1、控制工程基础n2.控制系统的传递函数控制系统的传递函数n 1.2.3.控制工程基础n2.控制系统的传递函数控制系统的传递函数n 控制工程基础n2.控制系统的传递函数控制系统的传递函数n本章重点系统的方框图及其化简。n本章难点系统的方框图及其化简。控制工程基础n2.1 2.1 概述概述n2.1.1 2.1.1 什么是数学模型什么是数学模型 控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表物理量（或变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数达式或数字表
2、达式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。字、图像表达式）。控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法模型的方法 可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。方法。控制工程基础n2.1 概述n2.1.2 为什么建立数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识定性的认识上升到上升到定量的精确认识定量的精确认识的关键！（这一点非常重的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此）要，数学的意义就在于此）n2.1.
3、3 建立数学模型的依据 通过系统本身的物理特性来建立。如力学三大定律、通过系统本身的物理特性来建立。如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等。流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等。控制工程基础n2.1 概述n2.1.4 数学模型的特点 1 1、实物、实物（抽象）数学表达式（抽象）数学表达式 2 2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型、不同的控制系统可以具有相同的数学模型 即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，单摆在单摆在平衡位置附近的平衡位置附近的自由运动自由运动 电阻、电容、电感电路中电容的电阻、电容、电感电
4、路中电容的放电过程放电过程都是都是衰减振荡。衰减振荡。相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。3 3、同一控制系统可以有不同的数学模型、同一控制系统可以有不同的数学模型 控制工程基础n2.1 概述n2.1.5 数学模型的分类 1 1、微分方程微分方程 时间域时间域 t t 单输入单输入 单输出单输出 2 2、传递函数传递函数 复数域复数域 s=+i -s=+i -3 3、频率特性频率特性 频率域频率域 -4 4、状态方程状态方程 时间域时间域 t t 多输入多输入 多输出多输出 用一组微分方程描述系统的状态特性用一组微分方程描述系统的状态特性
5、 控制工程基础n2.2 微分方程n2.2.1 控制系统微分方程的分类n齐次性(均匀性)控制工程基础n叠加性控制工程基础饱和非线性死区非线性间隙非线性摩擦非线性控制工程基础xydtdydtyddtydxdtdxydtdydtydxy4655)3(362)2(423)1(223322xydtdydtydxxyxy2222)5(33)4(控制工程基础表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：i=0,1n j=0,1,mn线性定常系统线性定常系统 ai,bj ai,bj 都不是都不是xo(t)xo(t)和和xi(t)xi(t)及它们及它们 导数的函数，也不是时
6、间的函数；导数的函数，也不是时间的函数；n线性时变系统线性时变系统 ai,bj ai,bj 是时间的函数；是时间的函数；n非线性系统非线性系统 ai,bj ai,bj 有一个依赖有一个依赖xo(t)xo(t)和和xi(t)xi(t)它它 们导数，或者在微分方程中出现时间的其他函数形们导数，或者在微分方程中出现时间的其他函数形式。式。)()(.)()()(.)(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtxatxatxaiimimoonon控制工程基础控制工程基础(Km为转矩常数)(ed为感应反电势,Kd为反电势常数)(ia为电枢电流)注意：注意：习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放
7、在等习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边；式的左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边；由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于右边的阶次；高于右边的阶次；上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。控制工程基础 在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）就是其中的往采用变换的方法。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）就是
8、其中的一种。拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。一种。拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程用拉普拉斯变换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。在工程上有着广泛的应用。本节将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏本节将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。逆变换及拉氏变换的简单应用。控制工程基础 s：拉普拉斯算子，复变量，f(t)：原函数（时间域、实域）F(s)：象函数（s 域、复数域）dtetftfLsFst0)()()(js控制工程基础控制工
9、程基础 为常数为常数 ，则，则)()()()()()(221122112211sFksFktfLktfLktfktfkL)()(ssFdttdfL控制工程基础，则，则)(1)(sFsdttfL)()(asFdttfeLat控制工程基础 ，则，则)(lim)(lim)0(0sFstffst)(lim)(lim)(0sFstffst控制工程基础 ，则则0)()()(sFedteatfatfLasst控制工程基础jjstdsesFjsFLtf)(21)()(1控制工程基础 2.4 传递函数n2.4.1 2.4.1 传递函数的定义传递函数的定义 传递函数是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和传递函数
10、是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和综合的数学工具。通过传递函数可以将实数域中的微分、积综合的数学工具。通过传递函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作量，分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作量，而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性系统的传递函数和频率特性有利于对系统研究、分析和综合。系统的传递函数和频率特性有利于对系统研究、分析和综合。控制工程基础 2.4 传递函数n2.4.1 2.4.1 传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统的线性定常系统的传递函数传递函数，定义为初
11、始条件为零时，定义为初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。三要素：三要素：1)1)线性定常系统线性定常系统 2)2)零初始条件零初始条件,即在外界输入作用前，输入、即在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为输出的初始条件为0 0。3)3)输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）控制工程基础2.4.2 传递函数的求法（1 1）解析法（根据定义求取）解析法（根据定义求取）设线性定常系统输入为x(t)，输出为y(t)，描述系统的微分方程的一般形式为:式中，nm;an，bm均为系统结构参数所决定的 定常数
12、。（n，m=0、1、2、3）yadtdyadtydadtydadtyda012n2n2n1n1n1nnnnxbdtdxbdtxdbdtxdbdtxdb012m2m2m1m1m1mmmm 根据传递函数的定义，即得系统的传递函数G(s)为控制工程基础2.4.2 传递函数的求法)()()()()()()()(01110111sXbssXbsXsbsXsbsYassYasYsasYsammmmnnnn01110.111.)()()(asasasabsbsbsbsXsYsGnnnnmmmm控制工程基础2.4.2 传递函数的求法 1）2）解：取拉氏变换并求商得1）2）xdtdxydtdydtyddtyd7
13、62252233xydtdydtyddtyddtyd4236222334422576)()()(23sssssXsYsG23624)()()(234sssssXsYsG控制工程基础2.4.3 传递函数的性质传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的物理系统，只要它们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。这样的系统称为相似系统相似系统。控制工程基础2.4.3 传递函数的性质传递函数是复变量s的有理分式。对于实际系统有mn。传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。控制工程基础2.4.4 反馈控制系统的传递函数)(sB)(sE)(sN)(sY)(sH
14、)(1sG)(2sG)(sX输入信号 误差信号干扰信号输出信号反馈信号控制工程基础n反馈回路传递函数反馈回路传递函数 H(s)称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即：niisGsG1)()(mjisHsH1)()(控制工程基础n开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)称为系统的开环传递函数，可表示为n注意注意 ：开环传递函数开环传递函数和和开环系统传递函数开环系统传递函数是不是不一样的。一样的。n闭环传递函数闭环传递函数n当H(s)=1时，我们将系统称为单位反馈系统或全反馈系统。mjiniisHsGsHsG11)()()()(mjiniiniisHs
15、GsGsXsY111)()(1)()()(控制工程基础)(sB)(sE)(sN)(sY)(sH)(1sG)(2sG)(sX输入信号 误差信号干扰信号输出信号反馈信号控制工程基础(1)在输入量X(s)的作用下可把干扰量N(s)看作为零，系统的输出为YR(s)，则 (2)在干扰量N(s)作用下可把输入量X(s)看作为零，系统的输出为YN(s)，则)()()()(1)()()()()(2121sXsHsGsGsGsGsXsGsYRR)()()()(1)()()()(212sNsHsGsGsGsNsGsYNN控制工程基础 称GR(s)为输出量对输入量的传递函数，即 称GN(s)为输出量对干扰量的传递函
16、数，即(3)系统总的输出量：)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsXsYsGRR)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsYsGNN)()()()()()(1)()()()(1212sNsXsGsHsGsGsGsYsYsYNR控制工程基础 2.5 典型环节的传递函数n环节与典型环节环节与典型环节n熟悉掌握典型环节有助于对复杂系统的分析和熟悉掌握典型环节有助于对复杂系统的分析和研究研究控制工程基础 2.5.1 环节的基本连接形式n 环节环节-从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成。基本环节组成。能组成
17、独立的运动方程的一部分称为一个能组成独立的运动方程的一部分称为一个环节环节。n 环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节不能有相互影响（无负载效应）由几个元件组成，各环节不能有相互影响（无负载效应）。n 系统是由环节组成的，或者系统是由有关环节串联、系统是由环节组成的，或者系统是由有关环节串联、并联或反馈连接而成的。并联或反馈连接而成的。控制工程基础2.5.1 环节的 上式说明，由串联环节所构成的系统，当无负载效应影响时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。当系统由n个环节串联而成时，总传递函数为：)()()()(.
18、)()()()()(2111sGsGsYsYsXsYsXsYsGniisGsG1)()(控制工程基础 推广到n个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即 )()()()()()()()()(2121sGsGsXsYsXsYsXsYsGniisGsG1)()(控制工程基础)()()(sHsYsB)()()()(sGsBsXsY)()(1)()()(sHsGsGsXsY控制工程基础 2.5.2 典型环节2131222112131)3221111101110)()()(.)(njnjjjjnmimiiiimnnnnmmmmpspspsszszszsKsasasasabsbsbsbs
19、G记均为实常数其中，jjjiiipppzzznnnnmmmm321321321321,控制工程基础 2.5.2 典型环节n特点：最高不超过二阶特点：最高不超过二阶n称上面七种环节为系统的典型环节：比例环节、惯性环称上面七种环节为系统的典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、震荡环节、延时环节等。节、微分环节、积分环节、震荡环节、延时环节等。n2.3.1 比例环节n式中k比例系数)()(tKxtxioKsXsXsGio)()()(控制工程基础n常见的比例环节常见的比例环节控制工程基础3.3.微分环节微分环节n2.3.4 n式中，为积分环节的时间常数。dttxTtxio)(1)(TssX
20、sXsGio1)()()(质量-阻尼-弹簧系统写成标准形式两式比较得：质量-阻尼-弹簧系统)(ty)(tx KB m 2222)(nnnsssGmknmkB2KTs1sT)10(,1222sTsTs1)1(1Ts)10(,)12(122TssTse控制工程基础2.6 系统的方框图及其化简控制工程基础2.6 系统的方框图及其化简控制工程基础2.6.1 系统的方框图)(sXo)(sXi)(sG图图 2-33 框图单元框图单元 控制工程基础2.6.1 系统的方框图相加点（比较点）：对两个以上的信号进行加减相加点（比较点）：对两个以上的信号进行加减运算。运算。(4)(4)分支点（引出点）：表示信号引出
21、或测量的位置。分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。控制工程基础2.6.2 系统的方框图的绘制n列出描述系统各个环节的运动方程式n求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来n将这些方块单元结合在一起，以组成系统完整的框图 要注意的是：由于传递函数的条件是零初始的，因此方框图也是零初始条件的。控制工程基础n例：绘制图示的二阶RC回路的方框图urucuC2C1ici1R1R2i2控制工程基础n解：首先列出系统原始方程 （2-21）（2-22）（2-23）（2-24）dttitiCtu)()(1)(2111)
22、()()(221tiRtutucdttiCtuc)(1)(22)()()(111tiRtutur控制工程基础 （2-25）（2-26）（2-27）（2-28）)()(1)(2111sIsIsCsU)()()(221sIRsUsUc)(1)(22sIsCsUc)()()(111sIRsUsUr控制工程基础 控制工程基础n例：绘制方框图例：绘制方框图G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)控制工程基础n例：绘制方框图例：绘制方框图632236G)GG(G 4554GGG154236236GGG1GG 控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换
23、法则）系统的方框图的化简（框图变换法则）等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。n引出点的变换法则引出点的变换法则 引出点前移引出点前移 C(s)=G(s)R(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)C(s)C(s)R(s)引出点后移引出点后移 G(s)R(s)C(s)R(s)(1sG G(s)C(s)R(s)R(s)控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）系统的方框图的化简（框图变换法则）n比较点的变换法则比较点的变换法则 比较点前移比较点前移G(s)(-)B(s)C(s)R(s)(1sGG(s)B(s)C(s)R(
24、s)(-)()(1)()(sBsGsRsG C(s)=G(s)R(s)-B(s)控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）系统的方框图的化简（框图变换法则）n比较点的变换法则比较点的变换法则 比较点后移比较点后移C(s)R(s)G(s)(-)B(s)C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(-)C(s)=G(s)R(s)-B(s)=G(s)R(s)-G(s)B(s)控制工程基础2.6.3系统的方框图的化简（框图变换法则）系统的方框图的化简（框图变换法则）n交换或合并比较点交换或合并比较点R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(-)V2(s)V1(s)(-)C(s)R(s)
25、V1(s)V2(s)C(s)R(s)(-)或或加法交换律加法交换律 加法结合律加法结合律C(s)=E1(s)+V2(s)=R(s)-V1(s)+V2(s)=R(s)+V2(s)-V1(s)控制工程基础例：方框图化简方框图化简H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY(1)(1)方框图化简方案方框图化简方案 RH H2 2+G G3 3H H1 1G1G2G3H2G4(-)Y(a)控制工程基础例：方框图化简方框图化简G4G3H2Y R13222211HGGHGGG (b)G4Y R221132223211HGGHGGHGGGG(c)控制工程基础例：方框图化简方框图化简 (2)(2)方框图化简方案方
26、框图化简方案H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(-)RY(a)H2/G3G4RY132223211HGGHGGGG(b)控制工程基础2.6.3 系统的方框图的化简（框图变换法则）系统的方框图的化简（框图变换法则）n其他等价法则其他等价法则R(s)(-)C(s)G(s)H(s)(1sHG(s)H(s)(-)C(s)R(s)()(1)()(1)()()(sRsHsHsGsHsGsC 控制工程基础2.6.3 系统的方框图的化简（框图变换法则）系统的方框图的化简（框图变换法则）n负号可在支路上移动负号可在支路上移动G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E
27、(s)控制工程基础U Ui i(s)(s)R R1 1(-)(-)(-)(-)(-)(-)U Uo o(s)(s)(b)(b)11RsC1121RsC21sT111U Ui i(s)(s)(-)(-)(-)(-)U Uo o(s)(s)R R1 1(c)(c)21RsC21 R R1 1C C2 2s ssT211 U Ui i(s)(s)Uo(s)Uo(s)(-)(-)(e e)sT11121R(d)(d)U Ui i(s)(s)R R1 1C C2 2s s(-)(-)U Uo o(s)(s)(-)(-)sT111sC21U Ui i(s s)(-)(-)(-)(-)(-)(-)I I1
28、1(s)(s)I IC C(s)(s)U(s)U(s)I I2 2(s)(s)U Uo o(s)(s)(a)(a)11R21RsC21sC11例例 双双RCRC网络的方框图简化网络的方框图简化控制工程基础 2.7 梅逊公式n对于用信号流图表示的控制系统，可以用梅逊对于用信号流图表示的控制系统，可以用梅逊（MasonMason）公式方便地求出从输入信号到输出信号）公式方便地求出从输入信号到输出信号的传递函数。的传递函数。n含多个局部反馈的闭环控制系统含多个局部反馈的闭环控制系统传递函数之和）（每一反馈回路的开环积前向通道的传递函数之1(S)GB 对反馈信号为相加的取对反馈信号为相加的取“-”对反
29、馈信号为相减的取对反馈信号为相减的取”+”控制工程基础 2.7 梅逊公式适用条件适用条件:1:1、整个方框图只有一个前向通道；、整个方框图只有一个前向通道；2 2、各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。、各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。U Ui i(s s)U Uo o(s s)I I2 2(s s)U U(s s)I IC C(s s)I I1 1(s s)(-)(-)(-)(-)(-)(-)11RsC11sC2121R例例:控制工程基础 2.7 数据模型的实验测定法系统数学模型的建立通常是两种方法：系统数学模型的建立通常是两种方法：机理建模法机理建模法 实验建模法（系统辨识）实验
30、建模法（系统辨识）n机理建模法：机理建模法：根据系统运动的物理机理或化学机理；根据信根据系统运动的物理机理或化学机理；根据信号在系统中的传递过程与方式；根据构成系统的元部件，通过分号在系统中的传递过程与方式；根据构成系统的元部件，通过分析和运用已有的物理化学定律，建立系统中各物理量的数量关系析和运用已有的物理化学定律，建立系统中各物理量的数量关系，反映系统输入输出的静、动态关系，这样的建模方法称为机理，反映系统输入输出的静、动态关系，这样的建模方法称为机理的建模方法。该方法要求系统是的建模方法。该方法要求系统是“白箱白箱”的，即系统中的各元部的，即系统中的各元部件件及参数均已知，结构均已知。及
31、参数均已知，结构均已知。n实验建模法实验建模法（系统辨识）：对系统进行实验，给系统以一定（系统辨识）：对系统进行实验，给系统以一定的激励（输入），测得它的输出，根据输入输出的数据（或曲线的激励（输入），测得它的输出，根据输入输出的数据（或曲线）结果，通过一定的数学处理方法，得到能反映系统输入、输出）结果，通过一定的数学处理方法，得到能反映系统输入、输出关系的数学模式，这样的方法称为系统辨识。关系的数学模式，这样的方法称为系统辨识。控制工程基础*小结要求：要求：1 1掌握各类数学模型的表达形式掌握各类数学模型的表达形式 2 2掌握各类数学模型的定义、特点掌握各类数学模型的定义、特点3 3掌握各类数学模型的建立掌握各类数学模型的建立4 4掌握各类数学模型的简化掌握各类数学模型的简化5 5掌握各类数学模型的之间的关系掌握各类数学模型的之间的关系
