1、 - 1 - 2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测 高三文科数学试题 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.是虚数单位，复数 在复平面内对应的点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 C 【解析】由题意结合复数的运算法则有： ， 则该复数在复平面内对应的点 位于第三象限 . 本题选择 C选项 . 2. 若全集 ，集合 ， ，则 为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】求解二次不等式 可得： 或 ， 则 ，结合交集的定义有： . 本题选
2、择 B选项 . 3. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】 B 【解析】阅读茎叶图可知乙组的平均数为： ， 结合题意可知：甲组的平均数为 33，即 ， - 2 - 则甲组数据的平均数为： . 本题选择 B选项 . 4. 已知圆 与抛物线 的准线相切，则的值为 ( ) A. 0 B. 2 C. 0或 1 D. 0或 2 【答案】 D 【解析】 的准线方程为 的圆心 到 的距离为 圆相切 ， 或 ，故选 D. 5. 设 ，其中变量 满足 ，若的最大值为 6，则的最小值为 ( ) A. B. C.
3、 1 D. 2 【答案】 A 【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域 ,由 ,得 ,平移直线 ,由图象可知当直线 经过点 时 ,直线 的截距最大 ,此时最大为 .即,经过点 时 , 直线 的截距最小 ,此时最小 .由 ,得 ,即,因为直线 过 , .由 ,解得 ,即 .此 时最小值为,故选 A. 考点： 1、可行域的画法； 2、最优解的求法 . 6. 如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，底面三角形 是正三角形，是 中点，则下列叙述正确的是 ( ) - 3 - A. 与 是异面直线 B. 平面 C. 平面 D. 与 为异面直线，且 【答案】 D 【解析】 与 均在平面 内，两直线不是异面直线，说
4、法 A错误； 底面三角形 是正三角形，则 ABC是正三角形， CAB=60 ，据此可知 平面不成立，说法 B误； ，而 平面 不成立，据此可知 平面 不成立，说法 C 错误； ABC是 正三角形，则 AE BC，又 AE CC1，据此可得 平面 ，则 与 为异面直线，且 ，说法 D 正确； 本题选择 D选项 . 7. 九章算术是中国古代的数学专著，是 “ 算经十书 ” 中最重要的一种。在其第七章中有如下问题： “ 今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？ ” 意思是植物蒲发芽的第一天长高三尺，植物莞发芽的第一天长高一尺。蒲从第二天开始每天生长速度是前一天
5、的一半，莞从第二天开始每天生长速度为前一天的两倍。问这两种植物在何时高度相同？ 在此问题中，蒲和莞高度相同的时刻在 ( ) A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天 【答案】 B 【解析】由题意可得： - 4 - 蒲发芽的第一天长高 3 尺，第二天长高 尺，第三天长高 尺； 莞发芽的第一天长高 1 尺，第二天长高 尺，第三天长高 尺； 综上可得：蒲和莞高度相同的时刻在第三天 . 本题选择 B选项 . 8. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 ( ) A. 115 B. 116 C. 357 D. 358 【答案】 D 【解析】结合题意，程序运行如下： 首先初始化 ， 第
6、一次循环， ， 此时不满足 ，执行 ； 第二次循环， ，此时不满足 ，执行 ； 第三次循环， ，此时不满足 ，执行 ； 第四次循环， ，此时不满足 ，执行 ； 第五次循环， ，此时满足 ，跳出循环，输出 . 本题选择 D选项 . 点睛： 此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加 (乘 )变量，掌握循环体等关键环节 9. 函数 的图象大致是 ( ) A. B. C. D. - 5 - 【答案】 A 【解析】函 数有意义，则： ， 由函数的解析式可得： ，则选项 BD错误； 且 ，则选项 C错
7、误； 本题选择 A选项 . 10. 已知函数 ，则 ( ) A. 44 B. 45 C. 1009 D. 2018 【答案】 A 【解析】原问题等价于求解： 中有理数的个数， 结合 可得：有理数的个数为 个， 即： . 本题选择 A选项 . 11. 在 中， ，若 ，则 周长的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意可得： ， 则： ，即： . 据此可得 ABC是以点 C为直角顶点的直角三角形，则：， 据此有： ， ABC的周长： ， 三角形满足两边之和大于第三边，则： ， - 6 - 综上可得： 周长的取值范围是 . 本题选择 C选项 . 12. 已知椭圆 与
8、双曲线 有相同的焦点，若点 是 与 在第一象限内的交点，且 ，设 与 的离心率分别为 ，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】设 ，令 ，由题意可得： ， 据此可得： ，则： ， 则： ， 由 可得： ， 结合二次函数的性质可得： ， 则： ，即 的取值范围是 . 本题选择 D选项 . 点睛： 圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率 (或离心率的取值范围 )，常见有两种方法： 求出 a， c，代入公式 ； 只需要根据一个条件得到关于 a， b， c的齐次式，然后等式 (不等式 )两边分别除以 a或 a2转化为关于 e的方程 (不等式 )
9、，解方程 (不等式 )即可得 e(e的取值范围 ) 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量 ， ，且 ，则 _. 【答案】 - 7 - 【解析】由向量平行的充要条件有： ，则： ， 则： . 14. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 ，则的单调递减区间为 _. 【答案】 【解析】函数的解析式： ， 则： ， 据此可得，函数 的单调递减区间满足： ， 计算可得，函数的单调递减区间为 . 15. 数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的前 项和为 _. 【答案】 【解析】当 时， ， 由题意可得： ， 两式作差可得： 据此可得，数列 是首项为 ，公
10、比为 的等比数列， 则 ，错位相减可得其前 n项和 ， 分组求和可得数列 的前 项和为 . 点睛： 数列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和 (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和 (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和 16. 已知四棱椎 中，底面 是边长为 2的菱形，且 ，则四棱锥 体积的最大值为 _. 【答案】 - 8 - 【解析】四棱锥的体积最大，则使得底面积和高均取得最大值即可， 底面积最大时， ABCD为正方形，此时底面积 ， 高有最大值，首先要保证平面 平面 ， 由 可知，点 在平面内的轨迹是以 中点为圆
11、心 ， 长度为直径的圆， 则高的最大值为： ， 综上可得：体积的最大值为： . 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，内角 所对的边是 ， ， ， . (1)求 的值； (2)求 边上的高 . 【答案】 (1) ； (2) . 【解析】试题分析： (1)由 ，结合同角三角函数基本关系可得可得 . (2)由 (1)知 ，结合数量积的定义可得 ，又 ，故 ， ，由余弦定理可得 ，利用面积相等可得 边上的高为 . 试题解析： (1)在 中，由 ，可得 . (2)由 (1)知 ， 由 ， ，又 ， 解得： ， ， 由 ，可得 ， ，
12、 设 边上的高为 ，则 ， 所以 边上的高为 . 18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是平行四边形， ， 是 上的动点 . - 9 - (1)求证：平面 平面 ； (2)求四棱锥 的侧面积 . 【答案】 (1)证明见解析； (2) . 【解析】试题分析： (1)由题意可知四边形 是菱形， ，由线面垂直的性质可得 ，故 平面 ，结合面面垂直的判断定理可得平面 平面 . (2)过 作 交 于 ，连接 ，由几何关系可得 ，且有 ，而 ，结合图形的对称性可得四棱锥的侧面积为 . 试题解析： (1)在平行四边形 中， ， 四边形 是菱形， ， 平面 ， 平面 ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面
13、平面 . (2) 平面 ，过 作 交 于 ，连接 ， - 10 - ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， ， ， ， 又 ， ， 四棱锥 的侧面积为 . 19. 某中学为了解高一学生的视力健康状况，在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表，按照中国学生体质健康监测工作手册的方法对 1039名学生 进行了视力检测，判断标准为：双眼裸眼视力 为视力正常， 为视力低下，其中 为轻度，为中度， 为重度 .统计检测结果后得到如图所示的柱状图 . (1)求该校高一年级轻度近视患病率； (2)根据保护视力的需要，需通知检查结果为 “ 重度近视 ” 学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊，并开展相应的矫治，则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人？ (3)若某班级 6名学生中有 2人为视力正常，则从这 6名学生中任选 2人，恰有 1人视力正常的概率是多少？ 【答案】 (1) ； (2)135 人； (3) . 【解析】试题分析： (1)由柱状图计算可得该校高一年级学生轻度近视患病率为 .
