1、.11.1 二阶线性偏微分方程的行波解二阶线性偏微分方程的行波解 通解法中有一种特殊的解法通解法中有一种特殊的解法行波法行波法,即以自变量的线即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程简单二阶线性偏微分方程0 xxxyyyaubucu (11.1.1)方程中的系数方程中的系数,a b c为实常数为实常数,
2、a b c(,)x y（说明说明：这里我们用了小写字母：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是表示它是实常数，而不是的函数）的函数）.假设方程的行波解具有下列形式假设方程的行波解具有下列形式 (,)()u x yF yx (11.1.2)代入方程即得代入方程即得2()()()0a F yxb F yxcF yx需要求方程的非零解，故需要求方程的非零解，故()0Fxx20abc (11.1.3).(i)240bac，对应于双曲型方程对应于双曲型方程，式（，式（11.1.3）有两个不同的实根有两个不同的实根 12,，则，则12(,)()()u x yF yxG yx(11.1.4)240bac
3、 122ba(ii)，对应于抛物型方程对应于抛物型方程，式（，式（11.1.3），则，则有相等的实根有相等的实根11(,)()()u x yF yxxG yx(11.1.5).240bac 12i,i(iii)，对应于椭圆型方程对应于椭圆型方程，式（，式（11.1.3），则，则有两个虚根有两个虚根12(,)()()()i()iu x yF yxG yxF yxxG yxx(11.1.6)2.更为一般的含实常系数的偏微分方程更为一般的含实常系数的偏微分方程 如果方程具有更一般的形式如果方程具有更一般的形式222220uuuuuabcdefuxx yyxy (11.1.7).其中其中,a b c
4、d e f均为实常数我们可以令均为实常数我们可以令(,)px qyu x ye(11.1.8)代入方程（代入方程（11.1.7）得）得220apbpqcqdpeqf(11.1.9)2(i)40,bac12(),()q p qp 双曲型，上述方程有两个不同的实根双曲型，上述方程有两个不同的实根，则，则.12()()12(,)px qp ypx qp yu x ycec e (11.1.10)2(ii)40,bac12()()q pqp 抛物型，上述方程有相等的实根抛物型，上述方程有相等的实根 ，则，则11()()12(,)px q p ypx q p yu x ycec xe (11.1.11)
5、（注明注明：上式中的第二项乘以：上式中的第二项乘以x是为了保证两根线性独立）是为了保证两根线性独立）.2(iii)40,bac12()()i(),()()i()qpppqppp 双曲型，上述方程有两个共轭虚根双曲型，上述方程有两个共轭虚根 则则ii12(,)pxyypxyyu x yc ec e (11.1.12).本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.11.2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为2=0 (11.2
6、.1)(,0)()(11.2.2)(,0)()ttxxtuauu xxu xx (11.2.3),0,0 xta 112 达朗贝尔公式达朗贝尔公式.容易得知偏微分方程的判别式容易得知偏微分方程的判别式240a，该方程为，该方程为双曲型双曲型 由由 220 a12,aa 泛定方程（泛定方程（11.2.1）的通解为）的通解为 12(,)()()u x tF xatF xat(11.2.4)其中其中12,F F是任意两个连续二次可微函数我们使用初始是任意两个连续二次可微函数我们使用初始条件条件.即（即（11.2.2）和）和(11.2.3)式可确定式可确定12,F F函数函数 （注注：本问题由于涉及无
7、界弦问题，故没有边界条件，只有：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件）初始条件）由初始条件得到由初始条件得到12(,0)()()()u xF xF xx (11.2.5)12()()()axaFxxF (11.2.6).将上式积分得到将上式积分得到 0121()()()dxxF xF xca (11.2.7)0,xc0 xx其中其中均为常数其中均为常数其中c可以通过上式令可以通过上式令代入确定，即为代入确定，即为1020()()cF xF x由式由式(11.2.5)和和(11.2.7)联立求解得到联立求解得到.001102021020111()()()d()()222111(
8、)()()d()()222xxxxF xxF xF xaF xxF xF xa (11.2.8)代入代入(11.2.4)得到定解问题的解得到定解问题的解11(,)()()()d22x atx atu x tx atx ata (11.2.9)()x()x当函数当函数是二次连续函数，函数是二次连续函数，函数是一次连续是一次连续.可微的函数时，可微的函数时，(11.2.9)式即为无界弦自由振动定解问题的解，表式即为无界弦自由振动定解问题的解，表达式达式(11.2.9)称为称为达朗贝尔达朗贝尔(D.Alembert)公式公式.无界弦自由振动定解无界弦自由振动定解问题的解称为问题的解称为达朗贝尔解达朗
9、贝尔解.11.3 达朗贝尔公式的应用达朗贝尔公式的应用 为了加深对达朗贝尔公式的理解，让我们来讨论达朗贝尔为了加深对达朗贝尔公式的理解，让我们来讨论达朗贝尔公式的应用公式的应用.齐次方程类型主要讨论自由振动问题齐次方程类型主要讨论自由振动问题,即没有强迫力作用，即没有强迫力作用，故泛定方程是齐次的故泛定方程是齐次的.可以可以直接利用达朗贝尔公式求解直接利用达朗贝尔公式求解.11.3.1.齐次偏微分方程求解齐次偏微分方程求解 例例11.3.1 已知初始速度为零，初始位移如图已知初始速度为零，初始位移如图11.1所示的无界所示的无界弦振动，求此振动过程中的位移弦振动，求此振动过程中的位移.【解】【
10、解】根据达朗贝尔公式，根据达朗贝尔公式，初始速度初始速度.()0 x)(x),(21xx221xxx0u，而初始位移，而初始位移只在区间只在区间上不为零，且在上不为零，且在处达到最大值处达到最大值图图11.1所示，得到定解问题：所示，得到定解问题：，如，如112012121202212 ()2()2 ()20 x xxxuxxxxxxxxxuxxxx 12 (,)xx x.根据达朗贝尔公式（根据达朗贝尔公式（11.2.9）即得位移为）即得位移为)(21)(21),(atxatxtxu0)(x)(x),(21xx例例11.3.2 设初始位移为零即设初始位移为零即，而且初速度，而且初速度也只在区间
11、也只在区间上不为零上不为零01212,(,)()0,(,)xx xxxx x（11.3.1）.的无界弦振动，求此振动过程的位移分布的无界弦振动，求此振动过程的位移分布.【解】解】由达朗贝尔公式（由达朗贝尔公式（11.2.9）得）得11(,)()d()d()()22x atx atu xtx atx ataa 根据根据(11.3.1)得得(11.3.2)1101221020()11()()d()()221()()2x atx atxxxxxxxxaaxxxxa（11.3.3）.这里这里指的是指的是（图（图11.1）的曲线。）的曲线。()x()x由公式由公式(11.3.2),可作出可作出和和 两个
12、图形，让它们以速度两个图形，让它们以速度a移动，两者的和就描画出各个时刻的波形，由此即得出移动，两者的和就描画出各个时刻的波形，由此即得出位移分布位移分布分别向左、右两个方向分别向左、右两个方向.11.3.2 非齐次偏微分方程的求解非齐次偏微分方程的求解 1.纯强迫振动定解问题纯强迫振动定解问题 冲量原理法求解冲量原理法求解欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的）欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的）(,)f x t所引起振动的定解问题：所引起振动的定解问题：2(,),(,0)(,0)0,(,0)0ttxxtua uf x txtu xu x (11.3.4).根据其
13、物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列前后根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列前后相继的瞬时冲量相继的瞬时冲量(,)(0)f xt所引起的振动所引起的振动20 (,)(,)0,(,)(,)ttxxtaxtxxf x vvvv (11.3.5)的解的解(,;)x tv的叠加的叠加.而这种用瞬时冲量的叠加而这种用瞬时冲量的叠加0(,)(,;)dtu x tx tv.代替持续作用力来解决定解问题的方法称为冲量原理法代替持续作用力来解决定解问题的方法称为冲量原理法.这样这样纯强迫振动定解问题纯强迫振动定解问题(11.3.4)的解的解为为()0()1(,)(,)d d2tx a tx a t
14、u x tfa (11.3.6)例例11.3.3 求解定解问题求解定解问题 2,(,0)(,0)0,(,0)0ttxxtuaux atxtu xu x .【解】【解】由公式由公式(11.4.20)有有2()()()0()023011(,)d()dd 222()()d26tx a ttx a tx a tx a ttu x taaaaxtatx ta t2 一般的强迫振动的定解问题一般的强迫振动的定解问题 对于一般的情形，则振动方程非齐次，且初始条件也非对于一般的情形，则振动方程非齐次，且初始条件也非齐次齐次.即为下列定解问题即为下列定解问题.2(,),(,0)(,0)(),(,0)()ttxx
15、tua uf x txtu xxu xx (11.3.7)按照叠加原理可令其解为按照叠加原理可令其解为IIIuuu使使Iu满足自由振动定解问题满足自由振动定解问题20,(,0)(,0)(),(,0)()ttxxtua uxtu xxu xx (11.3.8).使使IIu满足纯强迫振动定解问题满足纯强迫振动定解问题(11.3.7).故故Iu为由自由振动定解问题的达朗贝尔解为由自由振动定解问题的达朗贝尔解(11.2.9)，IIu为纯强迫振动的解为纯强迫振动的解(11.3.6)式式.故故()0()111(,)()()()d(,)d d222 x attx a tx atx a tu x tx atx
16、 atfaa (11.3.7)对于其它任何的线性定解问题，均可采用类似于上面对于其它任何的线性定解问题，均可采用类似于上面的方法，将之分解为若干个易于求解的定解问题，然后求得的方法，将之分解为若干个易于求解的定解问题，然后求得它的解它的解.11.4 定解问题的适定性验证定解问题的适定性验证 定解问题来自于实际，它的解也应该回到实际中去定解问题来自于实际，它的解也应该回到实际中去.为此，应当为此，应当要求定解问题满足：（）有解，（）其解是唯一的要求定解问题满足：（）有解，（）其解是唯一的,（）解（）解是稳定的解的存在性和唯一性这两个要求明白懂至于第三个是稳定的解的存在性和唯一性这两个要求明白懂至
17、于第三个要求即稳定性说的是：如果定界条件的数值有微的改变，解的数要求即稳定性说的是：如果定界条件的数值有微的改变，解的数值也只作细微的改变值也只作细微的改变.现在以达朗贝尔解为例，验证其解的适定性现在以达朗贝尔解为例，验证其解的适定性2)(Cx)(x2C1)(Cx 1如果如果（即（即具有二阶连续导数，以具有二阶连续导数，以表示），表示），不难直接验证它确实满足定解问，不难直接验证它确实满足定解问题的泛定方程和初始条件即解是存在的题的泛定方程和初始条件即解是存在的2.在推导达朗贝尔公式的过程中，没有对所求解的在推导达朗贝尔公式的过程中，没有对所求解的(,)u x t作过任何假定和限制，凡满足泛定方程和初始条件的解必可作过任何假定和限制，凡满足泛定方程和初始条件的解必可表为达朗贝尔公式表为达朗贝尔公式(11.2.9)即解是唯一的即解是唯一的.3.证明达朗贝尔解（证明达朗贝尔解（11.2.9）的稳定性）的稳定性.
