1、11.2 高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换一、引一、引 入入二、高斯消元法与初等变换二、高斯消元法与初等变换三、初等矩阵三、初等矩阵2bAX 方方程程组组，其其中中 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211,21 nxxxX mbbbb21 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111就就是是,bAA 3齐次齐次方程组方程组：AX=0;非齐次非齐次方程组方程组：AX=b,b 0 (b中至少有一分量不为零中至少有一分量不为零)nxxxX21则称则称X为为AX=b的的解解：使得使得AX=b 成立成立，方方
2、程程组组成成立立使使得得即即nxx,.,1定义定义 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121114方程组方程组：AX=b问题问题方程组何时有解方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解若有解，有多少解？如何求出其全部解？5引例引例)1(,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342用消元法解下列方程组的过程用消元法解下列方程组的过程2 6解解)1(2 132 ,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 1
3、32 33 14 ,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx13427 ,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342 ,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422(2),0432 xxx8 ,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx1342 ,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的的方法求出解：方法求出解：于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x9 33
4、443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx 3344321xcxcxcx.为为任任意意常常数数其其中中c称称为为自自由由未未知知量量3x故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解10小结小结 1 1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（它们是下三种变换（它们是同解变换同解变换）（1 1）两个方程互换；）两个方程互换；（2 2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3 3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方
5、程的k倍倍称以上三种变换为称以上三种变换为线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换但线性方程组的初等变换，但线性方程组的初等变换，实际上只对实际上只对增广矩阵增广矩阵的系数作了相应的变化，的系数作了相应的变化，称为称为增广矩阵的初等行变换增广矩阵的初等行变换。11定义定义 下面三种变换称为下面三种变换称为矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换:对对调调两两行行1 乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数02 kikrki记作记作行乘行乘第第,另另一一行行对对应应的的元元素素上上去去倍倍加加到到把把某某一一行行所所有有元元素素的的 k3ijrkrikj 记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的
6、第第,jirrji记记作作两两行行对对调调,对换变换对换变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换12下面三种变换称为下面三种变换称为矩阵的初等列变换矩阵的初等列变换:ikcki记作记作列乘列乘第第,ijckcikj 记记作作列列上上倍倍加加到到第第列列的的第第,jiccji记记作作两两列列对对调调,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.对换变换对换变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换矩阵的矩阵的初等变换初等变换初等初等列列变换变换初等初等行行变换变换 13 ,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxx
7、xxxxx1342用矩阵的用矩阵的初等行变换初等行变换 解方程组解方程组（1）：）：97963422644121121112A21rr 213 r 97963211322111241211（1）1431232rrrr 413rr 322521rrr 423rr 97963211322111241211 34330635500222041211 3100062000011104121143rr 432rr 000003100001110412111512rr 23rr 对对应应的的方方程程组组为为 0033443231xxxxx.3为为任任意意常常数数其其中中x方程组的解为：方程组的解为：000
8、00310000111041211 00000310003011040101 33443231xxxxx16（2 2）零行）零行(元素全为元素全为0 0)都在下方。都在下方。（1 1）对于每个非零行）对于每个非零行(元素不全为元素不全为0 0)的非的非0 0首元首元都出现在上一行非都出现在上一行非0 0首元的右边；首元的右边；00000310000111041211是是行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 00000310203211045121不是不是行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵满足下列满足下列2 2个条件的矩阵称为个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵17（1 1）是行阶梯形矩阵；）是行阶梯形矩阵；00
9、000310000112041211不是不是简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵 00000310003011040101（2 2）每一非）每一非0 0行的非行的非0 0首元为首元为1 1；（3 3）每一非）每一非0 0首元首元1 1所在的列的其余元素均为所在的列的其余元素均为0 0；是是简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵满足下列满足下列3 3个条件的矩阵称为个条件的矩阵称为简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵18注注 对于任何矩阵，总可以经过有限次初等对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行行变换变换把它变为把它变为简化简化行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵行变换行变换 行行阶阶梯
10、梯形形矩矩阵阵行行变变换换 A高斯消元法高斯消元法解方程组的过程，解方程组的过程，就是对其增广矩阵做就是对其增广矩阵做初等行变换初等行变换的过程，的过程，目标是将增广矩阵化为目标是将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵。简化行阶梯形矩阵。19例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 .3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵进行对增广矩阵进行初等行变换初等行变换，322122351311321A 104501045011321 200001045011321故方程组无解故方程组无解312123rrrr 32rr 20 200001045011321
11、方程组无解方程组无解这时出现了矛盾方程这时出现了矛盾方程200004321 xxxx21例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 122312212121xxxxxx解解对增广矩阵进行对增广矩阵进行初等行变换初等行变换，112213121A312123rrrr 150150121 000511012132rr 512 r22故方程组有唯一解故方程组有唯一解122rr 00051105301 0005110121 515321xx对对应应的的方方程程组组为为23方程组有唯一解方程组有唯一解 00051105301这时这时未未知知量量的的个个数数 没出现矛盾方程，且没出现矛盾方程，且行阶梯形
12、矩阵行阶梯形矩阵有有2个非个非0行行（有（有2个非个非0首元）首元）24例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵进行对增广矩阵进行初等行变换初等行变换 2132111311101111A 2121001420001111 0000021210001111.00000212100211011 25.00000212100211011 2122143421xxxxx 2122143421xxxxx对对应应的的方方程程组组为为故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解称称为为自自由由未未知知量量42,xx26.00
13、000212100211011 方程组有无穷多解方程组有无穷多解这时这时未未知知量量的的个个数数 2122143421xxxxx称称为为自自由由未未知知量量42,xx故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解没出现矛盾方程，且没出现矛盾方程，且行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有有2个非个非0行行（有（有2个非个非0首元）首元）27 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组线性方程组一般情形一般情形 对对其其增广增广矩阵作矩阵作初等初等行行变换变换，总可以化为如，总可以化为如下形式的下形式的简化行阶梯矩阵简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的
14、（必要时交换未知量的下标）下标）28 1,112,212121,111110rrnrnrrrrnrnrnrnrddxcxcxdxcxcxdxcxcx方方程程组组为为对对应应的的 000000000000000001000100011,12,2211,111rrrnrrrnrnddccdccdcc行行初初等等变变换换,bAA 29 1,112,212121,111110rrnrnrrrrnrnrnrnrddxcxcxdxcxcxdxcxcx这个方程组与原方程组这个方程组与原方程组同解同解,.01时时，方方程程组组有有解解当当且且仅仅当当 rd有有解解时时当当,0)2(1 rd.,)(则则方方程程
15、组组有有无无穷穷多多解解若若nrB;,0)1(1无解无解当当 rd则则方方程程组组有有唯唯一一解解若若,)(nrA nndxdxdx ,221130 rnrnrrrrnnrrnnrrdxcxcxdxcxcxdxcxcx11,2211,221111,11nrrxxx,21 自由未知量自由未知量.解为解为31 00000,11,21212,11111nrnrrrrnrnrnrnrxcxcxxcxcxxcxcx当方程为当方程为齐次齐次方程组时，方程组时，零零解解；时时，则则齐齐次次方方程程组组只只有有当当nr )1(021 mbbb即即0121 rddd齐次齐次方程组方程组至少有一组零解至少有一组零
16、解穷穷多多组组非非零零解解；时时，则则齐齐次次方方程程组组有有无无当当nr )2(特别地，特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组方程个数少于未知量个数的齐次方程组:一定有一定有非零解非零解.)(01nmXAnmn 32例例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.0340222022432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 46304630122131212rrrr 0000342101221 00002102013435)3(232 rrr122rr 33 ,0342,0352432431xxxxxx).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此
17、即得 ,342,352432431xxxxxx方方程程组组为为对对应应的的 00002102013435齐次方程有齐次方程有无穷多解无穷多解，所以有所以有非零解非零解.34解线性方程组解线性方程组123423412423423410331730 xxxxxxxxxxxxx 解解 A12341011100024000480 0000002100011101432112341011101303107310 000184001350111043213512021010100012000000 10001010100012000000 简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵 0000002100011101
18、4321对应的方程组为对应的方程组为124341020 xxxxx 1243412xxxxx 即即任任意意常常数数4x方程组有无穷多解方程组有无穷多解.36例例 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAA 21111111 A 1111111231 rr37 11111112 3222111011011 32222120011011 22112100111011 3121rrrr 32rr 38 ,11时时当当 .方方程程组组有有无无穷穷多多解
19、解其其解解为为3211xxx .,32为为任任意意实实数数xx 22112100111011 000000001111A39 ,12时时当当 这时又分两种情形这时又分两种情形：:,2)1方程组有唯一解方程组有唯一解时时 .21,21,212321 xxx.故故方方程程组组无无解解,2)2时时 22112100111011 22120011011 A 300063304211A40等等价价，与与就就称称矩矩阵阵，矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵BABA矩阵的等价矩阵的等价.BA 记为：记为：初等变换的初等变换的逆变换逆变换仍为初等变换仍为初等变换,且变换类型相同且
20、变换类型相同jirr ikr逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(irkijrkr 逆变换逆变换.)(ijrrk 只只使使用用行行变变换换行行等等价价与与BA只使用列变换只使用列变换列等价列等价与与BA41矩阵等价关系的性质矩阵等价关系的性质;)1(AA 反身性反身性;)2(ABBA 对称性对称性.)3(CACBBA 且且传递性传递性42定义定义 由由单位矩阵单位矩阵 I 经过经过一次一次初等变换得到的方初等变换得到的方 阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等方阵.43 1101111011行行第第j行行第第i第第 列列i第第 列列j(1)
21、对调对调I中两行或两列，得中两行或两列，得初等初等对换对换矩阵矩阵.)(jirr)(jicc 或或ijE44 1111ccEi行行第第i第第 列列i(2)以数以数乘乘I 中某行或某列中某行或某列，得得初等初等倍乘倍乘矩阵矩阵.icricc或或0 c45 1111ccEij行行第第j行行第第i0 c行行上上加加到到第第行行乘乘以以的的第第将将jciI)3(第第 列列j第第 列列i 列列上上加加到到第第列列乘乘以以的的第第或或icjIjircr ijccc 或或得得初等初等倍加倍加矩阵矩阵.46 100001010 323122211211100001010)1(aaaaaa 3231121122
22、21aaaaaa,行对换行对换行与第行与第的第的第结果相当于结果相当于jiAAEij 232221131211aaaaaa 232122131112aaaaaa.列对换列对换列与第列与第的第的第结果相当于结果相当于jiAAEij计计算算例例12E12E47,)(ciAAcEi行乘行乘的第的第结果相当于结果相当于 232221131211aaaaaa 32312221121100010001)2(aaaaaac 323122211211cacaaaaa c00010001 232221131211caaacaaa.)(ciAcAEi列乘列乘的第的第结果相当于结果相当于 cE3 cE348 323
23、122211211100010013aaaaaac 3231222132123111aaaacaacaa,)(行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第结果相当于结果相当于jciAAcEij 232221131211aaaaaa 3321222113111211acaaaacaaa 10001001c.)(列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第结果相当于结果相当于icjAcAEij cE31 cE3149定理定理 设设A是是m n矩阵，矩阵，对对A施行一次初等施行一次初等列列变换，变换，相当于在相当于在A的的左左边乘一个相应的边乘一个相应的m阶初等矩阵；阶初等矩阵；相当于在相当于在A的的右右边乘一个相
24、应的边乘一个相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵对对A施行一次初等施行一次初等行行变换，变换，50对矩阵作一次初等对矩阵作一次初等行行(列列)变换变换在矩阵在矩阵左边左边(右边右边)乘以一个初等矩阵乘以一个初等矩阵同样的行为同样的行为矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算.51“左乘行，右乘列左乘行，右乘列”定理的应用：定理的应用：1.1.若矩阵若矩阵B是是A经有限次经有限次行行初等变换得到的，则存在初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵有限个初等矩阵E1,Ek,使得使得AEEEBkk11 2.2.若矩阵若矩阵B是是A经有限次经有限次列列初等变换得到的，则存在初等变换得到
25、的，则存在 有限个初等矩阵有限个初等矩阵E1,Ek,使得使得ttkQQAQPPB111 3.3.若矩阵若矩阵B是是A经有限次初等变换得到的，则存在经有限次初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵有限个初等矩阵P1,Pk,Q1,Qt使得使得kEEAEB21 52.543432321,001010100,100012001,:2121 BPPABPPA其其中中求求已已知知解解321210543 123012345例例 )2(12 E13E 543432321A13E)2(12 E13E53设矩阵设矩阵 323132332221222312111213333231232221131211,aaaaaa
26、aaaaaaBaaaaaaaaaA 001010100100011001100010011321PPP,.)(B则则 321331324321PAPPAPPAPAPP .4:答案答案)1(12E 13E)1(21E 54小小 结结1.初等行初等行(列列)变换变换 ;1jijiccrr ;2iikckr .3ijijckcrkr 3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性2.A初等变换初等变换B.BA 555.利用矩阵的利用矩阵的初等行变换初等行变换解线性方程组解线性方程组.目标为化方程组的增广矩阵为目标为化方程组的增广矩阵为简化简化行阶梯形矩行阶梯形矩阵阵，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解解还是无穷多解.4.单位矩阵单位矩阵I 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换).(cEij,ijE),(cEi56作业作业 P28 1(1)(3)(5)，3，4
