偏差由偏差定义可得由偏差定义可得：E(s)=Xi(s)-B(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s)=Xi(s)-H(s)G(s)E(S)E(S)=1/1+H(s)G(s)Xi(s)由终值定理得静态偏差为：由终值定理得静态偏差为：ss=lim(t)=lims 1/1+H(s)G(s)Xi(s)静态偏差静态偏差ssss与系统的特性（结构与参数）有关，与输与系统的特性（结构与参数）有关，与输入信号的特性有关入信号的特性有关.13 5.3 5.3 静态误差静态误差与输入有关的静态偏差与输入有关的静态偏差n(1)(1)当输入为单位阶跃信号当输入为单位阶跃信号Xi(s)=1/sXi(s)=1/
15、s时，时，l 系统静态偏差为系统静态偏差为:ss =lim s 1/1+H(s)G(s)Xi(s)=lim s 1/1+H(s)G(s)1/s =lim 1/1+H(s)G(s)=1/(1+Kp)式中式中,位置无偏系数位置无偏系数:Kp=lim H(s)G(s)=limK/sv14 5.3 5.3 静态误差静态误差与输入有关的静态偏差与输入有关的静态偏差l0 0型系统：型系统：Kp=K ss=1/(1+K)Kp=K ss=1/(1+K)lI I型、型、IIII型系统：型系统：Kp=ss=0Kp=ss=0lGk(s)Gk(s)中有积分环节中有积分环节,ss=0,ss=0,为位置无差系统为位置无差
16、系统lGk(s)Gk(s)中无积分环节中无积分环节,ss=1/(1+K),ss=1/(1+K),为稳态有差为稳态有差lK K大（放大倍数）则大（放大倍数）则ssss小，但影响相对稳定性小，但影响相对稳定性 。15 5.3 5.3 静态误差静态误差与输入有关的静态偏差与输入有关的静态偏差n（2 2）当输入为单位斜坡信号）当输入为单位斜坡信号Xi(s)=1/s2时时,l系统静态偏差为系统静态偏差为：ss=lim s 1/1+H(s)G(s)Xi(s)ss=lim s 1/1+H(s)G(s)Xi(s)=lim s 1/1+H(s)G(s)1/s2 =lim s 1/1+H(s)G(s)1/s2 =
17、lim 1/sH(s)G(s)=1/Kv =lim 1/sH(s)G(s)=1/Kv 式中式中,速度无偏系数速度无偏系数:Kv =lim sH(s)G(s)=limK/sv-116 5.3 5.3 静态误差静态误差与输入有关的静态偏差与输入有关的静态偏差u0 0型系统：型系统：Kv=0 ss=不能使用不能使用uI I型系统：型系统：Kv=K ss=1/K 速度有差系统速度有差系统uIIII型系统型系统：Kv=ss=0 速度无差系统速度无差系统 17 5.3 5.3 静态误差静态误差与输入有关的静态偏差与输入有关的静态偏差n(3)(3)当输入为加速度信号当输入为加速度信号Xi(s)=1/s3Xi
18、(s)=1/s3l系统静态偏差为：系统静态偏差为：ss =lim s 1/1+H(s)G(s)Xi(s)=lim s 1/1+H(s)G(s)1/s3 =lim 1/s2H(s)G(s)=1/Ka 式中式中,加速度无偏系数加速度无偏系数:Ka=lim s2H(s)G(s)=limK/sv-218 5.3 5.3 静态误差静态误差与输入有关的静态偏差与输入有关的静态偏差u0 0型系统型系统：Ka=0 ss=不能使用不能使用uI I型系统型系统：Ka=K ss=不能使用不能使用uIIII型系统：型系统：Ka=ss=1/K 加速度有差系统加速度有差系统19 5.3 5.3 静态误差静态误差n不同系统
19、的静态误差系数不同系统的静态误差系数与输入有关的静态偏差与输入有关的静态偏差系统类型系统类型位置无偏位置无偏系数系数KpKp速度无偏系速度无偏系数数KvKv加速度无偏加速度无偏系数系数KaKa0 0型型k00I I型型k0IIII型型k型型20 5.3 5.3 静态误差静态误差与输入有关的静态偏差与输入有关的静态偏差n不同输入信号作用下不同系统的静态误差不同输入信号作用下不同系统的静态误差系统类型系统类型阶跃信号阶跃信号斜坡信号斜坡信号加速度信号加速度信号0 0型型1/(1+K)1/(1+K)I I型型0 01/K1/KIIII型型0 00 01/K1/K型型0 00 00 021 5.3 5
20、.3 静态误差静态误差与干扰有关的静态偏差与干扰有关的静态偏差n 系统在扰动作用下的静态偏差系统在扰动作用下的静态偏差ssss反映了系统的抗反映了系统的抗干扰能力干扰能力.u此时不考虑输入，即此时不考虑输入，即 Xi(s)=0 由偏差定义可得：由偏差定义可得：E(s)=Xi(s)-B(s)=-H(s)Xo(s)从前面的干扰引起的输入可得：从前面的干扰引起的输入可得：Xo(s)=G2/(1+G1G2H)N(s)则有则有:E(S)=-H(s)G2(s)N(s)/1+G1(s)G2(s)H(s)22 5.3 5.3 静态误差静态误差与干扰有关的静态偏差与干扰有关的静态偏差n 由终值定理得干扰引起的静
21、态偏差为：由终值定理得干扰引起的静态偏差为：ss=lim(t)=lim s E(s)=lim sN(s)-H(s)G2(s)/1+G1(s)G2(s)H(s)n 参照给定输入作用偏差的分析：参照给定输入作用偏差的分析：令令G1(s)=K1G10(s)/sv1;G2(s)=K2G20(s)/sv2 当当s 0时时,G10(s),G20(s)123 5.3 5.3 静态误差静态误差与干扰有关的静态偏差与干扰有关的静态偏差n 不失一般性，考虑单位反馈系统不失一般性，考虑单位反馈系统H(s)=1;H(s)=1;并考虑阶跃干扰的并考虑阶跃干扰的形式，即形式，即N(s)=1/s.N(s)=1/s.(1)(
22、1)当当 G G1 1(s),G(s),G2 2(s)(s)都不含积分环节时，即都不含积分环节时，即v1=v2=0v1=v2=0ss=lims1/s-Kss=lims1/s-K2 2G20(s)/1+KG20(s)/1+K1 1K K2 2G G1010(s)G(s)G2020(s)=-1/(K(s)=-1/(K1 1+1/K+1/K2 2)(2)(2)当当 G G1 1(s)(s)中含一个积分环节中含一个积分环节,G,G2 2(s)(s)不含积分环节时，即不含积分环节时，即v1=1;v2=0v1=1;v2=0 ss=lims1/s-Kss=lims1/s-K2 2G G2020(s)/1+K
23、(s)/1+K1 1K K2 2G G1010(s)G(s)G2020(s)/s=-K(s)/s=-K2 2/=0/=0(3)(3)当当 G G1 1(s)(s)中不含积分环节中不含积分环节,G,G2 2(s)(s)含一个积分环节时，即含一个积分环节时，即v1=0;v2=1v1=0;v2=1 ss=lims1/s-Kss=lims1/s-K2 2G G2020(s)/s/1+K(s)/s/1+K1 1K K2 2G G1010(s)G(s)G2020(s)/s=-1/K(s)/s=-1/K1 1 此时，稳态偏差此时，稳态偏差ssss与与K K1 1成反比成反比。24 5.3 5.3 静态误差静
24、态误差综合分析综合分析u提高系统的准确度，增加系统的抗干扰能力，必须增提高系统的准确度，增加系统的抗干扰能力，必须增大干扰作用点大干扰作用点之前之前的回路的放大倍数的回路的放大倍数K1K1，以及增加这，以及增加这一段回路中积分环节的数目一段回路中积分环节的数目。u增加干扰作用点增加干扰作用点之后之后到输出量之间的放大系数到输出量之间的放大系数K2K2，或，或增加积分环节的数目，对减少干扰引起的误差是没有增加积分环节的数目，对减少干扰引起的误差是没有好处的。好处的。25 5.4 5.4 动态误差动态误差系统的动态误差系统的动态误差n 前面讲的是静态误差，是一个静态值。即当前面讲的是静态误差，是一
25、个静态值。即当tt时系统误差的极限值时系统误差的极限值。n E(S)E(S)逆变换，是一个时间的函数逆变换，是一个时间的函数。l时间在时间在tt是一个有限的变化过程。是一个有限的变化过程。l实际控制系统的稳态误差往往表现为时间的函数，实际控制系统的稳态误差往往表现为时间的函数，-即动态误差。即动态误差。26 5.4 5.4 动态误差动态误差动态误差实例动态误差实例n 例：如图系统：例：如图系统：其误差传递函数为其误差传递函数为：xi(s)=E(s)/Xi(s)=1/1+G(s)H(s)依据终值定理，时间依据终值定理，时间t 对应于对应于S=0 将上式在将上式在S=0处展开成泰勒级数形式：处展开
26、成泰勒级数形式：xi(s)=E(s)/Xi(s)=1/k0+1/k1s+1/k2s2+式中：式中：ki=1/i!d(i)xi(s)/ds(i)s=0 k0,k1,k2,-动态误差系数动态误差系数27 5.4 5.4 动态误差动态误差动态误差实例动态误差实例u 此级数的收敛域是此级数的收敛域是S=0S=0的邻域。的邻域。E(s)=1/k0 Xi(s)+1/k1s Xi(s)+1/k2s2 Xi(s)+u则当初始条件为零时，求拉氏逆变换。则当初始条件为零时，求拉氏逆变换。(t)=1/k0 Xi(t)+1/k1d Xi(t)/dt+1/k2d2Xi(t)/dt2+u动态误差与静态误差的关系动态误差与静态误差的关系:ss=lim(t)JIANZHU RUODIAN YINGYONG JISHUJIANZHU RUODIAN YINGYONG JISHU28JIXIE KONGZHI GONGCHENG JICHU
