1、 第二章第二章 动力学普遍方程和拉各朗日动力学普遍方程和拉各朗日方程方程1.动力学普遍方程动力学普遍方程2.拉格朗日方程拉格朗日方程3.动能的广义速度表达式动能的广义速度表达式4.拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分5.碰撞问题的拉格朗日方程碰撞问题的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的应用举例拉格朗日方程的应用举例引言引言1：非自由质点系的动力学问题：非自由质点系的动力学问题12摆长不定，如何确定摆长不定，如何确定其摆动规律？其摆动规律？K混沌摆问题混沌摆问题多杆摆问题多杆摆问题引言引言2：惯性力的概念：惯性力的概念达朗伯（达朗伯（1717-1785）通过引入）通过引入惯性力惯性力的概念，建立
2、了著名的的概念，建立了著名的达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问题）；题）；约翰约翰伯努利（伯努利（1667-1748）于）于1717年精确表述了年精确表述了虚位移原理虚位移原理（建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中（建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中的平衡问题）；的平衡问题）；拉格朗日（拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程，到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程，进一步导出了拉格
3、朗日方程。进一步导出了拉格朗日方程。vPMl其加速度为其加速度为令令R=P+T则则ma=R=P+T摆锤摆锤M在受到在受到P、T的同时，将给施力体的同时，将给施力体（地心和绳子）一对应的反作用力，（地心和绳子）一对应的反作用力，反作用力的合力为反作用力的合力为TR=R=ma 此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力反作用力”，称为，称为惯性力惯性力。a n PTPTPTa na na nsin2lvaan 图示圆锥摆摆长为图示圆锥摆摆长为l，摆锤，摆锤M的质量的质量m，在水平面内作匀速圆周运动，速度为在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为锥摆的顶角
4、为2，摆锤摆锤 M 受力如图受力如图。RvRvRvR结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘积，方向与其加速度方向相反。积，方向与其加速度方向相反。若用若用Fg表示惯性力，则有表示惯性力，则有 Fg=ma说明：说明：1.此力是不是真实的力！此力是不是真实的力！2.此力作用于施力给质点的物体上！此力作用于施力给质点的物体上！3.此力又称为牛顿惯性力！此力又称为牛顿惯性力！引言引言3：达朗伯原理：达朗伯原理一、质点的达朗伯原理一、质
5、点的达朗伯原理设质点设质点M的质量为的质量为m，受力有，受力有主动力主动力F、约束反力约束反力FN，加速度为加速度为a，则根据牛顿，则根据牛顿第二定律，有第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma=F+FNFg=ma令令则则F+FN+Fg=0形式上的平衡方程形式上的平衡方程结论：结论：在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性力力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。这就是这就是质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理。二、质点系的达朗伯原理二、质点系的达朗
6、伯原理设质点系由设质点系由n个质点组成，个质点组成，第第i个质点质量为个质点质量为mi，受力有主动力，受力有主动力Fi，约束反力，约束反力FNi，加速度为，加速度为ai，假想地加上其惯性力，假想地加上其惯性力Fgi=miai，则根据质点的达朗伯原理，则根据质点的达朗伯原理，Fi、FNi与与Fgi应组成形式上的应组成形式上的平衡力系，即平衡力系，即对整个质点系来说对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式上的平衡力系上的平衡力系。Fi+FNi
7、+Fgi=0（i=1，2，n）MO(Fi)+MO(FNi)+MO(Fgi)=0Fi+FNi+Fgi=0质点系的质点系的达朗伯原理达朗伯原理即即或或1.动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物。动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物。设质点系由设质点系由n个质点组成，第个质点组成，第i个质点质量为个质点质量为mi，受主动力受主动力Fi，约束反力，约束反力FNi，加速度为，加速度为ai，虚加上虚加上其惯性力其惯性力Fgi=miaiFiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi则根据达朗伯原理，则根据达朗伯原理，Fi、FNi
8、与与Fgi，应组成形式上的平衡力系，即应组成形式上的平衡力系，即Fi+FNi+Fgi=0若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有0)(1niigiirFF9或或0)(1niiiiimraF动力学普遍方程动力学普遍方程表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和等于零。等于零。则则动力学普遍方程动力学普遍方程的坐标分解式为的坐标分解式为01niiiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX ,kj
9、iFiiiiZYX,kjiiiiizyxa ,kjiriiiizyx若若例例1.两均质轮质量皆为两均质轮质量皆为m1，半径皆为，半径皆为r，对轮心的转动惯量为，对轮心的转动惯量为J；中心用质量为；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为的连杆连接，在倾角为的斜面上的斜面上纯滚动纯滚动。求连杆的加速度。求连杆的加速度。研究整个系统，进行受力分析；研究整个系统，进行受力分析；解：解：设杆的加速度为设杆的加速度为a，则，则m2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN
10、1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasFg1=m1a，,raJJMgFg2=m2a，给连杆以平行于斜面向下给连杆以平行于斜面向下的虚位移的虚位移s，则相应地两则相应地两轮有转角虚位移轮有转角虚位移，且且rs根据动力学普根据动力学普遍方程，得遍方程，得:samm)2(21sgmmsin)2(2102rsraJsgmmsin)2(21sFFgg)2(2102gM于是于是解得解得gJrmmrmma2)2(sin)2(221221122.拉格朗日方程拉格朗日方程将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉格第二类拉格朗日方程朗日方程。111jjjkijjx
11、iijkijjyiijkijjziijfm xFxfm yFyfm zFz n个质点的系统受到个质点的系统受到k 个如个如下形式的完整约束下形式的完整约束fi,又若系统中又若系统中质量为质量为mj的第的第j个质点受主动力个质点受主动力Fj，则系统的运动满足，则系统的运动满足3n个方程个方程如左，称为如左，称为第一类拉格朗日方第一类拉格朗日方程程，i称为拉各朗日未定乘子。称为拉各朗日未定乘子。*第一类拉格朗日方程用到的较少第一类拉格朗日方程用到的较少设质点系由设质点系由n个质点组成，具有个质点组成，具有s个完整理想约束，则有个完整理想约束，则有N=3n-s个自由度（个自由度（广义坐标广义坐标）。
12、）。用用q1，q2，qN表示系统的广义坐标，第表示系统的广义坐标，第i个质点质量为个质点质量为mi，矢径为矢径为ri。则。则 ri=ri(q1，q2，qN，t)对上式求变分得对上式求变分得ttqqqqqqiNiiiiN2211rrrrrNikiqq1kr动力学普遍方程可写成动力学普遍方程可写成011niiiiniiimrarF其中其中nikNkkiiiniiiiqqmm111rrra Nkknikiiiqqm11rr 根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有NkkkniiiqQ11rFniiiiniiim11rarF011kNknikii
13、ikqqmQrr 因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标的变分的变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有是任意的，为使上式恒成立，须有01nikiiikqmQrr (k=1，2，N)广义力广义力广义惯性力广义惯性力以广义坐标表示的达朗伯原理以广义坐标表示的达朗伯原理对式对式111nnniiiki iiiiiiiikkkddQmmmqdtqdtqrrrrvv中广义惯性力进行变换：中广义惯性力进行变换：01nikiiikqmQrr kiiikiiikiiiqdtdmqdtdmqdtdmrvrvrvnikiiinikiiinikiiiqdt
14、dmqmqdtdm111rvrrrv kiiikiiiqdtdmqmrvrr 18将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材P46）iikkqqrr iikkddtqqrr（广义速度）广义速度）kq得得111nnniiii iiiiiiiikkkdmmmqdtqqrvvrvv1112nniiiiiiiikkdmmdtqqvvvv22111122nniiiiiikkdmmdtqqvv所以所以1nii iikkkdTmTqdtqqrr 代入第一项中的括号内代入第一项中的括号内代入第二项中的括号内代入第二项中的括号内得到得到这就是这就是第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方
15、程，是一个方程组，该方程组，是一个方程组，该方程组的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方程，方程，揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）则广义力则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式可写成质点系势能表达的形式kkqVQ于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成),2,1(,NkqVqTqTdtdkkk,(1,2,)kkkdTTQkNdtqq用函数用函数L表示系统的动能表示系统的动能T
16、与势能与势能V之差，即之差，即 L=TVL称为称为拉格朗日函数或动势拉格朗日函数或动势。则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为),2,1(0NkqLqLdtdkk若作用于质点系的主动力为有势力及非有势力两部分构成时若作用于质点系的主动力为有势力及非有势力两部分构成时kkkQqVQ),2,1(NkQqLqLdtdkkktqqLLkk,用拉格朗日方程的意义用拉格朗日方程的意义1.拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中的重要方程。的普遍方程，是分析力学中的重要方
17、程。2.拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量，是拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量，是用广义坐标表示的运动微分方程。用广义坐标表示的运动微分方程。3.拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能；拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能；对于保守力系统，只需要计算系统的动能和势能。对于保守力系统，只需要计算系统的动能和势能。用拉格朗日方程概述用拉格朗日方程概述1.静力学静力学：对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚：对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平衡方
18、程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。2.动力学：动力学：对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。
19、用拉格朗日方程解题的步骤用拉格朗日方程解题的步骤1.确定系统的自由度数（广义坐标数）；确定系统的自由度数（广义坐标数）；2.选广义坐标；选广义坐标；3.计算系统的动能计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；，且用广义速度来表示动能；4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；计算广义力（对保守系统可计算势能）；5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。rRMMO AM例例1 位于水平面内的行星轮机构中，质量为位于水平面内的行星轮机构中，质量为m1的均质细杆的均质细杆OA，可绕，可绕O轴转动，另一端装有质量为轴转动，另一端装有质量为m2、半径为、半径为
20、r的均质的均质小齿轮，小齿轮沿半径为小齿轮，小齿轮沿半径为R的的固定固定大齿轮大齿轮纯滚动纯滚动。当细杆。当细杆受力偶受力偶M的作用时，求细杆的角加速度的作用时，求细杆的角加速度 。OA25解：解：研究整个系统，选广义坐标研究整个系统，选广义坐标，OA则则OA)(rRvA系统的动能为系统的动能为221)(3121rRm2221)(92(121rRmmARMrO 221OJT=TOA+T轮2222121AAAJvm22222222121)(21rrRrmrRmP P P行星轮瞬心为行星轮瞬心为P，rrRrvAA)(角速度为角速度为vAvAvA26O AvARMr又关于广义坐标又关于广义坐标的广义
21、力的广义力为为代入代入Lagrange方程：方程：于是得于是得221)(92(6rRmmMOA FWQMMdTTQdt2121(29)()2,12TmmRr2121(29)()6dTmmRrdt0T2121(29)()6mmRrM27O例例2 质量为质量为m的质点悬在不计质量的软线上，线的另一端的质点悬在不计质量的软线上，线的另一端绕在半径为绕在半径为R的的固定圆柱固定圆柱上。设在平衡位置时，线的下垂上。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为部分长度为l。求此摆的运动微分方程。求此摆的运动微分方程。Rml l lRlOmm系统的动能为系统的动能为22)(21RlmT选选=0处为系统势能的零势点，处
22、为系统势能的零势点，则则V=mg（l+Rsin）（）（lR）cos系统的动势为系统的动势为VTL,)(2RlmL 22)()(2RlmRlmRLdtdsin)()(2RlmgRlmRLcos)()sin()(2122RlRlmgRlm解：此摆为单自由度保守系统，选广义坐标解：此摆为单自由度保守系统，选广义坐标，22)()(2RlmRlmRLdtdsin)()(2RlmgRlmRL已求得已求得0LLdtd将式上式代入保守系统的拉氏方程将式上式代入保守系统的拉氏方程得摆的运动微分方程得摆的运动微分方程0sin)(2gRRl O O O例例3 3 已知质量为已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上，质
23、量为的三棱柱放在光滑水平面上，质量为m2的均质圆柱体的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动。求由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动。求三棱柱的加速度。三棱柱的加速度。OO(设圆柱设圆柱o o的半径为的半径为r r)选选x1、x2为广义坐标，为广义坐标，x1x2O1x 1x 2x 圆柱中心的速度为圆柱中心的速度为 cos22122212xxxxvO圆柱的角速度为圆柱的角速度为rxO2vO解：解：系统具有两个自由度，系统具有两个自由度，o1o2所以，系统的动能为所以，系统的动能为21121xm cos43)(212122222121xxmxmxmm21121xmT2222121OOOJvm)cos
24、2(212122212xxxxm22222121rxrm则三棱柱速度为则三棱柱速度为,1x 加速度为加速度为1x x21x 1x 2x vOx21x 1x 2x vOx21x 1x 2x vO32x2x1x2Oo1o201xT02xTm1gFNm2gx1,111xQxTxTdtd,222xQxTxTdtd0cos)(22121xmxmm sincos2321222gmxmxm 联立解得：联立解得：222121cos2)(32sinmmmgmx 2221212cos2)(3sin)(2mmmgmmx 1xTdtd,cos)(22121xmxmm 2xTdtd,cos231222xmxm 代入代入
25、L程：程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1系统关于广义坐标系统关于广义坐标x1、x2的广义力的广义力分别为：分别为：,011xWQFxsinsin222222gmxxgmxWQFx例例5 5 杆杆OA与与AB以铰链相连，且以铰链相连，且OA=a，AB=b，O悬挂于圆悬挂于圆柱铰链上，柱铰链上，A、B处质点质量分别为处质点质量分别为 m1和和m2，各处摩擦及，各处摩擦及两杆质量均不计，求系统微幅摆动的微分方程。两杆质量均不计，求系统微幅摆动的微分方程。m1bam2OABvAvAvAvAbaOAB,1avA12则则解解 系统具有两个自由度，系统具有两个自由度，选选1、2
26、为广义坐标，为广义坐标，2bvBA)cos(212222BAABAABvvvvv系统动能为系统动能为212222122211221)(21abbamamT212222122abba21222222122121)(21abmbmamm1Tdtd221221)(abmamm01T2Tdtd12222 abmbm02TvAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA系统作微幅摆动，系统作微幅摆动，cos(21)11221系统受力如图。系统受力如图。m2g求系统关于广义坐标求系统关于广义坐标2的广义力：的广义力：112XOYO1211)(1gammWQF112111sinsingamgamWFm2gm1g22222gbmWQF222singbmWFm1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1 12 2b2b2b2a1a1a1a1a1a111sin22sin给给1，则，则给给2，则，则求系统关于广义坐标求系统关于广义坐标1的广义力：的广义力：36,111QTTdtd,222QTTdtd代入代入Lagrange方程：方程：121221221)()(gmmaabmamm 2222212gbmbmabm 0122121agabmmm 0221agab 化简得化简得
