1、整理课件整理课件1高等数学高等数学西南财经大学西南财经大学经济数学学院经济数学学院孙疆明孙疆明精精金金财财整理课件整理课件2实数与函数实数与函数引言引言实数的重要性质实数的重要性质函数函数复合函数复合函数反函数反函数函数的简单性质函数的简单性质初等函数初等函数整理课件整理课件3高等数学简介高等数学简介一元函数微分学一元函数微分学 利用极限研究函数的种种表达及其诸多利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质性质严密逻辑思维和连续问题的基本严密逻辑思维和连续问题的基本分析方法分析方法极限及其理论极限及其理论导数与微分及其理论导数与微分及其理论微分学应用微分学应用一元函数积分学一元函数积分学不定积分不定
2、积分定积分概念及其理论定积分概念及其理论积分学应用积分学应用本学期学习内容本学期学习内容整理课件整理课件4参考书目：参考书目：1.高等数学引论高等数学引论一卷一分册一卷一分册 华罗庚华罗庚科学出版社科学出版社3.数学分析数学分析第一册第一册 何琛何琛 高教出版社高教出版社4.微积分和数学分析引论微积分和数学分析引论 第一卷第一、二分册第一卷第一、二分册 柯朗柯朗 科学出版社科学出版社2.微积分教程微积分教程（第三版）（第三版）谢明文谢明文主编主编西南财经大学出版社西南财经大学出版社整理课件整理课件5答疑时间地点：答疑时间地点：通博楼通博楼B座座302经济数学学院经济数学学院整理课件整理课件6
3、因此了解掌握实数的基本性质对于学习因此了解掌握实数的基本性质对于学习微积分是必要的基础微积分是必要的基础.实实 数数连续模型连续模型建立在实数基础之上建立在实数基础之上（一）实数集的有序性（一）实数集的有序性 （二）（二）实数集实数集的稠密性的稠密性（三）实数集的界与确界（三）实数集的界与确界整理课件整理课件7(一一)实数集的有序性实数集的有序性 abbabaRba ,对任意对任意即即有且仅有一个式子成立有且仅有一个式子成立.在做加法和乘法运算时在做加法和乘法运算时,保持下列关系保持下列关系:dbcadcba ,cabacba ,0数轴上的点和实数是一一对应的数轴上的点和实数是一一对应的 从数
4、轴上看从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右实数是从小到大依序自左至右排列的排列的Ox4 1 25整理课件整理课件8（二）（二）实数集实数集的稠密性的稠密性有理数集是实数集的一个子集有理数集是实数集的一个子集有理数在实数集中是稠密的有理数在实数集中是稠密的 即在任意两个不同的实数之间即在任意两个不同的实数之间,都有无都有无穷多个有理数穷多个有理数有理点有理点含有无穷多个含有无穷多个或任意非空开区间或任意非空开区间),(ba这一点具有非常重要的意义整理课件整理课件9xP01OxRx 数轴上的点数轴上的点P到原点距离加上符号到原点距离加上符号实数域的连续性实数域的连续性 实数域实数域 R R 布满
5、数轴布满数轴问：有理数布满数轴了吗？问：有理数布满数轴了吗？有空档！2121,rrQrr 设设nrr1021 取取这是一个无理数这是一个无理数21,rrrn 有有足足够够大大时时当当整理课件整理课件10.,.的的一一个个上上界界是是并并且且称称有有上上界界则则称称集集合合有有使使得得如如果果是是一一个个数数集集设设SbSbxSxRbS 定义：定义：(三三)数集的界与确界数集的界与确界.,下下界界的的一一个个是是并并且且称称有有下下界界则则称称集集合合有有使使得得如如果果SaSaxSxRa 1.1.有界集有界集存在存在对任意一个或任意取定对任意一个或任意取定整理课件整理课件11例如：例如：（1）
6、自然数集合）自然数集合,3,2,1 nN .1的的一一个个下下界界是是 N.,1的下界的下界都是都是任意一个任意一个Na .无上界无上界N（2）真分数集）真分数集.1,0是一个上界是一个上界是一个下界是一个下界,0下界下界都是都是任意一个任意一个 a.,1上上界界都都是是任任意意一一个个 b整理课件整理课件12定义：定义：.S数集的最小上界称为上确界数集的最小上界称为上确界.S数集的最大下界称为下确界数集的最大下界称为下确界例如：例如：3,2,1sup)1(3 3,2,1inf1)2,1sup)2(2)2,1inf13,2,1max 3,2,1min 没有最大值！没有最大值！)2,1min 2
7、.2.集合的确界集合的确界supS记为记为inf S记为记为整理课件整理课件133.实数的连续性刻画实数的连续性刻画确界公理确界公理 （1）如果非空实数集合有上界）如果非空实数集合有上界,则则 必有上确界必有上确界.（2）如果非空实数集合有下界）如果非空实数集合有下界,则则 必有下确界必有下确界.定理定理sup(1),bSxSxb 有有inf(1),aSxSxa 有有*(2)0,xSxb 使使得得*(2)0,xSxa 使使得得整理课件整理课件14有理数集与实数集性质的区别2,|2 xRxxS2sup S在实数范围中的上确界在实数范围中的上确界但是但是,在有理数范围中这个集合没有上确界在有理数范
8、围中这个集合没有上确界实数集是连续的有理数集不是连续的（1）如果实数集的子集有上（下）界,则必有上（下）确界.但是,有理数集的子集有界,则未必有确界.例如例如整理课件整理课件15(2)(2)想象一个点在实数轴上连续运动想象一个点在实数轴上连续运动在每一个时刻这个点所处的位置在每一个时刻这个点所处的位置都是一个实数都是一个实数,但不一定是有理数但不一定是有理数xO整理课件整理课件16 邻域邻域0,0 Rx设设0 x 0 x 0 x Ox),(),(0000 xxxxxxU 000 xxxxx).,(000 xUxxxx记作记作邻域邻域的的称为点称为点数集数集 0000(,)oxxxUxx 数集称
9、为点数集称为点的空心邻域的空心邻域),(000 xxx 整理课件整理课件17第一节第一节 函函 数数例例研究市场问题研究市场问题.需求、供给需求、供给价格价格需求需求Q价格价格p供给供给D价格价格需求需求供给供给价格价格需求需求供给供给整理课件整理课件18(一一)函数概念函数概念定义：定义：.为为非非空空数数集集设设RD .).(,!,上上的的一一个个函函数数在在为为定定义义则则称称记记作作与与之之对对应应实实数数按按确确定定的的规规则则如如果果DfxfyyfDx ,().xyDD f自自变变量量因因变变量量定定义义域域存在存在唯一唯一值值域域),(,DxxfyRyy ()f D记记为为：对任
10、意一个或任意取定对任意一个或任意取定整理课件整理课件19问题：函数是什麽？问题：函数是什麽？函数是一个规则函数是一个规则什麽规则？什麽规则？函数是一种关系函数是一种关系什麽关系？什麽关系？由一个量由一个量(自变量自变量)的值，确定另一个的值，确定另一个量量(因变量因变量)对应数值的规则对应数值的规则 一个量一个量(因变量因变量)随另一个量随另一个量(自变量自变量)变化的对应关系变化的对应关系 函数还是一个变量函数还是一个变量,随自变量变化的随自变量变化的变量变量整理课件整理课件20几点说明几点说明1对应规则对应规则 f.f()按按f确定括号内对应值确定括号内对应值当当函函数数是是表表达达式式时
11、时，f为表达式对给定的对自变量的运算为表达式对给定的对自变量的运算例例2sin().1xyf xx f为为 sin()21+()000|()x xxxyf x 函数在对应的函数值记或函数在对应的函数值记或 ()?33xf 如如上上例例中中计计算算对对应应函函数数值值239sin,1(),3233 23 3().32 9f 整理课件整理课件21 ()yf xfyx 当函数仅是一个符号时，就表示变量随当函数仅是一个符号时，就表示变量随变化,如何随之变化是所要研究的.变化,如何随之变化是所要研究的.抽抽象象函函数数，首首先先要要讨讨论论其其性性质质(抽象函数)抽象函数)2定义域定义域 D,也记为也记
12、为 D(f)函数函数 f 有意义的自变量集合有意义的自变量集合(1)(1)给定函数时，给定自变量集合，函数只在给定函数时，给定自变量集合，函数只在给定集合有意义，在其他集合即使可以计算，给定集合有意义，在其他集合即使可以计算，仍然叫无意义；仍然叫无意义；(计算的不是所给函数的值计算的不是所给函数的值)(2)(2)给定函数时，没有给定自变量集合，计算给定函数时，没有给定自变量集合，计算定义域原则；定义域原则；分母不为分母不为0 0；开偶数次方变量非负；开偶数次方变量非负；整理课件整理课件22作对数运算变量大于作对数运算变量大于0 0；作反正弦、反余弦运算变量在作反正弦、反余弦运算变量在1 1之间
13、之间例例2sin()?1xyD fx 的的定定义义域域 1220,10 xx 解解 1,1xx 解解得得且且()|11D fxx 定定义义域域.(-1,1)或或例例22,02()()?arctan,10 xxxf xD fxx 的的定定义义域域 解解 函函数数给给定定时时，给给定定了了自自变变量量变变化化集集合合，()(1,0(0,2(1,2.D f 所所以以，定定义义域域整理课件整理课件23例例 arcsin2()()?lnxf xD fx 求的定义域求的定义域 ln0,0,12xxx 解解 02,1xx解得且解得且()(0,1)(1,2D f 定义域定义域例例 2()().(21)arcs
14、inxf xD fxx 求求的的定定义义域域 20,210,arcsin0,1xxxx 解解 11,0,0.5xxx 解解得得且且()1,0)(0,0.5)(0.5,1D f 定义域定义域整理课件整理课件24 函数的定义域函数的定义域D与对应关系与对应关系f 一旦确定，两个一旦确定，两个量之间的关系量之间的关系函数也就完全确定了故称函数也就完全确定了故称之为函数的两要素之为函数的两要素 反之如果有两个函数反之如果有两个函数y=f(x),s=g(t),当它们定义当它们定义域相同域相同,对应关系也一样对应关系也一样(定义域中同样的自变量定义域中同样的自变量值值,对应的函数值对应的函数值),就叫做两
15、个函数相等就叫做两个函数相等.记为：记为：f(x)=g(x).例例 下列函数中相等的有下列函数中相等的有22222,0(1),(),(),();,0(2)ln,(ln),2ln,2ln2,(ln);x xxxx f xg ttxxxxxxxe 整理课件整理课件25（二）（二）函数的几个简单性质函数的几个简单性质1.奇、偶性奇、偶性(或对称性或对称性)称称为为奇奇函函数数),()(,xfxfDx 称为偶函数称为偶函数),()(,xfxfDx 对称对称y轴轴对称原点对称原点xyoyxox-xx-xf(x)f(x)-f(x)f(-x)整理课件整理课件26注：注：1奇偶函数定义域关于原点对称；奇偶函数
16、定义域关于原点对称；2非奇非偶函数运算后，奇偶性不一定非奇非偶函数运算后，奇偶性不一定例例(222sin,lg(1),cos2)1xxxxxx xx 的奇偶性？的奇偶性？解解 sinsinxxxx、为为奇奇函函数数，所所以以为为偶偶函函数数，22sin11xxxx 也为偶函数，所以为偶函数.也为偶函数，所以为偶函数.2()lg(1),f xxx 设设 22()lg(1()lg(1)fxxxxx =221lglg(1)()1xxf xxx 2lg(1)xx为奇函数.为奇函数.整理课件整理课件27(2cos2)xx x ()().f xfx 奇奇偶偶函函数数也也常常用用讨讨论论 22222lg(1
17、)lg(1)lg(1)0 xxxxxx 如如例例22()33xxxxf x 的的奇奇偶偶性性？2222()()3333()xxxxxxxxfxf xf x 为为奇奇函函数数.解解定定义义域域不不对对称称，为为非非奇奇非非偶偶函函数数.整理课件整理课件282.单调性单调性(增减性增减性)12121212,()(),()()x xD xxf xf xf xf x 或或 12121212,()(),()()x xD xxf xf xf xf x 或或 ().f称为单调增函数 或单调非减函数称为单调增函数 或单调非减函数().f称称为为单单调调减减函函数数 或或单单调调非非增增函函数数yxox1x2x
18、3f(x1)f(x2)f(x3)yxox1x2x3f(x1)f(x2)f(x3)整理课件整理课件293.周期性周期性0,()()TxDf xTf x ,fTTf若若有有最最小小正正周周期期则则称称是是的的周周期期注意注意 并不是所有的周期函数都有最小周期并不是所有的周期函数都有最小周期例如：例如：为无理数为无理数当当为有理数为有理数当当xxx,0,1)(f称称 为为周周期期函函数数yxoTTT称为称为狄里克莱狄里克莱函数函数，T叫做叫做f 的一个周期的一个周期整理课件整理课件30注：注：1.周期函数定义域为双向无界集合；周期函数定义域为双向无界集合；2(),(),(0).Tf xTf axba
19、a周期为则周期为周期为则周期为例例()sincosf xxx 的的周周期期？1()sin(2)2f xx 解解,sin2,x 的的周周期期为为 2sin2,().2xf x 所所以以，的的周周期期为为周周期期也也为为例例 ()sinf xxx 证证明明不不是是周周期期函函数数？(),0()();f xxDRTf xTf x 若为周期函数，则若为周期函数，则使使证证 0,()sin0;xf xTTTTk 取取有有，得得整理课件整理课件31 ,()()cos1,2222xfTTTk 取取有有，得得()()f xTf xT 即即:使使得得 的的 不不存存在在.例例 ()tanf xxx 是是否否周周
20、期期函函数数？为为什什么么？()()0.f xf xx 不不是是周周期期函函数数.因因为为的的定定义义域域有有下下界界答答 证明函数证明函数 f(x)没有周期，只要通过定义域不同没有周期，只要通过定义域不同点点(值值)证明作周期的常数不存在即可证明作周期的常数不存在即可.3,()24484xfT 取取有有，().f x因此不是周期函数因此不是周期函数整理课件整理课件32整理课件整理课件334.有界性有界性定义：定义：使使得得对对如如果果存存在在一一个个实实数数,)1(M,(),xDf xM每一个成立每一个成立.上上是是有有上上界界的的在在则则称称函函数数Df使使得得对对如如果果存存在在一一个个
21、实实数数,)2(NNxfDx )(,成成立立每每一一个个.上上是是有有下下界界的的在在则则称称函函数数Dfxyo上界上界xyo下界下界整理课件整理课件34.,)3(数数有有界界函函称称为为数数既既有有上上界界又又有有下下界界的的函函0,L 即即存存在在一一个个正正数数使使得得对对于于,().xDf xL每一个成立每一个成立.上界中最小的上界称为上确界上界中最小的上界称为上确界.下界中最大的下界称为下确界下界中最大的下界称为下确界sup()f x记记为为inf()f x记为记为整理课件整理课件35例例4),(xeyeyxx和和00),(xxeex和和有有因因为为 ,(,),0 xxyeye 所所
22、以以和和在在上上有有下下界界 无无上上界界，是是下下确确界界.1.什么叫作函数无界？什么叫作函数无界？2.确界的数学含义？确界的数学含义？整理课件整理课件360,*,(*),.MxDf xMfD 如如果果对对任任意意的的正正数数总总存存在在使使得得则则称称函函数数在在上上无无界界例例.),0()0,(1上上是是无无界界的的在在 xy.),(,0有有界界的的上上是是在在对对任任意意的的 *10,2MxM 对任意的有使得MMxxx 21*11 x整理课件整理课件37例例()0.xf xe 证证明明 的的下下确确界界为为 0,()xef x证证 因因为为所所以以0 0是是的的下下界界；*ln1ln,
23、xex 又单调增加，对0,存在 *ln*ln1,()xxeeeee 使使=0 0+或或 00 即对任意正数，都不是下界，即对任意正数，都不是下界，故是下确界故是下确界整理课件整理课件38（三）（三）复合函数与反函数复合函数与反函数定义定义 ()(),()(),yf uug xgg RfD f 假假定定给给了了两两个个函函数数和和并并且且的的值值域域与与的的定定义义域域的的交交集集非非空空 这这时时在在集集合合,)()(),(上上且且fDxggDxxD .),(构构成成的的复复合合函函数数与与这这个个函函数数为为由由则则称称可可以以确确定定一一个个函函数数gfxgfy 1.复合函数复合函数整理课
24、件整理课件39例例,sin)(,)()1(xxgueufyu 则有则有 xexgfsin)(),(x,)(,)()2(2xxguuufy 则有则有 2()f g xxx ),(xgf 记记作作)(:)(xgfxgf 即即gf(x)=？整理课件整理课件40,1)(,ln)()4(2 xxguuufy则有则有),1ln()(2 xxgf).,1()1,(x.1)(,arcsin)()3(xexguuf所以所以,不能构成复合函数不能构成复合函数).(xgf,1,1)(fD()(1,),g R .)()(gRfD因为因为整理课件整理课件41例例 21,1(),()sin,1,1xxf xg xxxx
25、()(),()f g xg f xf f x求求，21sin,sin1()1,sin1sinxxf g xxx 解解 2sin 1,1();1sin,1xxg f xxx cos;x=整理课件整理课件42 21(),()1()1,()1()fxf xf f xf xf x 21()fx 2,11,1xxxxx 整理课件整理课件432.反函数反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即在函数定义中，要求函数是单值的，即)()(2121xfxfxx )()(,2121xfxfxx 不一定有不一定有但是但是)()(2121xfxfxx 如如果果之之间间就就有有如如下下关关系系与与值值域域则则在在定定义义
26、域域)(DfD(),!,()yf DxDyf x 使使得得.)(,)(的的反反函函数数称称为为函函数数新新的的对对应应关关系系到到个个由由这这是是一一xfyDDf)()(1Dfyyfx 记记作作整理课件整理课件44 11().fff DffD 由由定定义义可可以以知知道道：反反函函数数的的定定义义域域是是函函数数的的值值域域；的的值值域域是是的的定定义义域域yx习习惯惯上上喜喜欢欢用用 记记函函数数变变量量，记记自自变变量量，说明说明 1()()yf xyfx 故故的的反反函函数数记记为为 例例1xyx 的反函数；的反函数；1yxy 由由函函数数解解出出，解解 11xxyyxx所以的反函数为所
27、以的反函数为整理课件整理课件45例例()sinyf xx 在在定定义义域域没没有有反反函函数数，,22xf 但但限限定定则则严严格格单单调调(称称取取单单值值支支)1()arcsin 1,1yfxx x 有有反反函函数数例例(,)xye 是是严严格格单单调调函函数数习惯上习惯上,记记),0(ln xxy1()ln(0,)xfyy y 有有反反函函数数()yf x 1()yfx 整理课件整理课件46（四）（四）初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数（1）常量函数）常量函数)(常数常数cy 自变量取任意值，对应函数值都是自变量取任意值，对应函数值都是c周期、偶函数、有界周期、偶函数、有界定义域定
28、义域(,)整理课件整理课件47（2）幂函数）幂函数 xy 0.(,);0;0 xxx 时时，总总有有定定义义为为正正整整数数为为负负整整数数时时，为为开开正正偶偶数数次次方方时时，1 1 01 0 为为奇奇数数，是是奇奇函函数数；为为偶偶数数，是是偶偶函函数数；整理课件整理课件48（3）指数函数）指数函数（4）对数函数）对数函数)0(aayxxey xyalog lnlogeyxx e是无理数是无理数也记为也记为exp(x)1a 1a 1a 1a 1a 1a 1a 1a (,),定定义义域域单单调调，有有下下界界；(0,),定义域单调，无界；定义域单调，无界；整理课件整理课件49(5)三角函数
29、三角函数(6)反三角函数反三角函数sin,cos,tan,cotsec,cscxxxxxx，xarcxxxcot,arctan,arccos,arcsin整理课件整理课件50整理课件整理课件51初等函数初等函数基本初等函数经过基本初等函数经过有限次有限次的四则运算的四则运算及复合运算所得到的函数及复合运算所得到的函数,称为初等函数称为初等函数.双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦)(21sinhxxeex 双曲余弦双曲余弦)(21coshxxeex 双曲正切双曲正切xxxxeeeexxx coshsinhtanh),(x整理课件整理课件52反双曲正弦反双曲正弦2arcsinh ln(1)xxx 反
30、双曲余弦反双曲余弦2arccosh ln(1)xxx反双曲正切反双曲正切11arctanhln21xxx ),(x),1 x)1,1(x整理课件整理课件53非初等函数的例子非初等函数的例子（1）符号函数）符号函数 .0,1,0,0,0,1sgnxxxxyOyx 11 xxxsgn 注意注意整理课件整理课件54（2）取整函数）取整函数 ),1(:Zkkxkkxy 25.2 例如例如 35.2 Oyx11 2342 3 1231 2 3 注意注意 )(1Rxxxx 整理课件整理课件55函数表示的其他分类：函数表示的其他分类：（1）显函数）显函数（2）隐函数）隐函数（3）参数式函数）参数式函数)(x
31、fy 确定的函数确定的函数由方程由方程0),(yxF确确定定的的函函数数由由参参数数方方程程 )()(tyytxx整理课件整理课件56小结小结一、学数学、用数学、一、学数学、用数学、培养理性思维培养理性思维二、实数集有连续性二、实数集有连续性 有理数集是稠密的有理数集是稠密的整理课件整理课件57结束放映结束放映整理课件整理课件58整理课件整理课件59第一节第一节 函数函数（一）（一）经济数学模型经济数学模型 现实经济极端复杂，不可能一下子理解其全现实经济极端复杂，不可能一下子理解其全部内在联系；通常研究仅为经济问题的某一方面部内在联系；通常研究仅为经济问题的某一方面或一部分或一部分 合理的研究
32、方法是：根据目的，选择与问题合理的研究方法是：根据目的，选择与问题相关的基本因素和关系集中研究这种精心简化相关的基本因素和关系集中研究这种精心简化的分析结构为经济模型的分析结构为经济模型.用数学方程描述的经济模型结构为经济数学用数学方程描述的经济模型结构为经济数学模型这些方程把一定数量的变量联系起来，并模型这些方程把一定数量的变量联系起来，并给出采用的分析假设给出采用的分析假设.再通过计算可以推导出一再通过计算可以推导出一系列逻辑上服从这些假设的经济结论或理论系列逻辑上服从这些假设的经济结论或理论.整理课件整理课件60经济数学模型的方程通常分三种：经济数学模型的方程通常分三种：1.定义方程定义
33、方程具有同样含义的表达式间的关系；具有同样含义的表达式间的关系；例例2.行为方程行为方程,RCL收收入入、成成本本、利利润润记记为为、有有方方程程.LRCYCI国国民民总总产产值值、消消费费、投投资资 方方程程.YCI 其他变量变化时，某一变量其他变量变化时，某一变量(随之随之)的变化方式；的变化方式；例例Qp某某商商品品的的市市场场需需求求量量 随随价价格格 变变化化的的方方程程,0,0.Qabpab 整理课件整理课件61例例()()SQ某某商商品品生生产产 产产量量和和市市场场销销售售需需求求量量达达到到平平衡衡，有有方方程程3.平衡方程平衡方程涉及平衡概念建立的方程；涉及平衡概念建立的方程；.SQ .任任何何一一种种产产品品利利润润达达到到最最大大，都都必必有有收收入入增增长长速速度度与与成成本本增增长长速速度度达达到到平平衡衡建立方程需要描述增长建立方程需要描述增长“速度速度”.行为方程是反映一个变量随其他变量变化的行为方程是反映一个变量随其他变量变化的方式，而要进一步达到效益最佳，就需要研究随方式，而要进一步达到效益最佳，就需要研究随其他变量变化的变量的变化规律其他变量变化的变量的变化规律.(如增长速度等如增长速度等)整理课件整理课件62
