1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点) 2理解共线向量、相等向量的概念(难点) 3正确区分向量平行与直线平行(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 向量及其几何表示 阅读教材 P74P75例 1 以上内容，完成下列问题 1向量与数量 (1)向量：既
2、有_，又有_的量叫做向量 (2)数量：只有_，没有_的量称为数量 大小 方向 大小 方向 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2向量的几何表示 (1) _的线段叫做有向线段它包含三个要素：_、 _、_ (2)向量可以用_表示向量AB 的大小，也就是向量 AB 的 _(或称模)，记作_向量也可以用字母 a，b，c，表示，或用表示 向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB ，CD . 带有方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 |AB | 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量可以比较大小( ) (2)坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向
3、量( ) (3)某个角是一个向量( ) (4)体积、面积和时间都不是向量( ) 【解析】 因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向， 没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时 间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确 【答案】 (1) (2) (3) (4) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 向量的有关概念 阅读教材 P75第十八行以下至 P76例 2 以上内容，完成下列问题. 零向量 长度为 0 的向量，记作 0 单位向量 长度等于_个单位的向量 平行向量 (共线向量) 方向_的非零向量 向量 a、b 平行
4、，记作_ 规定：零向量与任一向量_ 相等向量 长度_且方向_的向量 向量 a 与 b 相等，记作_ 1 相同或相反 ab 平行 相等 相同 ab 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)单位向量都平行( ) (2)零向量与任意向量都平行( ) (3)若 ab，bc，则 ac.( ) (4)|AB |BA |.( ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 (1)错误，长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量，单位向 量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向 量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3
5、)错误，若 b0，则(3)不成 立；(4)正确故只有(2)(4)正确 【答案】 (1) (2) (3) (4) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 向量的有关概念 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab； (2)若向量|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 ab； (4)由于
6、0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行； (5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向 两个要素 【自主解答】 (1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向， 所以两个向量不能比较大小 (2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系 (3)正确因为|a|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可得 ab. (4)不正确依据规定：0 与任意向量平行 (5)不正确因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不定 上一页上
7、一页返回首页返回首页下一页下一页 求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与 任一向量平行；所有的零向量相等 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1给出下列命题： 若|a|b|，则 ab 或 ab； 向量的模一定是正数； 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； 向量AB 与CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一直线上 其中正确命题的序号是_ 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 错误由|a|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向 的关系 错误.0 的模|0|0. 正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可
8、以任意移动的 错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可并不要求两 个向量AB 、CD 必须在同一直线上 【答案】 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量的表示及应用 某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点，然后改变方向按东北方 向走了 10 2米到达 C 点，到达 C 点后又改变方向向西走了 10 米到达 D 点 (1)作出向量AB ，BC ，CD ； (2)求AD 的模. 【导学号：00680033】 【精彩点拨】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向 量可把AD 放在直角三角形中求得|AD |. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (
9、1)作出向量AB ，BC ，CD ，如图所示： (2)由题意得，BCD 是直角三角形，其中BDC90，BC10 2米， CD10 米，所以 BD10 米ABD 是直角三角形，其中ABD90，AB 5 米，BD10 米，所以 AD 52（10）25 5(米)，所以|AD |5 5米 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1向量的两种表示方法： (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的 长度确定向量的终点 (2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联系平面几何 中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB ，CD ， EF 等
10、 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2两种向量表示方法的作用： (1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理 几何问题打下了基础 (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2 一辆汽车从点 A 出发， 向西行驶了 100 公里到达点 B， 然后又改变方向， 向西偏北 50的方向行驶了 200 公里到达点 C，最后又改变方向，向东行驶了 100 公里达到点 D (1)作出向量AB ，BC ，CD ； (2)求|AD |. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 (1)如图所示 (2)由题意知AB 与C
11、D 方向相反，AB 与CD 共线， 在四边形 ABCD 中，ABCD， 又|AB |CD |， 四边形 ABCD 为平行四边形， |AD |BC |200(公里) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 相等向量与共线向量 探究 1 向量 a，b 共线，向量 b，c 共线，向量 a 与 c 是否共线？ 【提示】 向量 a 与 c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若 b 0，则向量 a 与 c 不一定共线 探究 2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？ 【提示】 不一定因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就 是相等向量，与起点和终点位置无关 上一页上一页返
12、回首页返回首页下一页下一页 (1)(2016 潍坊高一检测)如图 211，在等腰梯形 ABCD 中 AB 与CD 是共线向量； AB CD ；AB CD .以上结论中正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 图 211 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)下列说法中，正确的序号是_ 若AB 与CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在一条直线上； 零向量都相等； 任一向量与它的平行向量不相等； 若四边形 ABCD 是平行四边形，则AB DC ； 共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 【精彩点拨】 可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断 上一页上一页返回首页返回首页下一页下
13、一页 【自主解答】 （1）因为AB 与CD 的方向不相同，也不相反，所以AB 与 CD 不共线，即不正确；由可知也不正确；因为两个向量不能比较大 小，所以不正确 (2)因为向量AB 与CD 是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以 A，B， C，D 也不一定在一条直线上，所以错误；因为零向量的长度都为零，且其方 向任意，所以零向量相等，所以正确；因为平行向量的方向可以相同且大小 也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即错误；画出图形， 可得AB DC ，所以正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同， 终点可能相同，所以不正确 【答案】 (1)A (2) 上一页上一页返回首页
14、返回首页下一页下一页 相等向量与共线向量需注意的四个问题： (1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量 (2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两 个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合 (3)平行(共线)向量无传递性(因为有 0) (4)三点 A，B，C 共线AB ，AC 共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3.如图 212 所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心 分别写出图中与OA ，OB ，OC 相等的向量； 与OA 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ 图 212 【解】 与OA 相等的向量有EF ，DO ，C
15、B ；与OB 相等的向量有DC ，EO ， FA ；与OC 相等的向量有FO ，ED ，AB . 与OA 的长度相等、方向相反的向量有OD ，BC ，AO ，FE . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1下列说法中正确的个数是( ) 身高是一个向量； AOB 的两条边都是向量； 温度含零上和零下温度，所以温度是向量； 物理学中的加速度是向量 A0 B1 C2 D3 【解析】 只有中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量， 错误正确 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2在下列判断中，正确的是( ) 【导学号：00
16、680034】 长度为 0 的向量都是零向量； 零向量的方向都是相同的； 单位向量的长度都相等； 单位向量都是同方向； 任意向量与零向量都共线 A B C D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零向 量的方向是否相同不确定，故不正确显然、正确，不正确，故选 D 【答案】 D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3(2016 三明市期末)设 e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是 ( ) Ae1e2 Be1e2 C|e1|e2| D以上都不对 【解析】 单位向量的模都等于 1 个单位，故 C 正确 【答案】 C 上一页
17、上一页返回首页返回首页下一页下一页 4在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行； 共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量； 平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量正确的命题是_ 【解析】 由向量的相关概念可知正确 【答案】 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5.如图 213 所示，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形， 找出与向量AB 相等的向量 图 213 【解】 由四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，知DC ，ED 与AB 的长度相等且方向相同，所以与向量AB 相等的向量为DC 和ED . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
