1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1平面向量的数量积(重点) 2平面向量的数量积的几何意义(难点) 3向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 向量数量积的定义及性质 阅读教材 P103P104“例 1”以上内容，完成下列问题 1向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，我们把数量_叫 做 a
2、与 b 的_(或_)，记作_，即_ 规定零向量与任一向量的数量积为_ |a|b|cos 数量积 内积 a b a b|a|b|cos 0 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量， 为 a 与 b 的夹角 (1)ab_ (2)当 a 与 b 同向时，a b_； 当 a 与 b 反向时，a b_ (3)a a_或|a| a a a2. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. a b0 |a|b| |a|b| |a|2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量的夹角和直线的倾
3、斜角的范围相同( ) (2)两个向量的数量积是向量( ) (3)设向量 a 与 b 的夹角为 ，则：cos 0a b0.( ) 【解析】 (1).因向量的夹角包括 180，直线的倾斜角不包括 180. (2).因两个向量的数量积没有方向，不是向量 (3).由数量积的定义可知 【答案】 (1) (2) (3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律 阅读教材 P104例 1 以下至 P105例 2 以上内容，完成下列问题 1向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 如图 241 所示：OA a，OB b，过 B 作 BB1垂直于直线 OA，垂足为
4、B1，则 OB1_ _叫做向量 b 在 a 方向上的投影，_叫做向量 a 在 b 方向上的投影 图 241 |b|cos |b|cos |a|cos 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)数量积的几何意义： a b 的几何意义是数量积 a b 等于_与 b 在 a 的方向上的投影 _的乘积 2向量数量积的运算律 (1)a b_(交换律) (2)(a) b_(结合律) (3)(ab) c_(分配律) a的长度|a| |b|cos b a (a b) a (b) a cb c 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知|a|3，向量 a 与 b 的夹角为 3 ，则 a 在 b 方向上
5、的投影为_ 【解析】 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 3cos 3 3 2. 【答案】 3 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 与向量数量积有关的概念 (1)以下四种说法中正确的是_ 如果 a b0，则 a0 或 b0； 如果向量 a 与 b 满足 a b0，因此错； |b|cos 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量， 而非投影长， 故错 综 上可知正确 【答案】 上一页上一页返
6、回首页返回首页下一页下一页 数量积的基本运算 已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a 与 b 的夹角为 135 时，分别求 a 与 b 的数量积. 【导学号：00680054】 【精彩点拨】 (1)当 ab 时，a 与 b 夹角可能为 0或 180.(2)当 ab 时，a 与 b 夹角为 90.(3)若 a 与 b 夹角及模已知时可利用 a b|a| |b| cos ( 为 a，b 夹角)求值 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 设向量 a 与 b 的夹角为 ， (1)ab 时，有两种情况： 若 a 和 b 同向，则 0，a b|a|b|20； 若 a
7、与 b 反向，则 180，a b|a|b|20. (2)当 ab 时，90， a b0. (3)当 a 与 b 夹角为 135时， a b|a|b|cos 13510 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1求平面向量数量积的步骤是：求 a 与 b 的夹角 ，0，；分 别求|a|和|b|；求数量积，即 a b|a|b|cos . 2非零向量 a 与 b 共线的条件是 a b |a|b|. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)AB AC ；(2)AB BC ； (3)BC AC . 图 242 【解】 (1)AB 与AC
8、 的夹角为 60， AB AC |AB |AC |cos 60 111 2 1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)AB 与BC 的夹角为 120， AB BC |AB |BC |cos 120 11 1 2 1 2. (3)BC 与AC 的夹角为 60， BC AC |BC |AC |cos 60111 2 1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 与向量模有关的问题 已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|； (2)|(ab) (a2b)|. 【精彩点拨】 利用 a aa2或|a| a2求解 上一页上一页返回首页返回首页下
9、一页下一页 【自主解答】 由已知 a b|a|b|cos 42cos 1204，a2|a|2 16，b2|b|24. (1)|ab|2(ab)2a22a bb2162(4)412，|ab| 2 3. (2)(ab) (a2b)a2a b2b216(4)2412，|(ab) (a 2b)|12. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系 2 利用 a aa2|a|2或|a| a2， 可以实现实数运算与向量运算的相互转化 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3题干条件不变，求|ab|. 【解】 因为|a|4，|b|2，且 a 与 b
10、的夹角 120. 所以|ab| （ab）2 a22a bb2 42242cos 120222 7， 所以|ab|2 7. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 平面向量数量积的性质 探究 1 设 a 与 b 都是非零向量， 若 ab， 则 a b 等于多少？反之成立吗？ 【提示】 aba b0. 探究 2 当 a 与 b 同向时， a b 等于什么？当 a 与 b 反向时， a b 等于什么？ 特别地，a a 等于什么？ 【提示】 当 a 与 b 同向时， a b|a|b|； 当 a 与 b 反向时， a b|a|b|； a a a2|a|2或|a| a a. 上一页上一页返回
11、首页返回首页下一页下一页 探究 3 |a b|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量 a，b，如何求它们 的夹角 ？ 【提示】 |a b|a|b|，设 a 与 b 的夹角为 ，则 a b|a|b|cos . 两边取绝对值得： |a b|a|b|cos |a|b|. 当且仅当|cos |1， 即 cos 1，0 或时，取“”， 所以|a b|a|b|. cos a b |a|b|. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 60，c3a5b，dma 3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？ 【精彩点拨】 由条件计算 a b，当 cd 时，
12、cd0 列方程求解 m. 【自主解答】 由已知得 a b32cos 603. 由 cd，知 c d0， 即 c d(3a5b) (ma3b)3ma2(5m9)a b15b2 27m3(5m9)6042m870， m29 14，即 m 29 14时，c 与 d 垂直 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1已知非零向量 a，b，若 ab，则 a b0，反之也成立 2设 a 与 b 夹角为 ，利用公式 cos a b |a|b|可求夹角 ，求解时注意向 量夹角 的取值范围 0， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 4若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b
13、 夹角的余弦值为 _ 【解】 设 a 与 b 夹角为 ，因为|a|3|b|， 所以|a|29|b|2， 又|a|a2b|，所以|a|2|a|24|b|24a b |a|24|b|24|a| |b| cos 13|b|212|b|2cos ， 即 9|b|213|b|212|b|2cos ，故有 cos 1 3. 【答案】 1 3 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1在ABC 中，BC5，AC8，C60，则BC CA ( ) A20 B20 C20 3 D20 3 【解析】 BC CA |BC |CA |cos 12058 1 2 2
14、0. 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2设 e1，e2是两个平行的单位向量则下面的结果正确的是( ) Ae1e21 Be1e21 C|e1e2|1 D|e1e2|1 【解析】 e1e2|e1|e2|cos 1. 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3在ABC 中，AB a，BC b，且 b a0，则ABC 是( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D无法确定 【解析】 在ABC 中， 因为 b a0， 所以 ba， 故ABC 为直角三角形 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4已知|a|4，e 为单位向量，a 在 e 方
15、向上的投影为2，则 a 与 e 的夹 角为_. 【导学号：00680055】 【解析】 因为 a 在 e 方向上的投影为2， 即|a|cos2， 所以 cos2 |a| 1 2，120. 【答案】 120 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5已知 a b20，|a|5，求 b 在 a 方向上的投影的大小 【解】 设 a，b 的夹角为 ， 则 b 在 a 方向上的投影就是|b|cos ， 因为|a|b|cos a b20， 所以|b|cos 20 |a| 20 5 4， 即 b 在 a 方向上的投影是 4. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
