1、2024年九年级中考数学复习：二次函数与三角形的综合 刷题练习题汇编1对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线、，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交于点D，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”尝试应用：（1）已知：如图2，点、，则的水平宽为 ，铅垂高为 ，所以的面积为 （2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的
2、铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为 ，铅垂高 ，的面积为 2已知RtABC斜边AB上的高OC长为2.4，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合，直角顶点C落在y轴正半轴上，点A的坐标为（1）求点B的坐标和经过点A、B、C的指物线的关系式；（2）如图1，点M为线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），交线段BC于点N，交线段AC于点P，连接PN，MNP是否有最大面积？若有，求出MNP的最大面积；若没有，请说明理由；（3）如图2，直线l是经过点C且平行于x轴的一条直线，如果ABC的顶点C在直线l上向右平移m，（2）中的其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由3
3、四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线（1）如图1，四边形ABCD中，DAB100，DCB130，对角线AC平分DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线；（2）如图2，直线分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y（k0）上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；（3）如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为（3，1），ACx轴，BCADCA30，连接BD，BCD的面积为过A，C两点的抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于E，F两点，记|m|AC+1，若直
4、线ymx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值4如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm（1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值 5如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等
5、于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；（3）是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.6如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”这条高称为“半高”如图1，对于ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，ABC就是“半高三角形”此时，称ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2
6、，对于EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，EFG就是半高三角形，此时，称EFG是EF边半高三角形，CH是“EF边半高”（1）在RtABC中，ACB90，AB10cm，若ABC是“BC边半高三角形”，则AC cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为 （3）如图3，平面直角坐标系内，直线yx+2与抛物线yx2交于R，S两点，点P是抛物线yx2.上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标7已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线
7、与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性AMB恒为等腰三角形，我们规定：当AMB为直角三角形时，就称AMB为该抛物线的“完美三角形”.（1）如图2，求出抛物线yx2的“完美三角形”斜边AB的长；抛物线yx2+1与yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ；（2）若抛物线yax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线ymx2+2x+n5的“完美三角形”斜边长为n，且ymx2+2x+n5的最大值为1，求m，n的值.8如图，在直角坐标系中有，O为坐标原点，将此三角形绕原点O顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过A，B，C三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标
8、；（2）过定点Q的直线与二次函数图象相交于M，N两点.若，求k的值；证明：无论k为何值，恒为直角三角形.9如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，三点. （1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；（2）过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点.若，求的值；证明：无论为何值，恒为直角三角形；当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.10已知：如图1，抛物线的顶点为 ，平行于 轴的直线与该抛物线交于点 ， （点 在点 左侧），根据对称性 恒为等腰三角形，我们规定：当 为直角三角形时，就称 为该抛物线的“完美三角形
9、”. （1）如图2，求出抛物线 的“完美三角形”斜边 的长； 抛物线 与 的完美三角形的斜边长的数量关系是 ；（2）若抛物线 的“完美三角形”的斜边长为4，求 的值； （3）若抛物线 的“完美三角形”斜边长为 ，且 的最大值为1，求 ， 的值. 11如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，A（1，0），B（0，2），二次函数yx2+bx2的图象经过C点（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使PBC的面积等于ABC的面积的两倍（3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使QAC45？请你求出此
10、时的Q点坐标12如图1，探照灯、汽车前灯的反光曲面都是“抛物镜面”，它是由过等腰直角三角形（）顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的，我们将抛物线和线段所围成的封闭图形称之为“碗形”，记作“碗形”，其中抛物线部分叫“标准线”，记作“标准线”，抛物线的顶点C称为“碗顶”，直角三角形的斜边的长度称为“碗宽”，碗顶C到的距离称为“碗高”. （1）若碗形的碗宽是，则碗高是 （直接写出结果）.（2）如图2，碗形的碗宽为4，点A与坐标原点重合，点B在x轴的正半轴上，点C在x轴下方，求标准线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）（3）将（2）中的碗形绕点B顺时针旋转得到碗形ABC，旋转角为，且标准线、标
11、准线ACB和线段AA围成的封闭图形的面积为 （直接写出结果）.过点C作CDAB交于点D，交AB于点F.试求FDDC的值.13定义：如果一条抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形.（1）抛物线yx22 x对应的“特征轴三角形”是 ；抛物线y x22对应的“特征轴三角形”是 .（把下列较恰当结论的序号填在横线上：腰与底边不相等的等腰三角形；等边三角形；非等腰的直角三角形；等腰直角三角形.）（2）若抛物线yax2+2ax3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值.
12、（3）如图，面积为12 的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若ABE是抛物线yax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式. 14如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“和谐三角形”。（1）如图1，在66的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B都在格点(小正方形的顶点)上，在网格中找一个格点C，使得ABC为“和谐三角形”。（2）如图2，ABC中，ACB=90，AB=2 ，BC=2 。求证：ABC是“和谐三角形”。（3）如图3，点M，N在抛物线y=x上，且MNx轴，若OMN是“和谐三角形”，求点N的坐标。15如图，在平面直角坐标系中
13、，是直角三角形，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求顶点D的坐标；（2）点E是斜边上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E、F的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由16如图，在等腰三角形ABC中，BAC90，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，1)，二次函数yx2bx的图象经过点C （1）求二次函数的解析式，并把解析式化成ya(xh)2k的形式；（2）把ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求ABC扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存
14、在异于点C的点P，使ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由17定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；（2）若抛物线yx2bx（b0）是“美丽抛物线”，求b的值；（3）如图，抛物线yax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得QCAABO，求Q点的横坐标.18已知，平
15、面直角坐标系中，抛物线 交y轴于点A，交x轴于点B、C， 为等边三角形， （1）如图1，求抛物线解析式（2）如图2，P为AC上方抛物线上一点，过P作 交AC于D，设点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，在x轴上点B左侧取一点E，使得点E在AD的垂直平分线上，连接ED，若 的周长为36，求d的值 19在平面直角坐标系中，我们定义直线yaxa为抛物线yax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线yax2+bx+c与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的
16、左侧），与x轴负半轴交于点C，tanABO，B（1，0），点A横坐标为2，BC4（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上是否存在点F，使得以点 A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F的坐标；若不存在，请说明理由20对于抛物线 ，我们将它的顶点以及它与 轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形” （1）下列抛物线，有“内接三角形”的是 ；（填序号） ；
17、；（2）如图1，抛物线 与 轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”ABD为等边三角形 求 的值；如图2，若该抛物线经过点（0，6），BAD的平分线交BD于点P，点M为射线AB上一点连接直线PM交射线AD于点N，求 的值21如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，A（1，0），B（0，2），二次函数yx2+bx2的图象经过C点（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使PBC的面积等于ABC的面积的两倍（3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使QAC4
18、5？请你求出此时的Q点坐标答案解析部分1【答案】（1）9；21学以致用：（2）；2；3【解析】【解答】（1）尝试应用：点、，直线即为直线，直线即为直线，即的水平宽为，设直线的解析式为，直线的解析式为，在中，当时，即铅垂高为，；故答案为：9，21；（2）学以致用：抛物线解析式为，顶点B的坐标为；令，则；令，则，解得或，直线即为直线，直线即为直线，即的水平宽为，设直线的解析式为，直线的解析式为，在中，当时，；故答案为：，2，3【分析】（1）先求出直线AB的解析式，再求解即可；（2）先求出直线AC的解析式，再求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式求出即可。2【答案】（1）解：，点B的坐标为设经过点
19、A，B、C的拋物线的解析式为，将点代入，得（2）解：易求得，四边形MNCP为矩形，设，则，当时，MNP的面积有最大值为（3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下：，由，得，则，设，则，当，即时，MNP面积有最大值为，所以（2）中的结论仍然成立【解析】【分析】（1）先证出可得，再将数据代入求出OB的长可得点B的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；（2） 设，则， 利用三角形的面积公式可得，再利用二次函数的性质分析求解即可；（3） 设，则， 利用割补法求出，再利用二次函数的性质分析求解即可.3【答案】（1）解：如图1，设ACD，则ACB130，B180BACACB18050（130），在AB
20、C和ACD中，BACD，BACCAD，ABCACD，AC是四边形ABCD的相似对角线；（2）解：当APO为直角时，当OAP30时，过点P作PHx轴于点H，设OHx，则HPx，HA3x，则x+3x4，解得：x1，故点P（1，），故k；当AOP30时，同理可得：k3；当OAP为直角时，当OPA30时，点P（4，4），k16；当AOP30时，OAAO，OAPAOB90，AOPOAB30OAPAOB，不符合相似对角线的定义，故舍去；综上，反比例函数的表达式为：y或y或y；（3）解：如图3，过点B作BHCD于点H，则CBH60BCD30，故CHBC，则BHBC，BCD的面积CDBHCD BC，故CDBC
21、4而BACACD，故CA2BCCD4，故CA2，则点A（1，1），而点C（3，1），将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为：yax24ax+3a+1，AC2，则m3，故直线的表达式为：y3x，直线y3x与抛物线有两个交点，而直线ymx与抛物线恰好有3个交点，则直线y3x与抛物线有一个交点，联立直线y3x于抛物线的表达式并整理得：ax2（4a+3）x+3a+10，（4a+3）24a（3a+1）0，解得：a或【解析】【分析】（1）设ACD，则ACB130-，根据内角和定理可得B，则BACD，BACCAD，证明ABCACD，据此解答；（2）当APO为直角时，当OAP30时，过点P作
22、PHx轴于点H，设OHx，则HPx，HA3x，结合OA=4可得x的值，进而可得点P的坐标，然后求出k的值；当AOP30时，同理可得k的值；当OAP为直角时，当OPA30时，同理可得k的值；当AOP30时，证明OAPAOB，不符合相似对角线的定义，据此解答；（3）过点B作BHCD于点H，则CBH30，CHBC，则BHBC，根据三角形的面积公式可得CDBC4，由相似三角形的性质可得CA2BCCD4，求出CA的值，得到点A的坐标，将A、C的坐标代入可得抛物线的表达式为：yax2-4ax+3a+1，求出直线的解析式，由题意可得直线y3x与抛物线有一个交点，联立并结合0就可求出a的值.4【答案】（1）解
23、：四边形ABCD为矩形KD=EG=xAK=AD-DK=80-xEFBCAEFABC，即y=-x+120（0x80）（2）解：说法错误，S=xy=-x2+120x=-（x-40）2+2400当x=40时，S有最大值2400此时，y=-40+120=60矩形的长为60，宽为40，矩形的面积最大，最大值为2400此时的矩形不是正方形，说法错误。【解析】【分析】（1）由相似三角形的判定定理以及性质，结合对应边成比例，即可得到函数关系式；（2）根据矩形的面积列出式子，结合二次函数的性质，求出最值进行判断即可得到答案。5【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4把A（3，0）代入解析式
24、求得a=-1所以y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3设直线AB的解析式为：y2=kx+b由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为（0，3）把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中解得：k=-1，b=3所以y2=-x+3；（2）解：因为C点坐标为（1，4） 所以当x=1时，y1=4，y2=2所以CD=4-2=2SCAB=32=3（平方单位）；（3）解：假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h， 则h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x由SPAB=SCAB得：3（-x2+3x）=3化简得：4x2-12x+9=0解得，x1=x2=，将x=
25、代入y1=-x2+2x+3中，解得P点坐标为（，）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出CD=2，再利用三角形的面积公式计算求解即可；（3）先求出 h=y1-y2=-x2+3x ，再求出 4x2-12x+9=0 ，最后求点的坐标即可。6【答案】（1）2 （2）4或 或 （3）解：将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x2联立并解得：x=1或2， 即：点R、S的坐标分别为（1，1）、（2，4），则RS3 ，则RS边上的高为： 3 = ，则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS与y轴交于点N，则N（0，2），过点N作NQTQ于点Q，则NQ= ，则NT= 3
26、，点T（0，5）， 则点Q所在的直线方程为：yx5，同理：当点Q所在的直线在直线RS的下方时，yx1，点Q所在的直线方程为：yx5或yx1；如图4，当点P介于点R与点S之间时，设与RS平行且与抛物线只有一个交点 p 的直线方程为：yxd，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2xd0，14d0，解得：d ，此时，x2x 0，解得：x ，点 p （ ， ），此时，P（ p ）Q取得最小值【解析】【解答】解：（1）设ACh，则BC2AC2h，由勾股定理得：h2（2h）2102，解得：h2 ，故答案为2 ；（2）当“半高”是底边上的高时，如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，由题意得：A
27、D2，BC4；当“半高”是腰上的高时，如下图，底边为BC、“半高”CD为腰上的高，如图2，当ABC为锐角三角形时，CD2，ABAC4，在RtADC中，AD= = ，在RtBCD中，BC= = ；如图3，当ABC为钝角三角形时，CD2，ABAC4，同理可得：BC= 故答案为：4或 或 ；【分析】（1）先求出h2（2h）2102，再求出h2 即可求解即可；（2）分类讨论，结合图形，利用勾股定理求解即可；（3）先求出 RS边上的高为： 3 = ， 再求出 点Q所在的直线方程为：yx5， 最后利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。7【答案】（1）解：过点B作BNx轴于N，如图2， AMB为等腰直角三
28、角形，ABM45，ABx轴，BMNABM45，MBN904545，BMNMBN，MNBN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线yx2，得nn2，n1，n0（舍去），B（1，1）MNBN1，MB ，MAMB ，在RtAMB中，AB 2，抛物线yx2的“完美三角形”的斜边AB2；相等（2）解：抛物线yax2与抛物线yax2+4的形状相同， 抛物线yax2与抛物线yax2+4的“完美三角形”全等，抛物线yax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，抛物线yax2的“完美三角形”斜边的长为4，B点坐标为（2，2）或（2，2），把点B代入yax2中， .故a 或 ；（3）解：ymx2+2x+n5的最大值为1，
29、 ，mn4m10，抛物线ymx2+2x+n5的“完美三角形”斜边长为n，抛物线ymx2的“完美三角形”斜边长为n，B点坐标为 ，代入抛物线ymx2，得 ，mn2或n0（不合题意舍去）， ， .故m ，n .【解析】【解答】解：（1）抛物线yx2+1与yx2的形状相同，抛物线yx2+1与yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；故答案为：相等；【分析】（1）过点B作BNx轴，垂足为N，根据AMB为等腰直角三角形和平行线的性质得BMNABM45，所以BMNMBN，得到MNBN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线yx2，得nn2，解方程求得n的值，则可得B的坐标，用勾股定理求出BM的长度； 在
30、RtAMB中，用勾股定理计算可求解；因为抛物线yx21与yx2的形状相同，所以抛物线yx21与yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系也相等；（2）根据抛物线yax2与抛物线yax24的形状相同，所以抛物线yax2与抛物线yax24的“完美三角形”全等，所以抛物线yax24的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线yax2的“完美三角形”斜边的长为4，故B点坐标为（2，2）或（2，2），把点B的坐标代入yax2中计算即可求解；（3）根据ymx22xn5的最大值为1可求得1，化简得mn4m10，根据抛物线ymx22xn5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线ymx2的“完美三角形”斜边长为n，所以
31、把B点坐标(n2，n2)代入抛物线ymx2，得关于mn的方程，解之可求解8【答案】（1）解：，根据旋转的性质可得：，把、分别代入解析，得，解得：，二次函数的解析式为，顶点坐标为；（2）解：设，直线l：过定点，抛物线的顶点坐标为，联立与可得，；证明：过点P作轴，垂足为G，分别过点M，N作的垂线，垂足分别为E、F，设，.M，N在二次函数图象上，.，由可知，即，无论k为何值，恒为直角三角形；【解析】【分析】（1）在直角三角形ABO中，用锐角三角函数tanABO=求得OA的值，于是可得点A的坐标；由旋转的性质得OC=OA，于是可得点C的坐标；用待定系数法可求得二次函数的解析式；配成顶点式可得二次函数的
32、顶点P的坐标； （2）由题意先将直线l用含k的代数式表示解析式，再将抛物线的解析式和直线l的解析式联立解方程组可求得k的值；过点P作轴，垂足为G，分别过点M，N作的垂线，垂足分别为E、F， 设M（x1，y1）N(x2，y2)，根据M、N都在抛物线上可将PE用含x1的代数式表示出来，则ME、PF、NF也可将PE用含x1的代数式表示出来，于是tanPME=，tanFPN=都可用含x1的代数式表示出来，由可知x1+x2=2-k，x1x2=-k，整理可得tanPME=tanFPN，即PME=FPN，结合直角三角形两锐角互余可得MPN=90，于是结论无论k为何值，恒为直角三角形成立.9【答案】（1）解：
33、A（0，3），B（-1，0），OA=3，OB=1， 根据旋转的性质得OC=OA=3，C（3，0）， 把A（0，3），B（-1，0），C（3，0），分别代入y=ax2+bx+c得， 解得，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，顶点P的坐标为（1，4）；（2）解：设， 直线：过定点，抛物线的顶点坐标为，联立得，；证明：过点作轴，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，设.，在二次函数图象上，.，由可知，即，无论为何值，恒为直角三角形；【解析】【解答】解：（2）恒为直角三角形， 外接圆圆心是线段的中点；设线段的中点，.的中点为，化简，得，抛物线的表达式
34、为. 【分析】（1）根据点A、B的坐标可得OA、OB的长，根据旋转的性质可得OC=OA，从而得出点C的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式可得点点P的坐标； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），易得定点Q为（1，3），则PQ=1，根据三角形面积公式得x2-x1=4，联立抛物线与直线的解析式得x2+（k-2）x-k=0，由根与系数的关系得x1+x2=2-k，x2x1=-k，再利用完全平方公式的恒等变形可得关于字母k的方程，求解即可； 过P作PGx轴于G，过M，N作PG的垂线，垂足分别为E、F， 设M（x1，y1），N（x2，y2），根据两点间的距离公式表示出PE
35、、ME、PF、NF，由正切函数的定义得tanPME=1-x1， ， 然后根据根与系数的关系及等角的同名三角函数值相等证明PME=FPN，据此即可证得结论；根据圆周角定理得RtPMN外接圆的圆心是线段MN的中点；根据中点坐标公式计算即可.10【答案】（1）解：过点 作 轴于 ， AMB为等腰直角三角形，ABM=45，ABx轴，BMN=ABM=45，MBN=90-45=45，BMN=MBN，MN=BN，设 点坐标为 ，代入抛物线 ，得 ， ， （舍去），MN=BN=1，在RtAMB中， 抛物线 的“完美三角形的斜边 ；相等（2）解：抛物线 与抛物线 的形状相同， 抛物线 与抛物线 的完美三角形”全
36、等，抛物线 的“完美三角形”斜边的长为4，抛物线 的“完美三角形”斜边的长为4， 点坐标为 或 ，（3）解： 的最大值为1， ， ，抛物线 的“完美三角形”斜边长为 ，抛物线 的“完美三角形”斜边长为 ， 点坐标为 ，代入抛物线 ，得 ，n0 ， ，【解析】【解答】（2）抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；故答案为：相等.【分析】（1）过点B作BNx轴于N，根据AMB为等腰直角三角形，ABx轴，所以BMNABM45，所以BMNMBN，得到MNBN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线yx2，得nn2，解得n1，n0（舍去）
37、，所以B（1，1），求出BM的长度，利用勾股定理，即可求解；因为抛物线yx21与yx2的形状相同，所以抛物线yx21与yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；（2）根据抛物线yax2与抛物线yax24的形状相同，所以抛物线yax2与抛物线yax24的“完美三角形”全等，所以抛物线yax24的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线yax2的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，2），把点B代入yax2中，得到a；（3）根据ymx22xn5的最大值为1，得到4mn-5-44m=-1，化简得mn4m10，抛物线ymx22xn5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y
38、mx2的“完美三角形”斜边长为n，所以B点坐标为(，)，代入抛物线ymx2，得()2m，mn2或n0（不合题意舍去），所以m，所以n11【答案】（1）解：如图，过 作 于 则 而 而 二次函数yx2+bx2的图象经过C点， 解得： 二次函数的解析式为： （2）解： 过P作 轴交 于 设直线 为 3m+n=1n=2， 解得： m=13n=2，所以直线 为： 设 则 整理得： 解得： 当 时， 当 时， 或 所以当点P运动至坐标为 或 时，恰好使PBC的面积等于ABC的面积的两倍（3）解：如图，作B关于 的对称点 连接 作 的角平分线 交 于 交抛物线于 由 则 平分 则 同理可得直线 的解析式为
39、： y=13x+13y=x22x2解得： x=5+1096y=110918 或 x=51096y=1+10918 （不合题意，舍去）如图，同理可得：当 平分 时，射线 与抛物线的交点 满足 同理： 直线 为： y=3x3y=x22x2解得： x=5+212y=9+3212 或 x=5212y=93212 （不合题意舍去）【解析】【分析】（1）首先构造全等三角形，求出点C的坐标，再将点C的坐标代入yx2+bx2，求出b的值即可；（2）过P作PH/y轴交BC于H，先求出直线BC的解析式，设则表示出PH，由三角形面积公式求出x的值，则可得出答案；（3）分两种情况：作B关于 的对称点 连接 作 的角平
40、分线 交 于 交抛物线于 先求出直线AH的解析式，再联立方程组y=13x+13y=x22x2，求出x、y的值即可得到点Q的坐标； 当 平分 时，射线 与抛物线的交点 满足 先求出直线AH的解析式，再联立方程组y=3x3y=x22x2，求出x、y的值，即可得到点Q的坐标。12【答案】（1）10（2）解：碗形的碗宽为4，即如图，过点C作轴，在等腰中，碗高是cm，则是等腰三角形设标准线的函数表达式为将点代入得，解得标准线的函数表达式为即（3）解：cm2如图，过点C作CPAB，连接BC，旋转CP为碗形ABC的碗高，等于碗形的碗高，根据（2）可得CP=2，DFAB，CPABFCP+PFC=PFC+ABA
41、FCPtanFCP=FPPC=12设在RtDCB中，BC=BC=22，DB=655DC=BC2DB2=8365=255FDDC【解析】【解答】解：（1）碗形ABC的碗宽是20cm，在中，设碗高是xcm，则故答案为：；(3) 如图，延长BA交y轴于点G，过点A分别作x、y轴的垂线段AH、AI，则四边形AIAH是矩形，GAH=ABA=AG=ABtanABA=ABtan=2，GH=12AH在RtAIB中，设AI=a，则AB=5aAB=AB=4，AI=455AH=AI=ABBI=4855GH=12AH=2455A(2455，455)SAAB=12ABAI=124455=855（平方厘米）根据旋转的性质可得碗形的面积和碗形ABC的面积相等，标准线、标准线ACB和线段AA围成的封闭图形的面积=S碗形ABC+SAABS碗形ABC=SAAB（平方厘米）故答案为：（平方厘米）.【分析】（1）
