1、数学分析中央财经大学第九章 级数l傅里叶级数中央财经大学数学分析 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的周期运动，可用正弦函数种周期运动。最简单的周期运动，可用正弦函数 来描写。来描写。sinyAx (1)一、问题的提出(1)(1)也称为简谐振动，其中也称为简谐振动，其中 为振幅，为振幅，为初相角，为初相角，为角频率，于是简谐振动为角频率，于是简谐振动 的周期是的周期是 。Ay2T 中央财经大学数学分析 sinkkkyAk x 1,2,kn 11sinnnkkkkkyyAkx的叠加的叠加2）（较为复杂的周期运动，则常是几个简
2、谐振动较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动中央财经大学数学分析如：非正弦周期函数如：非正弦周期函数:矩形波矩形波otu11 tttu0,10,1)(当当当当可以由不同频率正弦波逐个叠加逼近得到可以由不同频率正弦波逐个叠加逼近得到,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 中央财经大学数学分析tusin4 中央财经大学数学分析)3sin31(sin4ttu 中央财经大学数学分析)5sin513sin31(sin4tttu 中央财经大学数学分析)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 中央财经大学数学分析)7sin715sin513sin31(sin4)
3、(tttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 中央财经大学数学分析 01sinnnnAAn x 若级数（若级数（3 3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。对于级数（动现象。对于级数（3 3），只要讨论），只要讨论 （如果（如果 ，可用可用 代替）的情形。由于代替）的情形。由于所以所以 1 1 x x sinsincoscossinnnnnxnxnx 01sinnnnAAnx 01sincoscossinnnnnnAAnxAnx （3）（3）再看几个简谐振动的叠加几个简谐振动的叠加中央财经大学数
4、学分析记记 ,则级数（则级数（3 3）可写成）可写成002aA sinnnnAa cosnnnAb 1,2,n 01cossin2nnnaanxbnx 它是由三角函数列（也称为三角函数系）它是由三角函数列（也称为三角函数系）1，,cos xsin xcos2xsin2xcosnxsinnx（4）所产生的一般形式的三角函数。所产生的一般形式的三角函数。中央财经大学数学分析定义定义.三角级数三角级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题:10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有1.若能展开若能展开,是什么是什么?iiba,2.展开的条件是什么展开的条件是什么?二、三
5、角级数、三角函数系的正交性中央财经大学数学分析1.三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx.,:上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交正交 ,0cos nxdx,0sin nxdx三角函数系三角函数系),3,2,1(n二、三角级数、三角函数系的正交性中央财经大学数学分析,0sinsin nmnmnxdxmx,0coscos nmnmnxdxmx.0cossin nxdxmx),2,1,(nm其其中中中央财经大学数学分析三、函数展开成傅里叶级数问题问题:1.若能展开若能展开,是什么是什么?iiba,2.展开的条件是什
6、么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk)sincos(2)(10 且等式右边级数一致收敛。中央财经大学数学分析,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk中央财经大学数学分析 nxdxan2cos,na nxdxxfancos)(1),3,2,1(n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1),3,2,1(
7、n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk,nb中央财经大学数学分析 ),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅里叶系数傅里叶系数中央财经大学数学分析傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题:10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条条件件f的傅里叶系数为系数的三角级数称为的傅里叶系数为系数的三角级数称为（关于三角函数系）关于三角函数
8、系）傅里叶级数傅里叶级数，记作，记作以以中央财经大学数学分析2.狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)(3)(3)当当x为端点为端点 x时时,收敛于收敛于2)0()0(ff.中央财经大学数学分析解解例例 1 以以 2为为周周期期的的矩矩形形脉脉冲冲的的波波形形 tEtEtumm,0,)(将将其其展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数.otumEmE 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.),2,1,0(处处不不连连续续在在点点 kkt2mmEE 收收敛敛于于2)(mmEE ,0 中央财经大学数学分析).(,tukt收收敛敛于于时时当当 和函数图
9、象为和函数图象为otumEmE ntdttuancos)(1 00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm),2,1,0(0 n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm中央财经大学数学分析)cos1(2 nnEm)1(12nmnE ,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2,0;(tt所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为中央财经大学数学分析注意注意:对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在只在区间区间 上有定义上有定义,并且满足狄氏充并且满足狄氏充分条件分条件
10、,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.)(xf,作法作法:),()()()2(xfxFT周周期期延延拓拓)0()0(21 ff端端点点处处收收敛敛于于中央财经大学数学分析例例 2 将将函函数数 xxxxxf0,0,)(展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .)(xf,xy0 2 2 中央财经大学数学分析 nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxd
11、xx,中央财经大学数学分析 ,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx,0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)(x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为),3,2,1(n中央财经大学数学分析四、奇函数和偶函数的傅里叶级数(1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ),2,1(sin)(2),2,1,0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅
12、里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.中央财经大学数学分析(2 2)当当周周期期为为 2的的偶偶函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为),2,1(0),2,1,0(cos)(20 nbnnxdxxfann证明证明,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxxfancos)(10),3,2,1,0(n奇函数奇函数中央财经大学数学分析 0sin)(2nxdxxf),3,2,1(n同理可证同理可证(2)定义
13、定义 如果如果)(xf为奇函数为奇函数,傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数.如果如果)(xf为偶函数为偶函数,傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数.nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕.中央财经大学数学分析例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在),上上的的表表达达式式为为xxf)(,将将)(xf展展开开成成傅傅氏氏级级数数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.,),2,1,0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)0()0(ff收收敛敛于于2)(,0
14、),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 中央财经大学数学分析 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象),2,1,0(,0 nan中央财经大学数学分析 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn),2,1(n)3sin312sin21(sin2)(xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;(xx中央财经大学数学分析例例 2 2 将将周周期期函函数数tEtusin)(展展开开成成傅傅氏氏级级数数,其其中中E是是正正常常数数.解解
15、所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个在整个数轴上连续数轴上连续.,)(为偶函数为偶函数tu,0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E),2,1(n中央财经大学数学分析 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12,02,1)2(42knknkE当当当当),2,1(k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1(n中央财经大学数学分析 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE,0)6cos3514cos1512cos3121(4)(tttEtu
16、)(t.142cos21212 nnnxE中央财经大学数学分析五、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2,0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()(xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况.偶偶延延拓拓奇奇延延拓拓中央财经大学数学分析奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0(x中央财经大学数学分析偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxf
17、xF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0(xxy0 中央财经大学数学分析例例 3 3 将将函函数数)0(1)(xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数.解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn ,6,4,22,5,3,122nnnn当当当当中央财经大学数学分析3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0(x中央财经大学数学分析(2)(2)求余弦级数求余弦级数.,)(进进行行偶偶延延拓拓对对xf 0
18、0)1(2dxxa,2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn ,5,3,14,6,4,202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0(x中央财经大学数学分析六、以2l为周期的傅氏级数,2lT .2lT 定理定理式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开定理的条件定理的条件满足收敛满足收敛的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入傅氏级数中代入傅氏级数中中央财经大学数学分析为为其其中中系系数数nnba,),2,1,0(,cos)
19、(1 ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(为为奇奇函函数数如如果果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其其中中系系数数),2,1(n中央财经大学数学分析,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其其中中系系数数),2,1,0(n中央财经大学数学分析k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2,2 上的表达式为上的表达式为 20020)(x
20、kxxf,将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数.解解.,2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 2002021021kdxdxa,k 中央财经大学数学分析 202cos21xdxnk,0 202sin21xdxnkbn)cos1(nnk,6,4,20,5,3,12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf),4,2,0;(xx na),2,1(np 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will Be学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
