1、9.9.5.15.1 阻尼振动阻尼振动(Damped Oscillation)Damped Oscillation)1.阻尼振动：阻尼振动：谐振动为等幅振动。而实际振动总要谐振动为等幅振动。而实际振动总要受到阻力影响，振动过程中振幅不断减小。振幅随受到阻力影响，振动过程中振幅不断减小。振幅随时间变化因阻力而减小的振动称为时间变化因阻力而减小的振动称为阻尼振动。阻尼振动。2.阻尼力模型：客观阻尼力模型：客观存在的阻力是复杂的，故提出存在的阻力是复杂的，故提出许多阻尼力模型许多阻尼力模型。当物体运动速度不太大时有：当物体运动速度不太大时有：介绍两种接近介绍两种接近客观客观实际较复杂的振动。实际较复
2、杂的振动。9.9.5 5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 b.负号表示负号表示阻尼力与阻尼力与物体运动物体运动速度反向；速度反向；a.，与物体形状、介质性质有关；与物体形状、介质性质有关；为为阻力系数阻力系数3.弹簧振子的弹簧振子的阻尼振动阻尼振动问题：在问题：在阻尼力模型阻尼力模型(1)作用下作用下弹簧振子的弹簧振子的振动；振动；思路：受力分析思路：受力分析、建、建振动微分方程振动微分方程、求解求解与与讨论；讨论；阻尼力阻尼力模型模型:(1)ddxFvtxxFmoa.受力分析受力分析与方程的建立与方程的建立m受到两种力作用：受到两种力作用：kxF(2)由牛顿定律得：由牛顿定律得
3、：(3)22ddddxxmkxttddxFvtmk0固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数(5)(4)对于确定的振动系统和环境，对于确定的振动系统和环境，为常量，其中为常量，其中 。于是有：。于是有：(6)最后得：最后得：2202dd+2+0ddxxxttmk、202=kmm、=2 m注：注：1.上式是上式是阻尼阻尼振动微分方程振动微分方程；2.固有角频率固有角频率 振动系统确定振动系统确定；阻尼系数阻尼系数 振动系统、介质性质确定；振动系统、介质性质确定；b.方程方程的的求解求解与讨论与讨论微分方程微分方程理论：根据方程系数数值的相对大小理论：根据方程系数数值的相对大小关系，关系，(6)式有三
4、种解，对应三种运动状态：式有三种解，对应三种运动状态：1.阻尼力较小时：阻尼力较小时：0 弱弱阻尼；阻尼；(6)2202dd+2+0ddxxxtt角频率角频率振幅振幅0cos()txAet(7)(7)此时系统作弱阻尼运动，对应解为：此时系统作弱阻尼运动，对应解为：其中：其中：为积分常量，由初条件确定；并且为积分常量，由初条件确定；并且有：有：0A、220(8)8)2202 2 T(9)tAe1.(6)式的解由两部分组成：式的解由两部分组成：衰减项：衰减项：“振幅振幅”；周期项：周期项：谐函数；谐函数；)cos(t2.由由(7)得得 x-t 函数曲线图；函数曲线图；阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位
5、移时间曲线AAtOx)0(tAeTcostAetc.讨论：讨论：3.位移方向变化仍由余弦函数定，周期为：位移方向变化仍由余弦函数定，周期为：此时系统作过阻尼运动，对应的解为：此时系统作过阻尼运动，对应的解为：222200()()12ttx c ece(10)其中：其中：为积分常为积分常量，可由初条件确定；量，可由初条件确定；)21(、iciotx过过阻尼振动阻尼振动b02.阻尼力较大时：阻尼力较大时：过阻尼；过阻尼；03.阻尼力不大不小时：阻尼力不大不小时：临界阻尼；临界阻尼；此时系统作此时系统作临界临界阻尼运动，对应方程的解为：阻尼运动，对应方程的解为：12()txcc t e(11)其中：
6、其中：为积为积分常量，可由初条件分常量，可由初条件确定；确定；)21(、iciotx临界临界阻尼振动阻尼振动cbotx三种阻尼的比较三种阻尼的比较220220 b.b.过阻尼：过阻尼：220 a.a.弱阻尼：弱阻尼：220 c.c.临界阻尼：临界阻尼：abc阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线AAtOx)0(tAeTtAetcos0dd2dd2022xtxtx总之：总之：9.9.5.25.2 受迫振动受迫振动 共振共振周期性外力有时不可避免：周期性阵风作用下建筑物周期性外力有时不可避免：周期性阵风作用下建筑物发生的振动，桥樑由于火车行驶而引起的振动等。发生的振动，桥樑由于火车行驶而引起的振
7、动等。受受迫振动在电磁学、机械工程等领域均有重要应用。迫振动在电磁学、机械工程等领域均有重要应用。问题：上述问题：上述阻尼力模型作用下阻尼力模型作用下弹簧振子的弹簧振子的受迫振动受迫振动；0pcosFFtkxF周期性外力：周期性外力：阻尼力阻尼力：弹性弹性力力：受迫振动：受迫振动：施加周期性外力作用的振动；施加周期性外力作用的振动；Fv 由牛顿定律得：由牛顿定律得：(1)(2)2.其中：其中：注意：注意：1.(2)式为式为受迫振动微分方程非齐次常系受迫振动微分方程非齐次常系数二阶微分方程；数二阶微分方程；整理得：整理得：202dd+cos()ddpxxmkxFttt22002dd+2+cos(
8、)ddpxxxfttt20002=Fkfmmm、(3)3.分析：强迫力不存在时，分析：强迫力不存在时，(2)式成为阻尼振动微式成为阻尼振动微分方程；由分方程；由微分方程微分方程理论：理论：(2)式的解应包含阻尼式的解应包含阻尼振动的解，另外还应包含振动的解，另外还应包含(2)式的一个特解。总之：式的一个特解。总之：(2)式的解为：式的解为：4.讨论：经足够长的时间，讨论：经足够长的时间，(3)式首项衰减为零，式首项衰减为零，故只有次项起作用。此时有解：故只有次项起作用。此时有解：(4)00()cos()+cos()tppx tAetAt()cos()ppx tAt(5)称此时称此时受迫振动系统
9、达到稳定振动状态，对应解受迫振动系统达到稳定振动状态，对应解(4)式：式：此时的角频率与强迫力角频率相同、与强迫力有恒定此时的角频率与强迫力角频率相同、与强迫力有恒定相位差相位差 。将上式带入将上式带入(2)(2)式可得稳定振动状态对应式可得稳定振动状态对应的振幅和初相：的振幅和初相：(6)022 2220=()+4pppfA 2202tan=pp1.1.振幅和初相与初条件无关；振幅和初相与初条件无关；2.2.振幅和初相与强迫力振幅、角频率以及系统固有振幅和初相与强迫力振幅、角频率以及系统固有频率、阻尼系数有关；频率、阻尼系数有关；讨论：讨论：受迫振动系统的稳定振动状态；受迫振动系统的稳定振动
10、状态；9.9.5.35.3 位移共振位移共振问题：问题：受迫振动系统达到稳定振动状态后，受迫振动系统达到稳定振动状态后，周期周期性外力角频率为何值，性外力角频率为何值，受迫振动振幅最大？受迫振动振幅最大？简单的数学问题：简单的数学问题：(5)式分母取极小值得：式分母取极小值得：0p(1)(1)式对应式对应强迫力为恒力的情形，不合题意；强迫力为恒力的情形，不合题意；(2)式是使式是使(5)式分母取极小值的条件；式分母取极小值的条件；2202p(2)结论：结论：强迫力的强迫力的角频率满足角频率满足(2)式时，式时，受迫振动稳受迫振动稳定振动状态的振幅有极大定振动状态的振幅有极大值；此值；此振动现象
11、叫振动现象叫共振：共振：对应共振对应共振角角频率频率；共振共振振幅；振幅；讨论：讨论：1.2.02202pfA共振振幅共振振幅(4)22r02共振频率共振频率(3)0r 小pA 大0pA 0r尖锐共振；尖锐共振；PAo共振频率共振频率0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼0总之：位移共振如同所示：总之：位移共振如同所示：a.共振现象在实际中的应用共振现象在实际中的应用无线电收音机；超声波发生器；回旋质谱仪；无线电收音机；超声波发生器；回旋质谱仪；共振现象的应用与危害共振现象的应用与危害超声波清洗金属器件；超声波清洗金属器件；共振现象有利有弊：在工程技术中可以利用共振共振现象有利有弊：在工程技术中可以利用共振原理研制一些仪器；但在日常生活中，共振现象原理研制一些仪器；但在日常生活中，共振现象也产生一些难以避免的危害；也产生一些难以避免的危害；美国美国 Tacoma 大桥共振坍塌大桥共振坍塌1940 年年7月月1日美国日美国 Tacoma 悬索桥因共振而坍塌；悬索桥因共振而坍塌；b.共振现象的危害：共振现象的危害：
