1、2023-8-17Automatic Control Theory19-3 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换对线性系统进行非奇异变换的目的:便于系统分析与综合设计线性变换后的典型形式:将系统矩阵对角化、约当化系统矩阵对角化、约当化A,b化为可控标准型化为可控标准型、A,c化为可观测标准型化为可观测标准型系统结构分解系统结构分解、状态空间表达式的线性变换、状态空间表达式的线性变换设动态系统描述为uAbxxcxy令xxPxx1 PP是线性非奇异变换阵uAPPbxxuAuPAPPbxbxx11xcxcPy2023-8-17Automatic Control Theory2非奇异变换的目的
2、使得 规范化，便于分析和计算 （1）化 A 阵为对角型1)设 为任意形式的方阵，有n个互不相同的实数特征值n,1AA几种常用的线性变换关系n,1是以下特征方程的解0)det(AIAInAPPA2112023-8-17Automatic Control Theory3,221pppP非奇异变换阵有实数特征向量组成特征向量满足以下方程式：0)(,iiiiiAAppp或2）若 为友矩阵，具有n个互不相同的特征值An,1110100001000010naaaA2023-8-17Automatic Control Theory4nAPPA21111122221211111nnnnnP则范德蒙特矩阵202
3、3-8-17Automatic Control Theory53）设 A 阵具有 m 重实数特征值 ，其余为（n-m）个互不相同的实数特征值，在求解)1(miAiiipp时仍然有m个独立的实特征向量mppp,21nmmAPPA111,11nmmPppppm 12023-8-17Automatic Control Theory6例1：将下列状态方程化为对角线型u321100010542xx 解：特征方程0)1)(2(100010542)det(2AIAI1,23212023-8-17Automatic Control Theory70)(11pAI0100010540131211ppp0011p
4、0)(22pAI0000000541232221ppp0142p1053p0)(32pAI0000000541333231ppp2023-8-17Automatic Control Theory8100010541321pppP1000100021APPA32241bbP（2）化）化 阵为阵为 Jordan 型型A1)设 A矩阵具有 m 重实数特征值 ，其余为（n-m）个互不相同的实数特征值，在求解m 12023-8-17Automatic Control Theory9)1(miAiiipp时，只有一个独立的实特征向量1p只能化 A 为Jordan 型矩阵nmAPPAJ111111100Jo
5、rdan块,11nmmPpppp2023-8-17Automatic Control Theory10m 1mppp,21这时 是广义实特征向量，满足,11,11111mmAppppnmpp,1是互不相同特征值对应的特征向量2)若A为友矩阵（可控标准型的A矩阵）只有一个独立的实特征向量1pTn1112111p)1(miAiiipp2023-8-17Automatic Control Theory111-m11212n1m11111ppppppmP3)设A阵有五重特征值 51 有两个独立的实特征向量1p)1(miAiiipp2p其余(n-5)个特征值为互异，可能化 A 为如下Jordan 型矩阵
6、nmAPPAJ11111111112023-8-17Automatic Control Theory126122212n1111pppppppP（3）化可控系统为可控标准型）化可控系统为可控标准型单输入系统的可控标准型uaaaun100100001000010110 xbAxx2023-8-17Automatic Control Theory13可控性矩阵可控性矩阵1bbbncAAS一个不具有可控标准型的可控系统，可以通过线性变换化为可控标准型。ubAxx设zx1 PuPPPbzAz1100,1000010000101101bPaaaPAPn2023-8-17Automatic Control
7、 Theory14变换阵 P 可由以下计算获得：nPppp21设变换阵(1)计算()计算1bbbncAAS111bbbncAASnnnnnncSSSSSSSSSS21222211121112023-8-17Automatic Control Theory15()选择211nnnnSSSp()构造1111nAAPppp()计算1P2023-8-17Automatic Control Theory16、对偶原理（略）、对偶原理（略）、非奇异线性变换的不变性、非奇异线性变换的不变性BuA xx uxyDCxxPuxxBPAPP11uxyDCP令(1)变换后的系统特征值不变变换后的系统特征值不变AIA
8、IPPAIPPPAIPPAIPAPPPPAPPIAPPI11111111)()det(2023-8-17Automatic Control Theory17(2)变换后的系统传递矩阵不变变换后的系统传递矩阵不变)()()()()()()(11111111111111sGDBAsICDBPPAsICPPDBPPAsIPCPDBPAPPsPPCPDBPAPPsICPsG(3)变换后的系统可控性不变变换后的系统可控性不变(4)变换后的系统可观测性不变变换后的系统可观测性不变2023-8-17Automatic Control Theory184、线性定常系统的结构分解、线性定常系统的结构分解一个不可
9、控系统，必然含有“可控”和“不可控”两种状态一个状态不完全可观测的系统，必然含有“可观测”和“不可观测”两部分状态从可控性、可观测性出发，状态变量可以分为：cox可控可观测：ocx不可控不可观测：ocx可控不可观测：ocx不可控可观测：若系统状态不完全可控、不完全可观测，则可通过线性非奇异变换，将系统分解为上述四类子系统：系统的规范分解2023-8-17Automatic Control Theory19（1）系统按可控性结构分解）系统按可控性结构分解设：不完全可控系统uxxBA xyC若可控性矩阵)(1nrrBAABBSrankncnrrsss,21从 中选择 个线性无关的列向量rsss,2
10、1cSr另任意选 个维的线性无关的列向量)(rn n,21211nrrrPssssss构造一个非奇异变换阵ccPxxx1uxxxxPBPAPcccc1ccCPxxy12023-8-17Automatic Control Theory2022121110AAAPAP01BPB211CCCPuxxx11211BAAcccccA xx222121yyxxyccCC可控子系统：不可控子系统：uxxx11211BAAccccC xy11ccA xx22cC xy222023-8-17Automatic Control Theory21s11ycx ucx1B11A1C12A2ycxs1cx 22A2C特
11、点：特点：）rBABABrankBABABrankPBPAPPBPAPBPrankBAABBPrankBAABBrankSranknnnnnc000)(1111111111111111111112023-8-17Automatic Control Theory221111111221221211111121111221211211111)(0)(0)()()(00)()()(BAsICBAsIAsIAAsIAsICCBAAAsICCPBPAPsICPBAsICsG22A ）若不可控子系统的仅含稳定的特征值，以保证系统稳定。3）由于 的不唯一性，可控性结构分解是不唯一的。1P2023-8-17A
12、utomatic Control Theory23 5）可控性结构分解实际上为判断系统可控性提供了一个准则。xxxPcc 4）可控子系统的稳定性由 的特征值所决定，不可控子系统的稳定性由 的特征值所决定11A22A（2）系统按可观测性结构分解）系统按可观测性结构分解设：不完全可观测控系统uxxBA xyC若可观测性矩阵)(1nllCACACSranknc2023-8-17Automatic Control Theory24从 中选择 个线性无关的行向量lttt,21oSl另任意选 个维的线性无关的行向量)(ln nnllttt,21nllTtttt11构造一个非奇异变换阵ooTxxx1uxxx
13、xTBTAToooo1ooCTxxy12023-8-17Automatic Control Theory2522211110AAATAT21BBTB011CCT可观测子系统：不可观测子系统：uxx111BAoooC xy11uxxx22221BAAooo2023-8-17Automatic Control Theory26（3）系统结构的规范分解）系统结构的规范分解设：不完全可控、不完全可观测控系统uxxBA xyC1）进行可控性分解cccTxxx12）对可控子系统进行可观测性分解cT根据可控性矩阵构造occoocTxxx111oT根据可控子系统的可观测矩阵构造2023-8-17Automat
14、ic Control Theory273）对不可控子系统进行可观测性分解ocococTxxx122oT根据不可控子系统的可观测矩阵构造ocococcoocococcoococococTTTTTTTTTxxxxxxxxx11211211111112023-8-17Automatic Control Theory28uxxxxxxxx00000000021444333242322211311BBAAAAAAAAAocococcoocococcoocococcoCCxxxxyyyy003143212023-8-17Automatic Control Theory29不可控不可观测子系统：ococA
15、xx3304y不可控可观测子系统：ocC xy33ocococAAxxx4443可控可观测子系统：uxxx11211BAAoccoco可控不可观测子系统：uxxxxx224232221BAAAAocococcooc02ycoC xy11系统特征值：)det()det()det()det()det(44332211AIAIAIAIAI2023-8-17Automatic Control Theory30)()(000000000)(0000000000000)(11111211112121144433324232221131121sGBAsICBBAsICCBBAsIAAsIAAAsIAAAsICCsGco系统传递函数矩阵：2023-8-17Automatic Control Theory31
