1、2024年九年级中考数学复习：线段周长问题（二次函数综合） 刷题练习题汇编1如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段（注：抛物线的对称轴为）(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标2如图，地物线与轴相交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，连接，(1)求的周长；(2)如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，当有最大值时，求的最大值与点的坐标；(3)将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，点为原抛物线与新抛物线的交点，点
2、是原抛物线上一点，当时，直接写出点的坐标3在平面直角坐标系，抛物线与x轴分别交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，已知顶点M的坐标为(1)求抛物线的解析式并求出点A，B的坐标；(2)如图1，P，Q是抛物线对称轴上两点（点P在点Q上方），且，当取最小值时，求点P的坐标；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴于F，的外接圆与相交于点E问：线段的长是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由4如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点：当点P运动到抛
3、物线顶点时，求此时的面积；点在运动的过程中，是否存在周长的最大值，若存在，请求出周长的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由5如图，已知抛物线与x轴交于点，(1)求抛物线的解析式；(2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求的长；(3)当时，x的取值范围是_6如图，抛物线的顶点坐标为，且经过点，点P是第一象限内的抛物线上的一点，且在对称轴右侧，过点P作轴于点M，轴于点N，设点P的横坐标为m(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)当四边形为正方形时，求的值；(3)求四边形的周长的最大值；(4)若直线PN与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出当时m的值7如图，已知抛物线与x轴从左至右依
4、次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点在该二次函数的图象上，且，求点P的坐标；(3)设F为线段上的一个动点（异于点B和D），连接是否存在点F，使得的值最小？若存在，分别求出的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由8如图，过原点的抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线的对称轴为直线，点为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图（1），点为直线上方抛物线上一动点，连接，线段交直线于点，若的面积为，的面积为，求的最大值(3)如图（2），设直线与抛物线交于，两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长是定值9
5、如图，抛物线与x轴交于，两点(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值若没有，请说明理由10如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点(1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；(2)若是这个二次函数的图像上任意一点，当的面积为的时候，求点坐标(3)若是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与交于点，连接求线段的最大值；11如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y
6、轴交于点C，作直线(1)求a的值(2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值；(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值12如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由13如图，直线交x轴于A点，交y轴于B
7、点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的值最小，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)在抛物线的对称轴上找到一点Q，使是等腰三角形请直接求出Q点坐标14如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上的点(1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；(2)若点的横坐标为，过点作轴，垂足为与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；(3)若点是对称轴上的点，若以点，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标15如图，在平面直角坐标系中，抛物线与
8、轴交于两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点(1)当时，求三点坐标；(2)过点作交抛物线于另一点，交轴于点，若，求的值；(3)如下图，直线分别交抛物线于两点，直线交轴于点，点的纵坐标分别为，求证：第 9 页 共 35 页参考答案：1（1）直线与轴交于点，令，则点坐标为，线段，直线与x轴交于B点，抛物线与直线交于A点，与x轴交于B点，将、坐标代入得，解得，抛物线的解析式为；（2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为，即点的坐标，又点在直线上，解得（舍去），的坐标为（）当为直角顶点时，过作交轴于点，设，直线与x轴交于点D，令，则点坐标为，即，（）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于，同理可证，点坐
9、标为，的坐标为即，点坐标为（）当为直角顶点时，设，由，得，由得，解得，此时的点的坐标为或，综上所述，满足条件的点的坐标为或或或；（3）抛物线的对称轴为，、关于对称，要使最大，即是使最大，由三角形两边之差小于第三边得，当、在同一直线上时的值最大，设直线的解析式为，解得直线的解析式为由，得，2（1）对于 ，当 时, 即点，令 则 或， 即点的坐标分别为：，则的周长为；（2）在中， ，设直线的表达式为：，把和代入得：，解得，直线的表达式为，设点 则点， ，的最大值为，此时，点；（3） ,联立得:，解得：，则点，设点，过点F作轴，过点M作轴，如图所示，而点，又，解得：，（舍去），点的坐标为或31）抛物
10、线与y轴交于点，已知顶点M的坐标为（1，4）设抛物线解析式为，将代入，得：，解得：，令，得，解得：，该抛物线解析式为，（2）如图1，将点沿轴向下平移1个单位得，连接交抛物线对称轴于点，过点作，交对称轴于点，连接，、关于直线对称，四边形是平行四边形，此时，、三点共线，的值最小，由于，即此时的值最小，设直线的函数关系式为，将两点坐标代入得：，解得：，直线的函数关系式为，二次函数对称轴为，点在对称轴上，；（3）线段的长为定值1如图2，连接，设，且，轴，四边形是圆内接四边形，线段的长为定值14（1）解：将和的坐标代入，得，解得，抛物线的表达式为；,（2）解：令，解得或3，即点，令，则，即点，设直线的表
11、达式为，将和代入表达式，得，解得，直线的表达式为：，则，点是抛物线的顶点，点，轴，点的横坐标为，点，的面积为1；存在，设点，则点，抛物线开口向下，当时，最大，为，即，当最大，即时，最大，周长的最大值为，此时点的坐标为5（1）解：把，代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：把点的纵坐标，代入，得：，解得：或，则长；（3）解：由（2）和图象知：当时，x的取值范围是或，故答案为：或6（1）解：抛物线的顶点坐标为，设抛物线对应的解析式为，抛物线经过点，解得，抛物线对应的函数解析式，抛物线对应的函数解析式（2）解：点P在抛物线上，点P的横坐标为m，点P的坐标为，当四边形为正方形时，解得，令，即，解
12、得，抛物线与x轴正半轴交点坐标为，P是第一象限内的抛物线上的一点，且在对称轴右侧，抛物线的对称轴为直线，m的取值范围为，的值为（3）解：设四边形的周长为L，当时，四边形的周长最大值为（4）设Q的横坐标为n，当时，当时，,当时，综上，或7（1）解：把代入，解得，把代入，解得，抛物线的解析式为；（2），当时，则，当，则，当时，则，解得：，如图1中，设直线交y轴于J，则连接， ，当时， ，解得：，或，当时，方程无解，满足条件的点P的坐标为或（3）如图2中，过点D作平行于x轴，作于H，则有，当A、F、H三点共线时，即时，取最小值把代入可得，；81）解：过原点的抛物线，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交
13、点坐标为，抛物线的解析式为；（2），设直线的解析式为，将代入，得：，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则：，设，则：，当时，的最大值为；（3）联立，解得：或，设的解析式为，则：，解得 ，当时，为定值9（1）解：将，代入中得，抛物线解析式为：；（2）解：抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线，连接，由对称性可知，的周长，A、C为定点，为定值，当最小时，的周长最小，当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小，在中，当时，的坐标为，设直线解析式为，直线解析式为：，在中，当时，存在使得的周长最小；（3）解：设，过点P作轴于E，当有最大值时，有最大值，当时，最大值，最大，当时，点坐标为，存在使得面积最大
14、，最大为10（1）解：将，代入，得：，解得：，二次函数的表达式为，二次函数图像的顶点坐标为.（2）设，的面积为，即或解得：（舍去）或或或或或；（3）设直线的表达式为，将代入，得：，解得：，直线的表达式为点的横坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段的最大值为11（1）解：拋物线与轴交于点，解得：；（2）解：二次函数解析式为：，设，轴，点的纵坐标为，把代入得，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，开口向下，当时，取得最大值为；（3）解：直线向下平移n个单位后的关系式为，如图，当平移后的直线过点B时，直线与图像G有且只有三个交点，把代入得：，解得：；原抛物线上方折叠到下方的抛物线解析式为：，当平移
15、后的直线与抛物线相切时，直线与图象G有且只有三个交点，此时方程有两个相等的实数根，即方程有两个相等的实数根，解得：；综上分析可知，n的值为或12（1）解：将，代入中得：，解得，抛物线解析式为；（2）解：在中，当时，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，设，解得：，当时，的最大值为；（3）解：抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线，设，当，则由勾股定理得，点M的坐标为；当，则由勾股定理得，点M的坐标为；当，则由勾股定理得，解得或，点M的坐标为或；综上所述，点M的坐标为或或或13（1）解：在中，当时，当时，设抛物线解析式为，抛物线解析式为；（2）解：如图所示，连接，抛物线解析式为，抛物线对称轴为直
16、线，点P在抛物线对称轴上，当三点共线时，最小，即最小，设直线解析式为，直线解析式为，在中，当时，；（3）解：设点Q的坐标为，当时，则，解得，点Q的坐标为或；当时，则，解得，点Q的坐标为；当时，则，解得或（舍去，此时三点共线），点Q的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或或或14（1）解：在中，令，得，解得，或，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的解析式为；（2）如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为，当点在点右侧时，显然点在线段外，显然不符合题意，分两种情况：当时，得，解得，或（舍去），；当时，得，解得，或（舍去），；综上所述：的坐标为或；（3）由可得抛物线对称轴是直线，设点的坐标为， 当
17、以为对角线时，则由中点坐标公式可得，即：，解得：，即点的坐标为；当以为对角线时，则由中点坐标公式可得，即：，解得：，即点的坐标为，当以为对角线时，则由中点坐标公式可得，即：，解得：，即点的坐标为；综上，若以点，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或15（1）解：当时，当时，得到，即；当时，得到，即，解得或，点在点左侧， ，；（2）解：作轴于，如图所示：，令，即，解得，则，轴，代入抛物线中，解得（舍），；（3）证明：如图所示：由（2）知，设，经过，可设，与抛物线联立，消元得，根据一元二次方程根与系数关系可得，由，直线交轴于点，点的纵坐标分别为，可设，则；设，则，联立与抛物线得，消元得，根据一元二次方程根与系数关系可得，联立与抛物线得，消元得，根据一元二次方程根与系数关系可得，由可知，即，第 25 页 共 35 页
