1、学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司高 2024 届学业质量调研抽测（第二次）高 2024 届学业质量调研抽测（第二次）数学试卷数学试卷本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（）1
2、.设集合|ln(2)Ax yx，2|340Bx xx，则下列结论正确的是（）A.ABRB.AB C.RBA D.(1,2)RAB 2.已知复数z满足22i1zz，则复数z在复平面内的对应点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设nS为正项等比数列 na的前n项和，已知12a，452Sa，则10a的值为（）A.20B.512C.1024D.20484.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现.如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径8AB，圆柱体部分的高5BC，圆锥体部分的高3CD，则这个陀螺的表面积为
3、（）A.60B.76C.92D.965.过抛物线28yx焦点F的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120，则|MN的长度为（）A.203B.263C.323D.3436.有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且4()16kCP Xk学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司(0,1,2,3,4)k，则新的样本数据的第 25 百分位数不变的概率为（）A.116B.516C.1116D.15167.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinsin6BC
4、cossin3BC，2b，21sin7B.则a的值为（）A.7B.72C.213D.218.已知函数()yf x的定义域是(,0)(0,)，对任意的1x，2(0,)x，12xx，都有 2211210 x f xx f xxx，若函数(1)yf x的图象关于点(1,0)成中心对称，且(1)4f，则不等式4()f xx的解集为（）A.(1,0)(0,1)B.(1,0)(1,)C.(,1)(0,1)D.(,1)(1,)二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.若1bc，
5、01a，则下列结论正确的是（）A.aabcB.loglogbcaaC.aacbbcD.loglogcbbaca10.已知函数()3sin(2)22f xx的图象关于直线512x对称，则下列说法正确的是（）A.6 B.712fx为偶函数C.()f x在,4 2 上单调递增D.若 126f xf x，则12xx的最小值为211.已知1F，2F是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，且124FF，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，12FPF的平分线交x轴于点M，过点2F作2F E垂直于PM于点E.则下列说法正确的学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有
6、限公司是（）A.若点2F到双曲线的渐近线的距离为3，则双曲线的离心率为 2B.当1260FPF时，12FPF面积为4 3C.当13PFa时，点M的坐标为(1,0)D.若111FEb，则2 3507a三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,0)M，(5,3)N，P是直线43120 xy上任意一点，则OP MN _.13.有 4 人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中 1 人，则所有不同的录用情况种数为_.（用数字作答）14.若函数()f x在定义域内存在000 xx 使得00fxf x，则称(
7、)f x为“函数”，0 x为该函数的一个“点”.设2ln2,0()ln,0 xxxg xaex，若ln2是()g x的一个“点”，则实数a的值为_；若()g x为“函数”，则实数a的取值范围是_.四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PAAD，过棱PD的中点E作EFPC于点F，连接AF.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（I）证明：PCAF；（II）若22CDAD，求平面AEF与平面PAB所成角的正弦值.
8、16.（本小题满分 15 分）已知函数2()1 2ln(0)af xxax.（I）当4a 时，求函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程；（II）设函数()f x的极大值为()M a，求证：1()1M aa.17.（本小题满分 15 分）某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为 200 元、400 元、600 元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为4
9、5，23，35，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为12，且每关闯关成功与否互不影响.（I）求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；（II）设选手甲所得总奖金为X，求X的分布列及其数学期望.18.（本小题满分 17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，两焦点1F，2F与短轴的一个顶点构成学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司等边三角形，点62,2P在椭圆C上.（I）求椭圆C的标准方程；（II）过点1F且斜率不为 0 的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线3x 交于点D.设2ABF内切圆的圆心为I，求tanIA
10、B的最大值；设11ADAF，21BDBF，证明：21为定值.19.（本小题满分 17 分）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记 x表示不超过x的最大整数，则 yx称为“高斯函数”.例如：3.54y ，2.12y.（I）设1()2 2f xxxx，xR，求证：12是()f x的一个周期，且()0f x 恒成立；（II）已知数列 na的通项公式为*22221111122nannnnnnN，设*1112nnnbnaaN.求证：21nnna；求122024111bbb的值.#QQABIQQUggCAApBAARhCAQXSCAMQkBACCIoGgAAMsAABSQFABAA=#QQABIQQUggCAApBAARhCAQXSCAMQkBACCIoGgAAMsAABSQFABAA=#QQABIQQUggCAApBAARhCAQXSCAMQkBACCIoGgAAMsAABSQFABAA=#QQABIQQUggCAApBAARhCAQXSCAMQkBACCIoGgAAMsAABSQFABAA=#QQABIQQUggCAApBAARhCAQXSCAMQkBACCIoGgAAMsAABSQFABAA=#
