1、我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念.这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,特征向量 是非零向量.显然，零向量对任意的0 都满足 A =0，因此这不具有“特征”意义.在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A 的特征值与特征向量的几何意义是：例如：在 R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转 角的旋转变换 S，当
2、 0 时，对任意非零向量 R2，S()与 都不共线(图 7-8所示)S()O此时，S 没有实特征值；当 =时，R2 中任何非零向量 都与 S()共线，且S()=-(图 7-9所示)，S 的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向量.O1S(1)2S(2)所以，-1 是如果 是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征向量，那么 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属于 0 的特征向量.因为从 A =0 可以推出A(k)=0(k).这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一个特征值.设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1,2,n 是它的
3、一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵是 A.又设 0 是 A 的特征值，是 A 的属于0 的一个特征向量，在基 1,2,n 下的坐标是x01,x02,x0n.则 A 的坐标是.00201nxxxA0 的坐标是.002010nxxx因此 A =0 相当于坐标之间的等式.00201000201nnxxxxxxA上式可进一步变形成.0)(002010nxxxAE这说明特征向量 的坐标(x01,x02,x0n)满足齐次方程组(0E-A)X=0.由于 0，所以它的坐标 x01,x02,x0n 不全为零，即齐次方程组(0E-A)X=0 有非零解.我们知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行
4、列式等于零，即.0|02122220211121100nnnnnaaaaaaaaaAE我们引入以下定义.nnnnnaaaaaaaaaAE2122222111211|上面的分析说明，这时，如果(x01,x02,x0n)是方程组(0E-A)X=0 的一个非零解，那么非零向量=x011+x022+x0nn 满足 A =0，即 0 是线性变换 A 的一个特征值线性变换 A 的特征值与特征向量的步骤如下：计算 A 的特征多项式，并求出特征方程在数域 P 中的所有根.的特征值 1,2,s，它们也就是线性变换 A 就是属于特征值 0 的一个特征向量.于是可得求在线性空间 V 中取一组基1,2,n，写出 A
5、在这组基下的矩阵 A；设矩阵 A 有 s 个不同的全部特征值.特征向量在基 1,2,n 下的坐标.对 A 的每个特征值 i(i=1,2,s),求解齐次线性方程组 (i E-A)X=0，该方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为 A 的特征值，而相应的线性方程组(i E-A)X=0 的解也就称为 A 的属于这个特征值的特征向量.在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任意一组基下的矩阵都是 kE，它的特征多项式是|E-kE|=(-k)n .因此，数乘变换 K 的特征值只有 k.由定义可知,每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量.设线性变换 A 在基
6、1,2,3下的矩阵是,122212221A求 A 的特征值与特征向量.122212221AEA 的特征多项式为.)5()1(2所以，A 的特征值为,15321,0)5(XAE当51时,解方程组,0422242224321xxx即解之得基础解系为,)1,1,1(T所以属于51的一个线性无关的特征向量就是,0422242224321xxx 1=1+2+3，全部特征向量就是.)(111Pkk,0)(XAE当132时,解方程组,0222222222321xxx即,0222222222321xxx解之得基础解系为,)1,1,0(,)0,1,1(TT).,(323322Pkkkk132所以属于的一个线性无
7、关的特征向量就是全部特征向量就是,323212 在空间 Pxn 中，线性变换D f(x)=f(x)在基)!1(,!2,112nxxxn下的矩阵是0000100001000010DD 的特征多项式是.0001000010001|nDE因此，D 的特征值只有 0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，第一节中旋转 S 在直角坐标系下的矩阵为.cossinsincos它的特征多项式为.1cos2cossinsincos2当 k 时，这个多项式没有实根，因而，当
8、k 时，S 没有特征值.容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值0，全部适合条件A =0的向量 所成的集合，部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一个子空间，.0V显然，0V的维数就是属于 0 的线性无关的特征向的最大个数.也就是 A 的属于 0 的全称为 A 的一个，记为 由行列式的定义可知,矩阵 A 的特征多 6 项式nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211因而,A 的特征多项式中,n 与 n-1 的系数由该项中,有一项是主对角线上 n 个元素的乘积(-a11)(-a22)(-ann)而其他各项至多含有主对角线上的 n-2 个元素.|E -A|=n -(a11+a
9、22+ann)n-1 +(-1)n|A|.确定.不难看出,n 的系数为 1,n-1 的系数为-(a11+a22+ann).另外,在特征多项式中令 =0 可得其常数项为|A|.故称niiia1为矩阵 A 的,记作 trA.由于 1,2,n 是 A 的 n 个特征值,所以|E-A|=(-1)(-2)(-n).比较上述两式可得特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，因此，对于相似矩阵我们有以下定理 设 A B，即有可逆矩阵 X，使B=X-1AX.于是|E-B|
10、=|E-X-1AX|=|X-1(E-A)X|=|X-1|E-A|X|=|E-A|.定理 7 正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到因此，以后就可以说线性变换的行列式了.应该指出，定理 7 的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如.1011,1001BA它们的特征多项式都是(-1)2，但 A 和 B不相似,因为和 A 相似的矩阵只能是 A 本身.设 B()是 E-A 的伴随矩阵，
11、由行列式的性质，有B()(E-A)=|E-A|E=f()E.因为矩阵 B()的元素是|E-A|的各个代数余子式，都是 的多项式，其次数不超过 n-1.因此由矩阵的运算性质，B()可以写成B()=n-1B0+n-2B1+Bn-1.其中 B0,B1,Bn-1都是 n n 数字矩阵.再设 f()=n+a1n-1+an-1+an，则 f()E=nE+a1n-1E+an-1E+an E.而B()(E-A)=(n-1B0+n-2B1+Bn-1)(E-A)=nB0+n-1(B1-B0A)+n-2(B2-B1A)+(Bn-1-Bn-2 A)-Bn-1A.比较上述两式，得.,11212121010EaABEaABBEaABBEaABBEBnnnnn以 An,An-1,A,E 依次从右边乘上式中的第一式,第二式,第 n 式,第 n+1 式，得.,1112212222112211110110EaABAaEAaABABAaEAaABABAaEAaABABAEAABnnnnnnnnnnnnnnnnn把上式中的 n+1 个式子一起加起来，左边变成零右边即为 f(A),故 f(A)=O.因为线性变换和矩阵的对应是保持运算的，所以由这定理得
