1、2024年九年级中考数学复习：创新题型新定义问题 刷题练习题汇编1对任意有理数a、b，定义一种运算“”：ab=ab2a2b+1(1)计算32的结果为_；(2)计算423的值；(3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程2阅读下列材料，并完成相应的任务定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”例如：方程4x=8与方程y+1=0为“美好方程”(1)若关于x的方程2x+m=5与方程4y2=y+10是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值3一般情况下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：
2、ab0我们称使得a2+b3=a+b2+3成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）(1)若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；(2)写出一个“相伴数对”（a，b），其中a0，且a1；(3)若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m223n4m2(3n1)的值4我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pq（p，q是正整数，且pq），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解，并规定；Fn=pq，例如12可以分解成112，26或34，因为1216243，所以34是12的最佳分解，所以F12=34(1)求F24；(2)如果一个正整数mm1只有1与
3、m本身两个正因数，则m称为质数若质数m满足Fm+4=1，求m的值；(3)是否存在正整数n满足Fn=Fn+12=14，若存在，求n的值：若不存在，说明理由5先阅读下面一段文字，再回答问题：已知在平面直角坐标系xOy中对于任意两点P1（x1，y1）与R（x2，y2）的“识别距离”，给出如下定义：若|x1x2|y1y2|，则点，P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“识别距离”为|x1x2|；若|x1x2|y1y2|，则点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“识别距离”为|y1y2|；(1)已知点A（1，0）；B为y轴上的动点若点A与点B的“识别距离”为3，写出满足条件的点B的坐标 直接写出点
4、A与点B的“识别距离”的最小值为 (2)已知点C（m，34m+3）；D（1，1），求点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的点C的坐标6配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为5=12+22，所以5是“完美数”解决问题：(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式：_；(2)若x24x+5可配方成xm2+n（m，
5、n为常数），则mn=_；(3)探究问题：已知x2+y22x+4y+5=0，求x+y的值(4)已知S=x2+4y2+4x12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k的值7我们规定，关于x，y的二元一次方程ax+by=c，若满足a+b=c，则称这个方程为“幸福”方程例如：方程2x+3y=5，其中a=2，b=3，c=5，满足a+b=c，则方程2x+3y=5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题(1)判断方程3x+5y=8_“幸福”方程（填“是”或“不是”）；(2)若关于x，y的二元一次方程kx+（k1）y=9是“幸福”方程，求k的
6、值；(3)若x=py=q是关于x，y的“幸福”方程组mx+(m+1)y=n1mx+2my=n的解，求4p+7q的值8阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”如x1x+1，x2x1这样的分式就是假分式；再如：3x+1，2xx2+1这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）如：x1x+1=（x+1）2x+1=12x+1
7、；x2x1=x21+1x1=(x+1)(x1)+1x1=x+1+1x1解决下列问题：(1)分式3x是_分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式x21x+2化为带分式的形式为_；(3)把分式2x1x+1化为带分式；如果2x1x+1的值为整数，求x的整数值9党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点Pm,n的坐标满足n=m2，则称点P为“高质量发展点”(1)若点Pm,4是反比例函数y=kx（k为常数，k0）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式；(2)若函数y=2x+3p（p为常数）图象上存在两个不同的“
8、高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围；(3)若二次函数y=ax2+b1x+2（a，b是常数，a1）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令w=b28a1，当t1bt时，w有最大值t，求t的值10材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，ab=a+b20232，如：12=1+220232，123=1+220232+320232=2017材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，2=2，1.3=2(1)26 =_，=_；(2)求123420222023的值：(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出mm+n的结果11从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射
9、线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”(1)如图，在ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，求证：CD为ABC的“优美分割线”；(2)请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；(3)在ABC中，A=30，AC=6，CD为ABC的“优美分割线”，且ACD是等腰三角形，求线段BD的长12新定义问题如图，已知AOB，在AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为AOC、BOC、AOB若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为AOB的“幸运
10、线”（本题中所研究的角都是大于0而小于180的角）【阅读理解】（1）角的平分线_这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图，AOB=45，射线OC为AOB的“幸运线”，则AOC的度数为_；【解决问题】（3）如图，已知AOB=60，射线OM从OA出发，以每秒20的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0tBC，在AC上截取CD=CB，在AB上截取AE=AD求证：ABC是EDB的倍余角；(3)如图2，在（2）的情况下，作BFDE交AC于点F，将BFC沿BF折叠得到BFC，BC交AC于点P，若ABC=90，设CBF
11、=，求CPB的度数19问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，小明在学习中发现，若x1=x2，则ABy轴，且线段AB的长度为|y1y2|；若y1=y2，则ABx轴，且线段AB的长度为|x1x2|；【应用】：（1）若点A(1,1)、B(2,1)，则ABx轴，AB的长度为 （2）若点C(1,0)，且CDy轴，且CD=2，则点D的坐标为 【拓展】：我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1x2|+|y1y2|；例如：图1中，点M(1,1)与点N(1,2)之间的折线距离为d(M，N)=|
12、11|+|1(2)|=2+3=5解决下列问题：（1）如图2，已知E(2,0)，若F(1,2)，则d(E,F) ；（2）如图2，已知E(2,0)，H(1,t)，若d(E,H)=3，则t= （3）如图3，已知P(3,3)，点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d(P,Q)= 20数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角根据该约定，完成下列问题：(1)如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OPOD，垂足为O，交BC边于P，POD是否为一中美三角，并说明理由；
13、(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y2x2上，若ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；(3)如图3，若二次函数yx2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0m3），当m为何值时，PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积第 8 页 共 32 页参考答案1（1）解：32=322322+1=66+4+1=7（2）423=422422+13=8+84+13=33=332323+1=9+6+6+1；=22（3）a
14、b=ab2a2b+1，ba=ba2b2a+1=ab2a2b+1，ab=ba，定义的新运算“”对交换律成立2（1）解：解方程4y2=y+10得y=4，因为关于x的方程2x+m=5与方程4y2=y+10是“美好方程”，所以x+4=1，所以x=3，把x=3代入方程2x+m=5得6+m=5，所以m=11；（2）解：因为“美好方程”的两个解的和为1，所以另一个方程的解为1n，因为“美好方程”的两个解的差为7，所以1nn=7或n1n=7，所以n=3或n=43（1）解：由题意得：12+b3=1+b2+3，即12+b3=1+b5，解得b=94（2）解：设这个“相伴数对”为(2,x)，由题意得：22+x3=2+
15、x2+3，解得x=92，则这个“相伴数对”为(2,92)（3）解：由题意得：m2+n3=m+n2+3，整理得：9m+4n=0，则m223n4m2(3n1)=m223n4m+2(3n1)=3m223n+6n2=3m43n2=9m+4n32=24（1）解：24=124=212=38=46，24-112-28-36-4，F24=46=23；（2）解：由质数m满足Fm+4=1设Fm+4=aa，m+4=a2，m=a2-4=a2a+2，m为质数，a-2=1，a=3，m=a2-4=5，（3）解：不存在假设存在这样的n,设n=a4a,F（n）=a4a=14此时n=2a2a,则F（n）=1，矛盾故不存在F（n）
16、=145（1）解：由于B为y轴上的动点，设B点坐标为(0,b)，点A与点B的“识别距离”为3，|10|=1，|0b|=3，b=3点B的坐标为(0,3)或(0,3)故答案为：(0,3)或(0,3)|10|=1，根据“识别距离”的定义可知，当|0b|1时，点A与点B的“识别距离”大于1，当|0b|1时，点A与点B的“识别距离”等于1，点A与点B的“识别距离”的最小值为1（2）由|m1|=|34m+31|，解得m=12或47当m47时，|m1|=1m，m117，当m12时，|m1|=m1，|34m+31|=34m+2，m12， 34m9， 34m+211，当m12时，点C与点D的“识别距离”大于11
17、当m=47时，点C与点D的“识别距离”为最小值，最小值为117，点C的坐标为(47，187)6（1）解：29是“完美数”，29=52+22；（2）解：x2-4x+5=（x2-4x+4）+1=（x-2）2+1，又x2-4x+5=（x-m）2+n，m=2，n=1，mn=21=2故答案为：2；（3）解：x2+y2-2x+4y+5=0，x2-2x+1+（y2+4y+4）=0，（x-1）2+（y+2）2=0，x-1=0，y+2=0，解得x=1，y=-2，x+y=1+（-2）=-1；（4）解：当k=13时，S是“完美数”，理由如下：S=x2+4y2+4x-12y+13=x2+4x+4+4y2-12y+9=
18、（x+2）2+（2y-3）2，x，y是整数，x+2，2y-3也是整数，S是一个“完美数”7（1）解：a=3，b=5，c=8，a+b=c，方程3x+5y=8是“幸福”方程；故答案为：是（2）二元一次方程kx+（k1）y=9是“幸福”方程，k+k1=9，解得：k=5；（3）解：mx+(m+1)y=n1mx+2my=n是“幸福”方程组，m+m+1=n1m+2m=n，解得：m=2n=6，原方程组为2x+3y=52x+4y=6，x=py=q是关于x，y的“幸福”方程组的解，2p+3q=52p+4q=6，由+得：4p+7q=118解：（1）由题意得：分式3x是真分式，故答案为：真；（2）x21x+2=x2
19、4+3x+2=(x+2)(x2)+3x+2=x2+3x+2，故答案为：x2+3x+2；（3）2x1x+1=2(x+1)3x+1=23x+1，当2x1x+1为整数时，3x+1也为整数所以x+1可取得的整数值为1、3所以x的可能整数值为0，-2，2，-49（1）解：将Pm,4代入y=kx，得：km=4 即k=4m ，又因为Pm,4是“高质量发展点”，故m2=4，解方程组k=4mm2=4 得：m1=2k1=8 或m2=2k2=8，则这个反比例函数的解析式为y=8x或y=8x（2）解：设图象上存在的“高质量发展点”坐标为t，t2，依据题意将t，t2代入y=2x+3p得：t22t3p=0 ，由函数y=2
20、x+3p（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程t22t3p=0有两个不相等的实根，即=22+43p0 解得：p0，解得：p3 ，综上可得：4p3 （3）解：设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为t，t2，将t，t2代入y=ax2+b1x+2，可得t2=at2+b1t+2，整理得a1t2+b1t+2=0，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知方程a1t2+b1t+2=0两根相等，即=b128a1=0，变形得：b12=8a1，因为w=b28a1，所以w=b2b12=2b2+2b1，故由抛物线w=2b2+2b1性质：开口向下，对称轴为b=12，顶点12，12 ， 当t1bt时
21、，w有最大值t，分情况讨论最值情况：（1）当t112即t32 时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，故当b=t1 时w有最大值t，即t=2t12+2t11，化简得：2t27t+5=0，得：t1=1，t2=52 t1=132，故t1=1舍去， t=52 （2）当t112且t12，即32t12 时，函数w=2b2+2b1的自变量取值范围包括了顶点，即当b=12，w有最大值t=12，解得：t=12， t=12（3）t12时函数w=2b2+2b1自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时w最大值当b=t时取得，即：t=2t2+2t1，整理得： 2t23t+1=0，解得t=12，t=1 t12，故t=1
22、2，t=1均不合要求，此时无解，综上可得：t=52或t=1210（1）解：ab=a+b20232，26=2+620232=20072，=4，=3， =43=64，故答案为：20072，64；（2）依题意，123420222023=1+2+3+2023+202220232=1+202322023202220232=2023；（3）n+1=n+1，2n=3n+1，2n=3n+3，n=3，m=23 =6，m+n =6+n=9，mm+n =96=9620232=2053211（1）解： ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，ACB=1804060=80,ACD=BCD=40, A=ACD=BC
23、D, ACD为等腰三角形，BCD=A,B=B, BCDBAC, CD为ABC的“优美分割线”（2）解：如图，构建的三角形和它的“优美分割线”，CD为它的“优美分割线”由图可得：ADC为等腰三角形，BCDBAC, 所以作图符合题意（3）解： ACD是等腰三角形，则分情况讨论：当AD=CD时，则A=ACD, 如图， A=30，CD为ABC的“优美分割线”，BCDBAC, A=ACD=30=BCD, ABC=1803060=90, AC=6，BC=3,AB=6232=33, BD=BCtanBCD=333=3, 当AC=AD=6时，A=30,则ACD=ADC=75, CD为ABC的“优美分割线”，
24、BCDBAC,BCD=A=30,B=45, BCBA=BDBC, 过D作DQBC于Q, 则QDB=B=45, 所以设DQ=BQ=x, BD=2x,CQ=3x,BC=(3+1)x, (3+1)x6+2x=2x(3+1)x 解得：x=36322, 经检验符合题意；BD=2x=333. 当AC=DC=6时，不符合题意，舍去，综上：BD的长为：3或33312解：（1）若OC为AOB的角平分线，则有AOB=2AOC，符合“幸运线”的定义，所以角平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）由题意得：AOB=45，射线OC为AOB的“幸运线”，当AOB=2AOC时，则有：AOC=22.5；当AOC=2B
25、OC时，则有AOC=23AOB=30；当BOC=2AOC时，则有AOC=13AOB=15；综上所述：当射线OC为AOB的“幸运线”时，AOC的度数为15，22.5，30，故答案为15，22.5，30；（3）AOB=60，射线ON与OA重合的时间为6015=4（秒），当0t4时ON在与OA重合之前，如图所示：MOA=20t，AON=6015t，OA是MON的幸运线，则有以下三类情况：20t=6015t，t=127，20t=26015t，t=125，220t=6015t，t=1211；当4t0)或y=2x(x0)的图象上，点E形成的图形如图所示：15（1）解：A(2,0)，OA=2,OA2=4，S
26、OP1A=12OAyP1=1224=4=OA2，P1是线段OA的“等幂点”SOP2A=12OAyP2=1222=2OA2， P2不是线段OA的“等幂点”SOP3A=12OAyP3=1221=1OA2，P3不是线段OA的“等幂点”SOP4A=12OA|yP4|=1224=4=OA2， P4是线段OA的“等幂点”是线段OA的“等幂点”的是P1,P4，故答案为：P1,P4；如图，OAB是线段OA的“等幂三角形”，SOAB=OA2点A(2,0)，设OAB中OA边上的高为h，SOAB=12OA=122=4，=4，点B在直线y=4或y=4上，又OAB是等腰三角形，点B在半径为2的O上，或在半径为2的A上，
27、或线段OA的垂直平分线上，综上，点B的坐标为(1,4)或(1,4)；（2）解：设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，ON=3=OH，ONH为等腰直角三角形，OHN=ONH=45，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，TCNH，OHN =45，TCH为等腰直角三角形，在RtTCH中TH=2，TC=CH=THsin45=222=2，QC=2+2，又因
28、为ECD为锐角三角形，点E在QR上运动，点E到CD的距离h的范围是22+2，CD=CFcos45=2CF=2(x-2)，线段CD的“等幂三角形”，SCDE=12CD=CD2，h=2CD=22(x-2)，222(x2)2+2，解得52x3，3xD5+22； 第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在QG上运动，又因为ECD为锐角三角形，GU=GHcos45=22，222+2，线段CD的“等幂三角形”，SCDE=12CD=CD2，h=2CD=22(2-x)，则2222(2x)2+2，解得322xD1，D的横坐标xD的取值范围为322xD1或3xDBC ；如解图2，过点B作BDAC，垂足为D，则BD是AC边上的高，ABD=60A，ADBD，BDCD=AB，ABAC，BCA是最小的角，在RtADC中，AD=AC2+CD2=2a，BD=ADAB=a，在RtBDC中，BC=DC2+BD2=a2+a2=2a在RtBEC中，sinBCE=BEBC=5a52a=1010；当BC=5AB时，如图4-2所示，过点B作BEAC于点E，设CD=AB=a ，则BC=5a，在RtBDC中，BD=BC2CD2=2aAD=AB+BD=3a，在RtADC中，AC=AD2+CD2=10a SABC=12ABCD=12ACBE ABCD=ACBEBE=ABCDAC=10a10，同理可得BCA
