1、 微专题 94 极坐标与参数方程 极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查 学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速 熟练的解决问题 一、基础知识： （一）极坐标： 1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点） ，由此点引出一条射线，称为极轴， 这样就建立了一个极坐标系 2、点坐标的刻画：用一组有序实数对, 确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的 距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：0,0,2 3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极 轴与x轴重
2、合， 则同一个点可具备极坐标, 和直角坐标, x y， 那么两种坐标间的转化公 式为： 222 cos sin x y xy ，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例 如 ： 极 坐 标 方 程cossin11xy （ 在 转 化 成, x y时 要 设 法 构 造 cos ,sin ，然后进行整体代换即可） （二）参数方程： 1、如果曲线,0F x y 中的变量, x y均可以写成关于参数t的函数 xf t yg t ，那么 xf t yg t 就称为该曲线的参数方程，其中t称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参： 3 233 23 xt yx
3、yt （2）整体消参： 2 2 1 1 xt t yt t ，由 2 2 2 11 2tt tt 可得： 2 2xy （3）平方消参：利用 22 sincos1消去参数 例如： 22 cos 3cos 3 1 2sin94 sin 2 x x xy yy 3、常见图形的参数方程： （1）圆： 22 2 xaybr的参数方程为： cos 0,2 sin xar ybr ，其中为 参数，其几何含义为该圆的圆心角 （2） 椭圆： 22 22 10 xy ab ab 的参数方程为 cos 0,2 sin xa yb ， 其中为参数， 其几何含义为椭圆的离心角 （3）双曲线： 22 22 10 xy a
4、b ab 的参数方程为 1 0,2cos tan xa yb ，其中为 参数，其几何含义为双曲线的离心角 （4）抛物线： 2 20ypx p的参数方程为 2 2 2 xpt ypt ，其中t为参数 （5）直线：过,M a b，倾斜角为的直线参数方程为 cos sin xat tR ybt ，其中t代 表该点与M的距离 注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般 方程，然后利用传统的解析几何知识求解方程，然后利用传统的解析几何知识求解 二、典型例题： 例 1：已知直线参数方程为
5、3 3 xt yt ，圆C的参数方程为 2cos 2sin2 x y ，则圆心到直线的 距离为_ 思路：将参数方程转化为一般方程： 2 2 :6,:24l xyC xy 所以圆心为0,2，到直线的距离为： |26| 2 2 2 d 答案：2 2 例 2：以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取 相同的单位长度，点A的极坐标为2 2, 4 ，曲线C的参数方程为 2cos 2sin x y ，则曲 线C上的点到点A距离的最大值为_ 思路： 22 2,2 ,:221ACxy， 故曲线上距离A最远的距离为A到圆心的距离加 上半径，故5d 答案：5 例 3：已知在平面
6、直角坐标系xOy中圆C的参数方程为： 33cos 13sin x y ，以Ox为极轴建 立极坐标系，直线极坐标方程为cos0 6 ，则圆C截直线所得弦长为_ 思路：圆C的方程为： 2 2 319xy，对于直线方程cos0 6 ，无法直 接替换为, x y，需构造cos ,sin 再进行转换：cos0 6 3131 cossin00 2222 xy 再求出弦长即可：4 2l 答案：4 2 例 4：已知两曲线参数方程分别为 5cos 0 sin x y 和 2 5 4 xt yt ，它们的交点坐标 为_ 思路：曲线方程为 2 22 12 5 :1,: 54 x CyCxy， 联立方程可解得： 1
7、2 5 x y 或5x （舍） 由0,可得：0y 所以 1 2 5 x y ，坐标为 2 1,5 5 答案： 2 1,5 5 例 5：在极坐标系中，直线sincosa与曲线=2cos4sin相交于,A B两点， 且2 3AB ，则实数a的值为_ 思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：sincosayxa，曲线 222 =2cos4sin=2cos4sin24xyxy，所以问题转化为直线 :0l xya与圆 22 125xy相交于,A B， 且2 3AB ， 利用圆与直线关系 可求得圆心到直线距离 12 2 2 a d 即32a，解得5a 或1a 答案：5a 或1a 例 6：以直角坐标系的原点
8、为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 位，已知直线的极坐标方程为 4 R ，它与曲线 12cos 22sin x y （为参数）相交 于两点,A B，则AB _ 思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于 4 ，这种特殊的极坐标方程 可以考虑数形结合来确定直线：即: lyx，曲线消参后可得： 22 124xy即圆 心是1,2O， 半径为2的圆， 所以 12 22 O l d ， 22 1 22 414 2 O l ABrd 答案：14 小炼有话说：对于形如 4 的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程， 或者可以考虑对赋予三角函数，然后向直角坐标进行
9、转化： sinsin tan1111 4coscos y yx x 例 7：在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 1 xt t yt t ，以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程是sin1 3 ，则两曲线交点间的距 离是_ 思路：将 12 ,C C转变为直角坐标系的普通方程。 22 12 13 :4,:1 22 CyxCyx，则为直 线与双曲线位置关系，联立方程，利用韦达定理求得弦长即可 解： 1: C 1 1 xt t yt t 22 22 11 4yxtt tt 2 13 :sin coscos sin1sincos1 3322 C 2 C
10、的方程为 31 1 22 xy 联立方程可得： 22 4 32 yx yx 代入消去y可得： 2 22 32424 30 xxxx 设交点 1122 ,A x yB x y 则 12 0,2 3xx 2 12 14 3ABkxx 答案：4 3 例 8： 已知曲线的极坐标方程分别为 12 :cos3,:4cosCC， 其中0,0 2 ， 则曲线 12 ,C C交点的极坐标为_ 思路一：按照传统思路，将 12 ,C C转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为极 坐标 解： 1: cos33Cx 222 2: 4cos4 cos4Cxyx 22 33 43 xx xyxy 或 3 3 x
11、y 将两个点转化为极坐标分别为2 3, 2 3, 66 ，因为0,0 2 ，所以只有 2 3, 6 符合条件 思路二：观察到所给方程 12 :cos3,:4cosCC形式简单，且所求也为极坐标，所 以考虑直接进行极坐标方程联立求解直接进行极坐标方程联立求解 解： cos3 4cos 代入消去可得： 2 3 4cos3cos 2 0, 2 3 cos 26 4cos2 3 6 交点坐标为2 3, 6 小炼有话说： （1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对, 的限制条件 （2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的, 本身是实数，所以关 于它们的方程与, x y方程一
12、样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由 于其具备几何含义（尤其）导致方程形式有些特殊（数与三角函数） 。但在本题中，通过代 入消元还是容易解出, 的 例 9：已知在极坐标系中，O为极点，圆C的极坐标方程为4sin 3 ，点P的极坐 标为4, 3 ，则OCP的面积为_ 思路一：将C转变为直角坐标系方程： 2 4sin2sin2 3cos2 sin2 3 cos 3 2 2 22 2 32314xyxyxy， 所以 3,1C， 再求出P的直角坐标 为 2,2 3， 则 1 2 OCPP OC SOC d ， 因 为 3 :330 3 O Cyxxy， 所 以 2363 2 2 3
13、 P OC d ，且2OC ，所以 1 2 22 2 OCP S 思路二：本题求出 3,1C后，发现其极坐标为2, 6 ，而4, 3 P ，所以可结合图像利用 极 坐 标 的 几 何 含 义 求 解 ， 可 得 366 C O P ，2,4OCOP， 所 以 11 sin2 4 sin2 226 OCP SOCOPCOP 答案：2 OCP S 小炼有话说： （1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单： 3,1 ,2, 3OCOP，所以 2 2 1 2 OCP SOC OPOC OP，代入即可 （2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（）与角 ，在解决一些与几何相 关的问题时，灵
14、活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果 例 10：在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 2 2 1 2 xt yt ， （其中t为参数） ，以原 点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 13sin ， 设点2, 1M，曲线 12 ,C C交于,A B，求MAMB的值 思 路 一 ： 将 12 ,C C转 化 为 直 角 坐 标 系 下 普 通 方 程 ： 1: 1Cyx ， 22 2 2 2 :44 13sin Cxy ，联立方程，解出,A B坐标，再求出MAMB即可 解： 1 2 2 2 2 :11 1 2 1 2 xt x
15、Cyx y yt 222222 2 2 2 :13sin213sin43sin4 13sin C 22 44xy 22 2 2 44 414 1 xy xx yx 2 580 xx 设 1122 ,A x yB x y 1 1 0 1 x y ， 2 2 8 5 3 5 x y 83 0,1 , 55 AB 2 2 2,2 5 AMBM 8 5 AMBM 思路二：本题在思路一的基础上通过作图可发现, ,M A B三点共线，则可以考虑将MAMB 转变为向量的数量积， 即MAMBMA MB， 进而向量坐标化后整体代入 1212 ,xx x x即 可 解： （前面转化方程，联立方程同思路一）设 11
16、22 ,A x yB x y，2, 1M 1122 2,1 ,2,1MAxyMBxy 1212 2211MAMBMA MBxxyy 121212 221 11 1222xxxxxx 1212 224x xxx 由 2 580 xx得 1212 8 ,0 5 xxx x 88 2 024 55 MAMB 思路三：观察到2, 1M恰好是直线 1 C参数方程的定点，且所求恰好是,A B到M的距离， 所以联系到直线参数方程中参数t的几何含义。只需求得对应参数 12 ,t t的乘积即可 解：设 11 ,A x y，则有 11 11 2 2 2 2 1 2 xt yt ， 22 ,B x y，则有 22
17、22 2 2 2 2 1 2 xt yt 代入到 22 2: 41Cxy中可得： 22 11 22 22 22 2+414 22 22 2+414 22 tt tt 所以 12 ,t t是方程 22 22 2+414 22 tt 的两根，整理可得： 2 5 6 240 2 tt 1 2 8 5 MAMBt t 答案： 8 5 小炼有话说： （1）思路二体现了处理线段模长乘积时，可观察涉及线段是否具备共线特点， 如果具备可以将其转化为向量的数量积，从而简化运算，但要注意与图像结合，看好向量是 同向还是反向 （2）思路三体现了对直线参数方程中参数几何含义的巧用。在处理两条曲线（其中一条为参 数方程
18、）的交点问题时，可以将参数代换掉另一曲线中的, x y得到关于参数的方程。另外在 使用直线参数方程时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值。否则参数不 具备几何含义。例如本题中如果 1 C参数方程为 22 12 xt yt ，则t并不代表点到2, 1M 的距离。 三、历年好题精选 1、已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 3 xt yt （t为参数） ，以直角坐标系xOy 中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为 2 4 cos30，则 圆心C到直线l的距离为_ 2、 （2015，北京）在极坐标系中，点2, 3 到直线 cos3sin6的距离为_ 3、
19、（2015，广东）已知直线l的极坐标方程为2 sin2 4 ，点A的极坐标为 7 2 2, 4 A ，则点A 到直线l的距离为_ 4、 （2015，新课标 II）在直角坐标系xOy中，曲线 1 cos : sin xt C yt （t为参数，0t ） ，其 中0， 在 以O为 极 点 ，x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 23 :2sin ,:2 3cosCC （1）求 23 ,C C交点的直角坐标 （2）若 12 ,C C相交于点A， 13 ,C C相交于点B，求AB的最大值 5、 （2015，陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 3 2 3 2
20、xt yt （t为参数） ，以原 点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2 3sin （1）写出C的直角坐标方程 （2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标 习题答案习题答案： 1、答案： 5 3 2 解析：可知直线l的方程为：3333 30yxxy，圆的直角坐标方程为 2 222 43021xyxxy，所以圆心到直线的距离为 2 2 2 33 3 5 3 2 31 d 2、答案：1 解析：点2, 3 化为直角坐标系坐标为 1, 3，直线方程为360 xy，从而该点到 直线的距离为 2 2 136 1 13 d 3、答案： 5 2 2 解析：直线:2
21、sin2 cos2sincos1l，转化为直角坐标方程为 1yx，点A的直角坐标为2, 2，则A到直线的距离为 2215 2 22 d 4、解析： （1）曲线 23 ,C C的直角坐标方程分别为： 2222 20,2 30 xyyxyx 联立方程： 22 22 20 2 30 xyy xyx 解得： 0 0 x y 或 3 2 3 2 x y 23 ,C C交点的直角坐标为 3 3 0,0 , 22 （2）曲线 1 C的极坐标方程为,0,0R 在极坐标系下 2sin ,2 3cos ,AB 2sin2 3cos4 sin 3 AB max 4AB，当 5 6 时取到 5、解析： （1） 2 2 3sin2 3 sin 直角坐标方程为 22 2 3xyy整理可得： 2 2 33xy （2）设 13 3, 22 Ptt ，由（1）可得 0, 3C 2 2 2 13 33122 3 22 PCttt 等号成立条件为0t ，此时3,0P 6、答案：cossin1 解析：圆C的直角坐标方程为： 22 211xy，设直线l方程为：yxm，因为 2AB ，可知2ABr，所以AB为直径，即过圆心2,1，计算可得：1m，直线方 程为10 xy ，再转化为极坐标方程为cossin1
