1、计算机图形学第五章第五章 三维空间的观察三维空间的观察综 述三维空间的观察比二维的复杂其概念模型如下三维空间的观察比二维的复杂其概念模型如下:本章的学习目的是讨论投影的数学表示和三维本章的学习目的是讨论投影的数学表示和三维观察中的投影观察中的投影,视见体到规范视见体的变换，用三视见体到规范视见体的变换，用三维规范体裁剪维规范体裁剪.22009-2010-2:CG:SCUEC本章内容v投影变换投影变换v视见体到规范视见体的变换视见体到规范视见体的变换v用三维规范体裁剪用三维规范体裁剪v窗口到视口的变换窗口到视口的变换32009-2010-2:CG:SCUEC投影变换的概念投影变换的概念v什么是投
2、影变换什么是投影变换 将三维图形变换成二维图形的过程，称为图形的投影将三维图形变换成二维图形的过程，称为图形的投影变换。变换。投影变换即用投影的方法降低三维图形的维数。投影变换即用投影的方法降低三维图形的维数。一般地，投影是指将一般地，投影是指将 n 维的点变换成小于维的点变换成小于 n 维的点。维的点。v为什么要做投影变换？为什么要做投影变换？因为三维图形无法用二维的显示器和绘图仪表示出来因为三维图形无法用二维的显示器和绘图仪表示出来v投影变换的要素投影变换的要素 视点（或投影中心），投影平面，投影线视点（或投影中心），投影平面，投影线42009-2010-2:CG:SCUEC视点视点：三维
3、空间中任意选择的一个点，亦称为投影中心投影平面投影平面：不经过视点的任意一个平面投影线投影线：从视点向投影平面的引出的任意一条射线透视投影VXYU窗口投影平面视点XYZ近平面远平面投影线投影变换的概念投影变换的概念52009-2010-2:CG:SCUEC平面几何投影透视投影平行投影一点透视投影二点透视投影三点透视投影投影变换的类型投影变换的类型正平行投影正投影正轴测投影 斜平行投影斜等测斜二测正等测正二测正三测 透视投影平行投影视点和投影平面之间的距离是无限的，即视点在无穷远处视点和投影平面之间的距离是有限的62009-2010-2:CG:SCUEC透视投影在坐标系设视点为 oxyz0z中来
4、讨论投影，假定投影平面是),(ccczyxC),(zyxQ0z)0 ,(ppyxP，Q，PCzxo，Q，PC，空间中任一点 在平面上的投影为。设 在平面上的正投影分别为则zzxxzxxccccp,72009-2010-2:CG:SCUEC透视投影的计算公式11000000zyxzyzxzqyxcccccqq整理后便有同理可得这两式便是透视投影的计算公式。把空间任一点zzzxxxxccccp)(zzzyyyyccccp)(的坐标代入上二式便可求出在平面上的投影点),(zyx0z)y ,(ppxp（*）（*）qyyqxxqpqp ,82009-2010-2:CG:SCUEC平行投影平行投影可以看成
5、投影中心移向无穷远时的极限情况。设给定的投影方向为（）。在要投影的对象附近任取一点（），以此点为起点作一射线，其指向是投影方向的反方向，此射线的参数方程为把上式中的 代入式（*）和式（*）中的，得到投影方向为（）的平行投影。dddzyx ,ssszyx ,t0 ,tzzztyyytxxxdscdscdscztzztxxzzxxzzzxzxxxdsdsccp)()(dddzyx ,ccczyx ,92009-2010-2:CG:SCUEC平行投影公式令t，得极限:同样可得（*）zzxxxddpzzyyyddp（*）式(*)和式(*)便是平行投影的计算公式。对空间任一点 ,由式(*)和式(*)则可
6、算出它在平面上的投影点。),(zyx0zppyx ,102009-2010-2:CG:SCUEC正投影之三视图1.三视图分为正视图、侧视图 和俯视图.2.对应的投影平面分别与x轴，y 轴，z轴垂直。三视图常用于工程制图，因为在其上可以测量距离和角度。但一个方向上的视图只反映物体的一个侧面，只有将三个方向上的视图结合起来，才能综合出物体的空间结构和形状。当投影面与某个坐标轴垂直时，得到的空间物体的投影为正投影（三视图）三视图112009-2010-2:CG:SCUECXYZOVWHXZOZXOnl正投影之三视图OXYOYZ122009-2010-2:CG:SCUEC1.1.正面投影变换矩阵正面投
7、影变换矩阵T TV V2.2.水平投影变换矩阵水平投影变换矩阵T TH HX、Z坐标值不变Y01000010000000001TV1)X、Y坐标值不变、Z02)再将得到的投影绕X轴旋转90，3)然后沿Z轴方向平移一段的距离。TH10000000001000011000001001000001100001000010001n100000000100001n正投影之三视图132009-2010-2:CG:SCUEC3.侧面投影变换矩阵侧面投影变换矩阵TW将空间几何元素向YOZ平面(即W面)作垂直投影，x=0再将得到的投影绕Z轴旋转90，然后沿X轴方向平移一段的距离TW100001000010000
8、01000010000010010100010000100001l100010000010000l正投影之三视图142009-2010-2:CG:SCUEC正轴侧投影的产生过程可分成三步：1)将空间几何元素先绕Z轴旋转角;2)再绕X轴旋转角-(0);3)最后向V面作正投影.T1000010000cossin00sincos10000cossin00sincos00001100001000000000110000cos000sincos0sin0sinsin0cosXYZOPXZYOS正投影之正轴侧投影152009-2010-2:CG:SCUEC轴向变形系数v 所谓轴向变形系数就是空间坐标轴上的
9、单位长度与它在投影平面上的投影长度之比。设在坐标轴x,y,z上各取一个单位长度的点，它们的齐次坐标分别为：i(1,0,0,1),j(0,1,0,1),k(0,0,1,1)将它们进行正轴测投影变换变换，变换后各点坐标为:*2*222222|*|cossinsin1|iixzOipOi*:(*,*,*,1)(0,1,0,1)(sin,0,cossin,1)jjjjxyzT*:(*,*,*,1)(0,0,1,1)(0,0,cos,1)kkkkxyzT设坐标轴x,y,z的三个轴向变形系数分别为p,q,r,则有：*:(*,*,*,1)(1,0,0,1)(cos,0,sinsin,1)iiiixyzT*2
10、*222222|*|sincossin1|jjxzOjqOj*22|*|cos1|kzOkrOk 162009-2010-2:CG:SCUEC正等测投影变换v 正等测投影变换就是投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等。因此沿三个坐标轴x,y,z方向的三个轴向变形系数应该相等，即p=q=r。于是可得：2222cossinsincos2222sincossincos 求解容易得到：2263cos,sin,cos,sin2233 于是得到：620026620026600030001正等172009-2010-2:CG:SCUEC正二测投影变换v 正二测投影变换就是投影面与某两个坐标轴之间的夹角相等。如果
11、令p=r2q。于是可得：2222cossinsincos22221sincossincos4 解上述方程可得：20 7,19.47oo.于是得到：0.935400.117800.353500.31170000.942800001正二182009-2010-2:CG:SCUEC透视灭点v 灭点灭点：一组不平行于投影平面的平行线，经过透视投影后相交于一点，该点称为灭点。v 在三维空间中，平行线只在无穷远点相交，因而灭点可看做三维空间的无穷远点在投影平面上的投影点。v 主灭点：如果这组平行线平行于坐标轴，这时的灭点称为主灭点。至多存在三个这样的主灭点，分别对应于投影平面切割的坐标轴的数目。v 透视投
12、影按主灭点的个数分为一点透视、二点透视和三点透视。灭点视点灭点灭点灭点灭点灭点视点视点192009-2010-2:CG:SCUEC图B 两点透视图C 三点透视图A 一点透视1）在图A中，投影平面是 ，其法线方向是（0，0，1），长方体的棱和坐标轴平行，投影平面切割 轴，此时无论如何选择视点的位置，只能产生一个灭点。因为此时平行于 轴和 轴的直线也平行于投影平面，不产生灭点。2）当投影平面的法线方向是（1，0，1）时，投影平面切割 和 轴，则可得到两点透视（如图B）.3）当投影平面的法线方向是（1，1，1）时，投影平面切割 、和 轴，可得到三点透视（如图C）.0zzxzyxxyz透视灭点2020
13、09-2010-2:CG:SCUEC为了给出一个投影平面,我们需要给定一个参考点R(xr,yr,zr)，投影平面的法线方向N(xn,yn,zn)，和一个常数 d。过点R沿N方向作射线，在射线上取 点使该点与R点距离为d，则投影平面为过 点并且和N垂直的一个平面。调整R和N可以方便的改变投影平面的位置和方向。在坐标系oxyz中来讨论投影平面是任意平面的问题。投影平面的指定确定新坐标系：确定新坐标系：oo1.过 点沿N方向的射线定义为 轴。2.给定向量U(xu,yu,zu)，此向量在投影平面上的垂直投影所指的方向即为 轴的方向。3.轴为与 轴和 轴正交的射线。ozoyoyozoox投影平面是任意平
14、面的问题212009-2010-2:CG:SCUEC坐标变换公式oxoyozo设是点 在坐标系oxyz中的坐标，和 轴的单位方向向量为 、和 ，那么从坐标系oxyz到 的变换是如何计算 、和?),(ooozyx),(131211aaa),(232221aaa),(333231aaazyxo000333231232221131211zzyyxxaaaaaaaaazyx),(ooozyx),(131211aaa),(232221aaa),(333231aaa（%）222009-2010-2:CG:SCUEC222022202220nnnnrnnnnrnnnnrzyxzdzzzyxydyyzyxxd
15、xxzo求解 轴单位向量，和N方向一致，故有222333231),(),(nnnnnnzyxzyxaaaki,j和k分别为 ,轴的单位方向向量计算x0,y0,z0和 aij(i,j=1,2,3)的方法xoyozo232009-2010-2:CG:SCUEC 轴和向量UN方向一致如右图，设123uuunnnxyzxyzbbbxyzU UN Nx xy yz zxo232221321131211),(),(bbbbbbaaai 轴的单位方向向量应是 和 轴的单位向量的向量积，因此yoxozo),(),(321131123113331133123213232221aaaaaaaaaaaaaaaj其中
16、x,y和z分别为ox,oy,oz轴的单位方向向量，则计算x0,y0,z0和 aij(i,j=1,2,3)的方法N、U与NN的关系242009-2010-2:CG:SCUEC把式（%）转换成齐次形式代入式（&）得111213142122232431323334000000100011qccqcccaaaaxxzxaaaayyzyaaaazqz 3 ,2 ,1 ),(0302014izayaxaaiiii其中1131123213331434213122322333243431323334 1cccccccccccccccccxz ax az ax az ax az ax ayz ay az ay
17、az ay az ay azaaaza v坐标变换公式 坐标系oxyz中任一点(x,y,z)，可求得它在投影平面上的投影点 。),(ppyx ,qyyqxxqpqp252009-2010-2:CG:SCUEC投影平面为任意平面的平行投影1131123213331434213122322333243410001ddddddddddddddddxxxxaaaaaaaazzzzxyyyyyaaaaaaaazzzzz 11121314212223243132333410001000011000dqdqddxaaaaxxzaaaayyyaaaazzq ,qyyqxxqpqp262009-2010-2:C
18、G:SCUEC视见体到规范视见体的变换 要进行三维观察,必须在世界坐标系中给定一个视见体,其视见体如图5.11和5.12所示:272009-2010-2:CG:SCUEC投影方程v平行投影时,视见体是由以下平面方程构成的长方体如图5.13(a)所示 v透视投影时,视见体是由以下平面方程构成的棱台如图5.13(b)所示 282009-2010-2:CG:SCUEC平行投影视见体的规范化 假设图5.11中 在坐标系 中的坐标为 ,则转换步骤和图示如下:292009-2010-2:CG:SCUECStep 2:经过对平行六面体作方向切变,使它成为一个长方体,由图5.14可得切变矩阵S2Step 1:
19、把点P1移到坐标原点,其变换矩阵为S1平行投影视见体的规范化302009-2010-2:CG:SCUECStep 3:把Step的长方体变为规范长方体,变换矩阵为s3;Step 4:分别沿 和 轴的负方向平移一个单位的变换矩阵为s4.因此由任意平行六面体视见体到规范化长方体视见体的变换为:平行投影视见体的规范化312009-2010-2:CG:SCUEC透视投影视见体的规范化 和平行投影的变换相似,通过四步变换可把图5.12中的棱台变成图5.13(b)中的棱台.322009-2010-2:CG:SCUECStep 1:把视点()移至坐标原点,其变换矩阵为T1Step 2:分别做沿 和 方向的切
20、变,把Step1得到的棱台变成正棱台,由图5.15可知这个变换应为T2透视投影视见体的规范化332009-2010-2:CG:SCUECStep 3:进行单位化,变换矩阵为T3因此由棱台视见体到规范化棱台视见体的变换为透视投影视见体的规范化342009-2010-2:CG:SCUEC用三维规范体裁剪将Sutherland-Cohen算法推广到三维,对于空间一点 可以得到区域码从右到左对应的二进制位bit1=1,如果:bit2=1,如果:bit3=1,如果:bit4=1,如果:bit5=1,如果:Bit6=1,如果:352009-2010-2:CG:SCUEC例子:空间直线的裁剪 1）设线段的两
21、个端点为 和 ,它的参数方程为:2)当视见体为棱台时把5.11代入 ,如图5.17所示,线段和平面 的交点Q对应的参数值t为362009-2010-2:CG:SCUEC窗口到视口的变换 窗口由点(WL，WB)和（WR，WT)决定。窗口中的图形应该成比例地变到视口。点(xp,yp)和(xv,yv)应满足下列关系是pvxWLxVLWRWLVRVLpvyWByVBWTWBVTVB372009-2010-2:CG:SCUECqyxDCBAqyxqqvvqvq10000qyyqxxwqwq ,齐次坐标形式为 其中整理得xv=Axp+Byv=Cyp+D,VRVLABVLA WLWRWL,VTVBCDVBC
22、 WBWTWB其中(5.12)窗口到视口的变换382009-2010-2:CG:SCUEC5.5 连续变换的处理TvvqvqTssqsqqyxqyx),(),(4T T(5.13)TTzyxzyx)1,()1,(1T TT2是一个34的矩阵,投影变换是TTqqzyxqyx)1,(),(2 T T(5.14)T3是33矩阵，窗口至视区的变换是TqqTvvqvqqyxqyx),(),(3T T设在世界坐标系中的变换合并成一个44矩阵T1，变换为(5.15)到物理设备坐标的变换式为(5.16)TTTssqsqzyxzyxqyx)1,()1,(),(1234T TT TT TT TT T（5.13）式至（）式至（5.16）式合并起来）式合并起来其中T=T4T3T2T1是一个34矩阵。392009-2010-2:CG:SCUEC投影到屏幕上坐标的计算在对图形变换以前，先要算出T，输出每一个图形元素时，只要作一次矩阵向量乘法式(5.17)，就得点在屏幕坐标系中的坐标.如果不需要作投影变换，例如显示对象本身是二维的，或是平行投影，那么式(5.18)可直接写成ssqsssqsqyyqxx,sqssqsyyxx,TTTssqsqzyxzyxqyx)1,()1,(),(1234T TT TT TT TT T(5.17)(5.18)402009-2010-2:CG:SCUEC计算机图形学结结 束束
