1、2023年7月30日星期日理论力学理论力学 第第13章章 虚位虚位移原理及拉格朗日方程移原理及拉格朗日方程 目目 录录Theoretical Mechanics 返回首页 返回首页Theoretical Mechanics13.1 主要内容主要内容 Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内容 13.1.1 虚位移的基本概念虚位移的基本概念 .约束及其分类 （1）约束和约束方程 非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。（2）约束的分类 a.几何约束和运动约束 b.定常约束和非定常约束 c.完整约束和非完整约束
2、 d.双面约束和单面约束 约束方程的一般形式应为i1,2,n，j1,2,s Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内容 .自由度 广义坐标 （1）自由度 a.设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。则自由度数k为k3ns 若质点系为平面问题，则k2ns b.设某质点系由n个刚体、s个完整约束组成。则自由度数k为k6ns 若为平面问题，则为k3ns （2）广义坐标 用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内
3、容 13.1.2 虚位移虚位移 虚功虚功 （）在给定的位置上，质点系为所有约束所允许的无限小位移，称为此质点或质点系的虚位移。虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所允许的位移；第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移；虚位移用ri表示，以区别于实位移dri。这里的“”是等时变分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中,它的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。（2）虚功 作用于质点上的力在该质点的虚位移中所做的元功称为虚功，则虚功的表达式为 Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内容 （3）理想约束 在质点系的任何虚位移中，如果约束力所
4、做的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。则理想约束的条件可以表示为 例如：光滑面约束；光滑铰链约束；对纯滚动刚体的固定面约束；无重钢杆(二力杆)约束；不可伸长的绳索约束。都是理想约束。Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内容 13.1.3 虚位移原理及应用虚位移原理及应用 （）虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所做的虚功之和等于零，即即 以上各式也称为虚功方程。虚位移原理的矢量表达式为在直角坐标系的投影表达式 Theoretical Mechanics 返回首页13
5、.1 13.1 主要内容主要内容 （2）虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。a.已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置。b.已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力。在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使待求的内力或约束力“转化”为主动力。（3）用广义力表示质点系的平衡条件 具有完整、双面、定常的理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义力均等于零，即即Qh0 h1,2,k 直角坐标系下的广义力表达式为也可用几何法表示为 Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内容 13.1
6、.413.1.4平衡稳定性的概念平衡稳定性的概念 在保守系统中：(1)受到微小的扰动而偏离平衡位置后，它能返回到原平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡。(2)受到微小的扰动后，再也不能回到原平衡位置，这种平衡状态称为不稳定平衡。(3)不论在哪个位置，总是平衡的，这种平衡状态称为随遇平衡。单自由度系统平衡稳定性的判别方法：如果质点系在坐标q=qo的位置上是平衡的，那么它的势能具有极值，即 Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内容若若稳定平衡不稳定平衡则该系统处于随遇平衡状态。若稳定平衡状态反之，则为不稳定平衡状态。若 则需要分析更高的偶数阶导数的正、
7、负性质，才能判别平衡的稳定性。若 Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内容 13.1.5 动力学普遍方程动力学普遍方程 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所做虚功之和等于零，即这就是动力学普遍方程（也称为达朗贝尔拉格朗日方程）。写成直角坐标系上的投影式为在动力学普遍方程中不包含约束力。Theoretical Mechanics 返回首页13.1 13.1 主要内容主要内容 13.1.6 13.1.6 拉格朗日方程拉格朗日方程 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立了动力学普遍方程，避免了理想约
8、束力的出现，再将普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，可导出第二类拉格朗日方程，实现用最少数目的方程描述动力系统，即 这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数，称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。h=1,2,k若引入拉格朗日函数：保守系统的拉格朗日方程。返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回首页13.2 13.2 基本要求基本要求13.2 基本要求基本要求 .对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的概念。.会计算虚位移的关系（几何法、虚速度法、变分法）。能正确地运用虚位
9、移院里求解物系的平衡问题。.对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解，并会计算广义力。.理解动力学普通方程的基本概念。能正确运用动力学普通方程解决动力学问题。.能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题，并判断物体运动的稳定性。返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回首页13.3 13.3 重点讨论重点讨论13.3 重点讨论重点讨论 用虚位移原理求解质点系的平衡问题，其实质是利用动力学中虚功的概念。对于理想约束系统，其约束力不包括在虚功方程中，虚功方程中只包含质点系所受的主动力（包括解除约束按主动力处理的约束力）。所
10、以能够容易地求解出平衡时所受主动力之间的关系，这是虚位移原理最大的优点。在一般问题中，虚功方程可比较容易的写出，而关键的问题是找出质点系中各力作用处相应的虚位移之间的关系。动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯性力，再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法，拉格朗日方程是在其基础上推导出的结果，利用拉格朗日方程求解动力学问题，其关键问题是正确地选择广义坐标，并写出用广义坐标表示的动能和势能表达式，其他问题就是严格的数学求解问题了。它对于解决多自由度的动力学问题，提供了简便的方法，但物理意义不明确。返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mech
11、anics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析 例例13-1 椭圆规机构，连杆椭圆规机构，连杆AB长长l，铰链为光滑的，求在，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小图示位置平衡时，主动力大小P和和Q之间的关系。之间的关系。解：研究整个机构。系统的所解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。有约束都是完整、定常、理想的。1 1、虚速度法：使、虚速度法：使A A发生虚发生虚位移位移 ，B的虚位移的虚位移 ，则，则由虚位移原理，得虚功方程：由虚位移原理，得虚功方程：由于由于 得得虚位移关系（投影定理）虚位移关系（投影定理）代入代入虚功方程得虚功方程得 Theoretical
12、 Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析 2 2、变分法、变分法 由于系统为单自由于系统为单自由度，取由度，取 为广义坐标。为广义坐标。由于由于 ，故，故 由虚位移原理（直角坐标投影形式）由虚位移原理（直角坐标投影形式）将虚位移关系代入将虚位移关系代入虚功方程得虚功方程得 Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析 例例13-2 图示滑块图示滑块D和弹簧套在光滑直杆和弹簧套在光滑直杆AB上，已知上，已知 0 时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5kN/m。求在任意位置角。求在任意位置角 平衡时，应加多大
13、的力偶平衡时，应加多大的力偶M？解：解除弹簧约束，用弹性力解：解除弹簧约束，用弹性力F、F 代替，设机构发生虚位移代替，设机构发生虚位移 根据虚位移原理根据虚位移原理 D点的虚位移应满足点的合成点的虚位移应满足点的合成运动的几何关系运动的几何关系 Nm 虚位移之间的关系，利用了点的合成运动中有关速度的概念。所以此虚位移之间的关系，利用了点的合成运动中有关速度的概念。所以此法称为法称为虚速度法虚速度法。一般应用于有刚体平面运动、点的合成运动的过程中。一般应用于有刚体平面运动、点的合成运动的过程中。将以上关系代入虚功方程将以上关系代入虚功方程 Theoretical Mechanics 返回首页1
14、3.4 例例 题题 分分 析析例例13-3 多跨静定梁，求支座多跨静定梁，求支座B处约束力。处约束力。解：将支座解：将支座B 除去，代入相应的约束力除去，代入相应的约束力 ，并发生虚位移。，并发生虚位移。根据虚位移原理（几何法）根据虚位移原理（几何法）由由虚位移几何关系虚位移几何关系几何法一般应用于虚位移的几何关系容易画出的情况下。几何法一般应用于虚位移的几何关系容易画出的情况下。Theoretical Mechanics13.4 例例 题题 分分 析析 例例13-4 在图示的机构中，在图示的机构中，AEBD2l，DHEHl。弹。弹簧刚度系数为簧刚度系数为k，弹簧的原长为，弹簧的原长为l。铰链
15、。铰链H上作用力上作用力FH，并使该，并使该机构处于静止平衡状态，试确定力机构处于静止平衡状态，试确定力FH与杆件、水平线的夹角与杆件、水平线的夹角 之间的关系。之间的关系。解：取解：取 为广义坐标。解除弹簧为广义坐标。解除弹簧约束，用相应的弹性力约束，用相应的弹性力F、F 代替，代替，并视之为主动力，如图所示。并视之为主动力，如图所示。根据虚位移原理根据虚位移原理 主动力作用点的坐标为主动力作用点的坐标为变分得变分得 Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析 弹簧弹簧DE在图示位置的长度为在图示位置的长度为2lcos，其原长为其原长为l，伸长量，伸
16、长量 2l cos l(2cos 1)l，于是弹簧作用于，于是弹簧作用于D、E上的上的拉力的大小为拉力的大小为 将以上关系代入虚功方程将以上关系代入虚功方程 变分法一般应用于力的投影、力的作用点的坐标容易用广变分法一般应用于力的投影、力的作用点的坐标容易用广义坐标表示的情况下。义坐标表示的情况下。Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析 例例13-5 图示为三铰拱支架，求由于不对称载荷图示为三铰拱支架，求由于不对称载荷F1和和F2作作用在铰链用在铰链B处所引起的水平约束力处所引起的水平约束力FBx。解：解除铰链解：解除铰链B水平方向的约束，水平方向的
17、约束，以约束力以约束力FBx代替。代替。设系统发生一虚位移，设系统发生一虚位移，A，rO，xB，C。根据虚位移原理根据虚位移原理：即即 Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析 结论：对于一些定点转动和平面运动的刚体，采用作结论：对于一些定点转动和平面运动的刚体，采用作用于该刚体上的主动力对转轴或瞬时速度中心的力矩与瞬时用于该刚体上的主动力对转轴或瞬时速度中心的力矩与瞬时转动虚位移的乘积来计算虚功是较为简便的转动虚位移的乘积来计算虚功是较为简便的 由于由于AO=CO，因此因此 A C，Theoretical Mechanics13.4 例例 题题 分
18、分 析析 解：（解：（1 1）解法一：考虑整个系统，引入惯性力及惯性力）解法一：考虑整个系统，引入惯性力及惯性力偶，方向如图，大小为偶，方向如图，大小为 设系统发生虚位移，由动力设系统发生虚位移，由动力学普遍方程学普遍方程 例例13-6 二均质轮的二均质轮的m、R相同，用轻质绳缠绕连接如图。相同，用轻质绳缠绕连接如图。求在重力作用下轮求在重力作用下轮中心的加速度。中心的加速度。几何关系几何关系 Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析解得解得 （2 2）解法二：加惯性力后，给）解法二：加惯性力后，给虚位移。虚位移。计算虚功计算虚功(考虑约束关系考虑约
19、束关系)Theoretical Mechanics13.4 例例 题题 分分 析析解得解得解得解得即即 Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析 例例13-7 楔形体重楔形体重P，倾角，倾角，在光滑水平面上。圆柱体，在光滑水平面上。圆柱体重重Q，半径为，半径为 r ，只滚不滑。初始系统静止，圆柱体在斜面最，只滚不滑。初始系统静止，圆柱体在斜面最高点。试求：高点。试求：(1)(1)系统的运动微分方程；系统的运动微分方程；(2)(2)楔形体的加速度。楔形体的加速度。解：研究整体系统。具有两个解：研究整体系统。具有两个自由度。取广义坐标为自由度。取广义坐标
20、为x,s ；各坐标；各坐标原点均在初始位置。原点均在初始位置。系统的动能：系统的动能：系统的势能：取水平面为重力势能零点。系统的势能：取水平面为重力势能零点。Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析代入保守系统拉氏方程代入保守系统拉氏方程拉格朗日函数：拉格朗日函数：并适当化简，得到系统的运动微分方程。并适当化简，得到系统的运动微分方程。解得楔形体的加速度为解得楔形体的加速度为 Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析 例例13-8 已知：刚度系数为已知：刚度系数为k ，滑块质量为，滑块质量为m1,水平面光滑
21、水平面光滑单摆长单摆长l，摆锤质量为，摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。，试列出该系统的运动微分方程。解：系统为二自由度保守系统。解：系统为二自由度保守系统。取取x ,为广义坐标，为广义坐标，x 轴轴 原点位于原点位于弹簧自然长度位置，弹簧自然长度位置，逆时针转逆时针转向为正。向为正。系统动能系统动能 系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A A所在平所在平面为重力势能零点）面为重力势能零点）Theoretical Mechanics 返回首页13.4 例例 题题 分分 析析拉格朗日函数拉格朗日函数代入代入拉氏方程拉氏方程化简得化简得系
22、统的运动微分方程。系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。附近微幅运动的微分方程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 5o,cos 1,sin ，略去二阶以上无穷小量，则略去二阶以上无穷小量，则即即 返回首页Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-1 已知 压榨机的水平拉力F。求图示瞬时对物体的压力。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-2 已知
23、压榨机手轮上的力偶矩为M，A、B两处螺纹旋向相反，螺距皆为h。求图示瞬时对物体的压力。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-3 已知不计各零件自重的机构在图示位置平衡。求力F1与F2的关系。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-4 已知不计各零件自重的机构在图示位置平衡。求力偶矩 M 与力 F 之间的关系。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-5 已知物A、B各重PA、PB，不计绳和轮重。求平衡时，PA与PB的关系。答：P
24、B=5PA Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-6 已知BC=AB=l，BE=BD=b，弹簧刚度系数为k，当x=a时，弹簧拉力为零，该系统在力F作用下平衡，杆重不计。求平衡时x=？答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-7 已知均质杆长 AB=BC=l，杆重皆为P1，滑块C重出 P2，滑桂倾角为。求平衡时，角为多大。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-8 已知桁架节点D处受力P。求3号杆的内力。答：Theoretical M
25、echanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-9 已知 l=8m，P=4900 N，q=2450 N/m，M=4900Nm；求支座约束力。答：FB=14700 NFE=2450 N Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-10 已知，P，不计摩擦。求平 衡时，P1和P2的大小。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-11 已知均质AB杆重为P，BC和CE两杆的重量不计，BC杆上分布载荷的最大载荷集度为q，A、E两处弹簧的刚度系数分别为k1和k2，AB=BC=l，AH=
26、BH，CD=DE，设系统在图示位置平衡。求E处弹簧的伸长量和A处弹簧的扭转角。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-12 已知调速器的角速度恒为，每个球质量为m1，套管O质量为m2，OC=EC=AC=OD=ED=BD=a，杆重不计。求两臂OA、OB与铅垂轴的夹角。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-13 已知球质量为m，不计质量的绳长为l。求分别以x、y、为广义坐标，推导单摆的运动微分方程。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题
27、 13-14 已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图。求此摆的运动微分方程。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-15 已知两弹簧刚度为k1、k2，车厢质量为m，对质心C的回转半径为，不计其横向振动。求车厢振动微分方程。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-16 已知圆柱体A质量为mA，半径为r，对轴心A的回转半径为，B物质量为mB，滑轮O的质量为m，半径为R，绳与滑轮之间无滑动，系统初始静止。求 满足什么条件物B向上运动。答：Theoretical Mechanics 返回首页13.5 典典 型型 习习 题题 13-17 已知均质车轮半径皆为R，质量为m1和m2，与地面的滑动摩擦系数为f，与水平线成角的力F使得两轮沿水平面又滚又滑，不计车架O1 O2的质量和滚阻力偶。求该系统的运动微分方程。答：又滚又滑的条件 右轮不可离开地面，得
