1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题(重 点) 2学会用向量方法解决实际问题的基本方法(难点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 平面几何中的向量方法 阅读教材 P109P110例 2 以上内容，完成下列问题 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向
2、量的联系，用_表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为_问题； (2)通过_运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把_“翻译”成几何关系 向量 向量 向量 运算结果 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)若ABC 是直角三角形，则有AB BC 0.( ) (2)若AB CD ，则直线 AB 与 CD 平行( ) 【解析】 (1)错误因为ABC 为直角三角形，B 并不一定是直角，有 可能是A 或C 为直角 (2)错误向量AB CD 时，直线 ABCD 或 AB 与 CD 重合 【答案】 (1) (2) 上一页上一页返回首页
3、返回首页下一页下一页 教材整理 2 向量在物理中的应用 阅读教材 P111例 3 至 P112例 4 以上内容，完成下列问题 1物理问题中常见的向量有_等 2向量的加减法运算体现在_ 3动量 mv 是向量的_运算 4功是_与_的数量积 力，速度，加速度，位移 力，速度，加速度，位移的合成与分解 数乘 力F 所产生的位移s 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知力 F(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2，0)移动到 B(2，3)，则 F 对物体所做的功为_焦耳 【解析】 由已知位移AB (4，3)，力 F 做的功为 WF AB 2( 4)331. 【答案】 1 上一页上一页返回首页
4、返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 向量在平面几何中的应用 如图 251，在正三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的一 个三等分点，且 AE、CD 交于点 P，求证：BPDC 图 251 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积 【自主解答】 设PD CD ，并设正三角形 ABC 的边长为 a，则有：CD 2 3BA BC ， PA PD DA C
5、D 1 3BA 2 3BA BC 1 3BA 1 3(21)BA BC . 又EA BA 1 3BC ，PA EA ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1 3(21)BA BC kBA 1 3kBC ， 于是有 1 3（21）k， 1 3k， 解得 1 7， k3 7， PD 1 7CD ，BP BD DP 1 7BC 4 7BA ， 从而BP CD 1 7BC 4 7BA 2 3BA BC 8 21a 21 7a 210 21a 2cos 600. 由向量垂直的条件知，BPDC 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积
6、为 零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的 数量积运算式使问题获解， 如本题便是将向量BP ， CD 由基底BA ， BC 线性表示 当 然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1 如图 252 所示， 若 D 是ABC 内的一点， 且 AB2AC2DB2DC2， 求证：ADBC 【导学号：00680060】 图 252 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【证明】 设AB a，AC b，AD e，DB c，DC d，则 aec，bed， a2b2(ec)2(ed)2 c22e
7、c2e dd2. 由已知 a2b2c2d2， c22e c2e dd2c2d2，即 e (cd)0. BC BD DC dc， AD BC e (dc)0， AD BC ，即 ADBC 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量在解析几何中的应用 过点 A(2，1)，求： (1)与向量 a(3，1)平行的直线方程； (2)与向量 b(1，2)垂直的直线方程 【精彩点拨】 在直线上任取一点 P(x，y)，则AP (x2，y1)，由AP a 可以得(1)，由AP b 可以得(2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 设所求直线上任意一点 P(x，y)， A(2，1)，AP
8、(x2，y1) (1)由题意知AP a，(x2)13(y1)0， 即 x3y50， 所求直线方程为 x3y50. (2)由题意，知AP b， (x2)(1)(y1)20， 即 x2y40， 所求直线方程为 x2y40. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1本题求解的关键是在所求直线上任取一点 P(x，y)，从而得到向量AP 的 坐标 2用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量 用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原 为解析几何问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2 已知点 A(1， 0)， 直线 l： y2x6，
9、 点 R 是直线 l 上的一点， 若RA 2AP ， 求点 P 的轨迹方程 【解】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则RA (1，0)(x0，y0)(1x0，y0)， AP (x，y)(1，0)(x1，y) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 由RA 2AP ，得 1x02（x1）， y02y， 又点 R 在直线 l：y2x6 上，y02x06， 1x02x2， 62x02y， 由得 x032x，代入得 62(32x)2y，整理得 y2x，即为点 P 的 轨迹方程 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量在物理中的应用 (1)一个质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位
10、：牛顿)的作用 而处于平衡状态，已知 F1，F2成 60角且|F1|2，|F2|4，则|F3|( ) A6 B2 C2 3 D2 7 (2)某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而 当速度为每小时 2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向 【精彩点拨】 (1)可利用 F1F2F30 分离 F3得 F3F1F2，平方 可求|F3|. (2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以 F1F2F30，所以 F3 (F1F2)，所以|F3|F1F2| （F1F2）
11、2 |F1|2|F2|22F1F2 4162241 22 7. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 D (2)设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到 风速为a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为 va，设OA a，OB 2a，PO v，因为PO OA PA ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 所以PA va，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为PO OB PB ，所以PB v2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB . 由题意：PBO45，PABO，BAAO，从而，POB 为等腰直角三 角
12、形，所以 POPB 2a，即|v| 2a，所以实际风速是每小时 2a 千米的西 北风 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量在物理中的应用： (1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和 的平行四边形法则求解 (2)用向量方法解决物理问题的步骤： 把物理问题中的相关量用向量表示； 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； 结果还原为物理问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3在静水中划船速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一小船从岸边 O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的 行进方向应指向哪里
13、？ 【解】 如图所示， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设向量OA 的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB 的长度和方 向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA ，OB 为邻边作平行四边形 OACB， 连接 OC 依题意 OCOA，BCOA20，OB40， BOC30. 故船应向上游(左)与河岸夹角为 60的方向行进 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 向量的数量积在物理中的应用 探究 1 向量的数量积与功有什么联系？ 【提示】 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移 距离的乘积，它的实质是向量的数量积 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一
14、页 探究 2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？ 【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： 问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量 为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问 题，即把所得的数学结论回归到物理问题中 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 两个力 F1ij， F24i5j 作用于同一质点， 使该质点从点 A(20， 15)移动到点 B(7，0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量) 求(1)F1，F2分别对该质点做的功； (2)F1，F2的合力 F 对该质点做的功 【精彩点拨】 向
15、量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问 题转化为求向量的数量积的问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 AB (720)i(015)j13i15j. (1)F1做的功 W1F1sF1AB (ij) (13i15j)28 J. F2做的功 W2F2sF2AB (4i5j) (13i15j)23 J. (2)FF1F25i4j， 所以 F 做的功 WF sF AB (5i4j) (13i15j)5 J. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用 向量法求解 2 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，
16、那么力F所做的功W|F|s|cos ，其中 是 F 与 s 的夹角由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力 与位移的数量积 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 4如图 253 所示，已知力 F 与水平方向的夹角为 30(斜向上)，大小 为 50 N， 一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 0.02 的水平面 上运动了 20 m，则力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？(|g|10 m/s2) 图 253 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 设木块的位移为 s，则： WF s|F| |s|cos 305020 3 2 500 3(J) 因为
17、 F 在竖直方向上的分力的大小为 |F1|F| sin 30501 225(N)， 所以物体所受的支持力的大小为 |FN|mg|F1|8102555(N) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 所以摩擦力的大小为 |f|FN|0.02551.1(N) 又 f 与 s 反向， 所以 f s|f| |s|cos 180 1.120(1)22(J) 即 F 与 f 所做的功分别是 500 3 J 与22 J. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1过点 M(2，3)，且垂直于向量 u(2，1)的直线方程为( ) A2xy70 B2xy7
18、0 Cx2y40 Dx2y40 【解析】 设 P(x，y)是所求直线上任一点，则MP u， 又MP (x2，y3)，2(x2)(y3)0，即 2xy70. 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2若向量OF1 (1，1)，OF2 (3，2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1 F2|为( ) A 10 B2 5 C 5 D 15 【解析】 由于 F1F2(1，1)(3，2)(2，1)， 所以|F1F2| （2）2（1）2 5， 故选 C 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3在ABC 中，若(CA CB ) (CA CB )0，则ABC 为( ) A正三角
19、形 B直角三角形 C等腰三角形 D形状无法确定 【解析】 (CA CB ) (CA CB )0， CA 2CB20，CA2CB2，CACB，ABC 为等腰三角形 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4若AB 3e，DC 5e，且|AD |BC |，则四边形 ABCD 的形状为_. 【导学号：00680061】 【解析】 由AB 3e，DC 5e，得AB DC ， AB DC ，又因为 ABCD 为四边形， 所以 ABDC，ABDC 又|AD |BC |，得 ADBC， 所以四边形 ABCD 为等腰梯形 【答案】 等腰梯形 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5一架飞机
20、从 A 地向北偏西 60的方向飞行 1 000 km 到达 B 地，然后向 C 地飞行设 C 地恰好在 A 地的南偏西 60方向上，并且 A，C 两地相距 2 000 km，求飞机从 B 地到 C 地的位移 【解】 如图所示， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设 A 地在东西基线和南北基线的交点处， 则 A(0，0)，B(1 000cos 30，1 000sin 30) (500 3，500)， C(2 000cos 30，2 000sin 30) (1 000 3，1 000)， BC (500 3，1 500)， |BC | （500 3）2（1 500）2 1 000 3(km) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
