1、高等代数考研复习高等代数考研复习 第七章第七章 线性变换线性变换 201 2013 3年年 8 8月月 第七章第七章 线性变换线性变换线性变换是线性空间上的线性映射，反映线性变换是线性空间上的线性映射，反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联了线性空间中元素之间的一种最基本的联系，它是线性系，它是线性函数函数的推广的推广.本章主要内容分三部分：本章主要内容分三部分：1)1)线性变换的概念、运算与线性变换的线性变换的概念、运算与线性变换的矩阵矩阵 2)2)特征值特征向量与矩阵的相似对角化特征值特征向量与矩阵的相似对角化 3)3)值域、核与不变子空间值域、核与不变子空间1 1、线性变换概念、运算与
2、线性变换矩阵、线性变换概念、运算与线性变换矩阵1.1 1.1 线性变换定义：设线性变换定义：设V V是数域是数域P P上的线性空间，上的线性空间，A A是是V V上的一个变换上的一个变换.如果对于任意的如果对于任意的,V,V,kkP P 都有都有 A A(+)=A A()+A+A()，A A(k)=kA A(),则称则称A A为空间为空间V V上上的一个线性变换的一个线性变换.说明说明:(1):(1)如果对任意的如果对任意的 V V，A A()=0 0，则称则称A A为为零变换零变换.（2 2）如果对任意的）如果对任意的 V V，A A()=，则称则称A A为为V V的的恒等变换（也叫单位变换
3、）恒等变换（也叫单位变换）.（3 3）A A是是V V的线性变换的充分必要条件是：的线性变换的充分必要条件是：()()(),.klklV k lP AAAAA A1.2 1.2 线性变换性质：线性变换性质：设设V V是数域是数域P P上的线性空间，上的线性空间，AA是是V V的线性变的线性变换，则有换，则有 (1)(1)(0)0,()();AAAAAA1122111122()()()()();sssskkkkkkkA AAAAAAAAA(2)2)(3)(3)线性变换将线性相关的向量组变成线性相线性变换将线性相关的向量组变成线性相关的向量组关的向量组.1.3 1.3 线性变换的运算线性变换的运算
4、 设设V V是数域是数域P P上的线性空间，上的线性空间，是是V V上的线上的线性变换性变换.1)1)线性运算线性运算A ,BA ,B把线性变换的加法与数乘运算统称为线性变换的把线性变换的加法与数乘运算统称为线性变换的线性运算线性运算.a)a)加法运算加法运算定义定义 ()()()(),VA +BAB A +BAB 则称则称 仍是仍是V V的线性变换，并称它为的线性变换，并称它为与与 的和的和.b)b)数乘运算数乘运算A +BA +BA A B B定义定义则称则称 仍是仍是V V的线性变换，并称它为数乘线性的线性变换，并称它为数乘线性变换变换.说明：线性空间说明：线性空间V V上的所有线性变换
5、对于线性上的所有线性变换对于线性变换的加法与数乘变换构成变换的加法与数乘变换构成P P上的线性空间上的线性空间,记记为为L(V).L(V).即对即对 ()()(),.kkV kPAAAAkA A,()(),().L VL VkL VABA+BAABA+BA令令 是是n n维空间维空间V V的基，对任意的的基，对任意的12,n(),n nL VAP A A 使得使得1212,(),()nn A A并且并且12,nAB A +BA +B12,.nkkA A A 故L(V)与 同构.因此，n nP2dim().L Vn2 2）线性变换的乘法运算线性变换的乘法运算乘法运算的定义乘法运算的定义：设为：设
6、为 线性空间线性空间V V的线的线性变换，定义性变换，定义A ,BA ,B()()(),VA BAB A BAB 则称则称 是是V的线性变换，并称它为的线性变换，并称它为 与与的乘积的乘积.说明：变换乘积满足结合律，乘法对加法的分说明：变换乘积满足结合律，乘法对加法的分配率，数乘结合律配率，数乘结合律.但是不满足交换律但是不满足交换律.A B A B A A B B线性变换的方幂与多项式变换：线性变换的方幂与多项式变换：n个线性变换个线性变换 的乘积称为的乘积称为 的的n次幂，记为次幂，记为 即即规定：规定：当当 可逆时，规定可逆时，规定一般地，一般地，但是但是A A A A nA A nA
7、A=A A A A A A.0A=E.A=E.A A 1()nnA A=A A.A BB A,A BB A,()()()().fggfABBAABBA3)3)逆变换逆变换 逆变换的定义：设逆变换的定义：设 是线性空间是线性空间V V上的线性上的线性变换，如果存在变换，如果存在V V上的线性变换上的线性变换 ，使得，使得 A A B BA A B B=B B A A=E E,其中其中 是恒等变换，则称是恒等变换，则称 是可逆的，并称是可逆的，并称是是 的逆变换，记为的逆变换，记为 .逆变换的性质：逆变换的性质：()逆变换也是可逆的线性变逆变换也是可逆的线性变换，且换，且E EA A B BA A
8、 1A A 11().A AA A()线性变换线性变换 可逆可逆 是是 是双射是双射.4)线性变换的矩阵线性变换的矩阵()两个线性变换相等两个线性变换相等 如果线性空间如果线性空间V的线性变换的线性变换 与与 在在V的基的基 上的作用相同，即上的作用相同，即则则()V上线性变换确定定理：上线性变换确定定理：A A A A A A B B12,n()()(1,2,),iiinA BA BA =B.A =B.设设 是线性空间是线性空间V的一组基，的一组基，是是V中任一一组向量，则在中任一一组向量，则在V上一定存在一个线上一定存在一个线性变换性变换 使得使得确定线性变换确定线性变换 的方法：任取的方
9、法：任取 则则 定义定义那么那么 就是就是V上满足条件的线性变换上满足条件的线性变换.12,n 12,n A A ()(1,2,).iiinA A A A ,V1122nnkkk1122()nnxxxA+A+A A ()线性变换的矩阵线性变换的矩阵 设设 是是n维空间维空间V的一组基，的一组基，是是V的线性变换，如果基的像可以被基线性表出，的线性变换，如果基的像可以被基线性表出，即即 用矩阵表示就是用矩阵表示就是12,n A A 11112121212122221122()()()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaA+A+A+A+A+A+121212()(),(),()().nnnA AA
10、 A A AA A A 称为线性变换称为线性变换 在基在基 下的矩阵下的矩阵.()线性变换的运算与矩阵运算的关系：线性变换的运算与矩阵运算的关系：在线性空间在线性空间V中取定一组基后，中取定一组基后，V上的线性上的线性变换与它在这组基下的矩阵之间是变换与它在这组基下的矩阵之间是1-1对应的对应的.因此线性变换的运算对应矩阵的运算，反之，因此线性变换的运算对应矩阵的运算，反之，矩阵的运算对应线性变换的运算矩阵的运算对应线性变换的运算.即即A A 12,n 设线性变换设线性变换 与与 在基在基 下的矩阵分下的矩阵分别为别为A和和B,则则 a)b)c)d)可逆可逆 A可逆，且可逆，且A A B B1
11、2,n 1212()()(,)();,nnAB A A B1212()(,;,)nnkkA A A 1212()(,;,),nnAB A B A B A A 111212()().,nnA A=A=()()同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系：同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系：设设 与与 是线性空间是线性空间V V的两的两组基，且组基，且如果如果则则反之，相似矩阵可看作同一线性变换在两组不反之，相似矩阵可看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵同基下的矩阵.12,n 12,n 1212(,)(,).nnX 1212()(,)nnA A A1212()(),.nnB B1.BXAX题型分析题型分
12、析：(1)(1)判别线性变换的可逆性；判别线性变换的可逆性；(2)(2)确定线性空间上的线性变换；确定线性空间上的线性变换；(3)(3)求线性变换及其运算在基下的矩阵；求线性变换及其运算在基下的矩阵；例例1 1 在在 上定义线性变换上定义线性变换 分别为分别为 确定线性变换确定线性变换 问问 是否可逆，若是否可逆，若可逆求出逆可逆求出逆.3R,AB AB 123123121(,)(,),x x xxxx xx xA A 123321(,)(,).x x xx x xA A,.AA BAA BBA A 例例2 设设 是是V的基，的基，是是V的一个线性变的一个线性变换，证明：换，证明：可逆可逆 是
13、是 线性无线性无关关.例例3 设设 是是n维线性空间维线性空间V的线性变换，且的线性变换，且证明：证明：都是可逆的线性变换都是可逆的线性变换.例例4 在在 中求一个线性变换中求一个线性变换 ，使得，使得并求并求12,n A A A A 12,nA A AA A AA A 322,22AAAEAAAEE B=,AB AB 2RA A (1,2)(2,3),(0,1)(1,4).A AA A (3,4).A A例例5 设设P是数域，是数域，定义变换定义变换 ：(1)证明证明：是线性空间是线性空间 的线性变换的线性变换;(2)求求 在基在基 下的矩阵下的矩阵.例例6 设设 中线性变换中线性变换 在基
14、在基下的矩阵为下的矩阵为 又又 在基在基下的矩阵为下的矩阵为 2 2221,()32,02APf xxxB B2 3()(),.Xf A X XPB BB B2 3PB B111213212223,EEEEEE2RA A 12(1,2),(2,1)12,23AB B12(1,1),(1,2)33,24B(1)求求 在基在基 下的矩阵；下的矩阵；(2)求求 在基在基 下的矩阵；下的矩阵；(3)若若 ，求，求 在基在基 下的坐标下的坐标.例例7 已知已知3维空间维空间V的基的基 和基和基又又V上的线性变换上的线性变换 满足满足A AB12,A A B B12,(3,3)A A12,123,1132
15、2313,A A 123122(),3A A 12323(2),2A A 123133)4(A.A.(1)求求 在基在基 下的矩阵下的矩阵.(2)求求 在基在基 下的坐标下的坐标.例例8 设设 是是P上上n维空间维空间V的线性变换，的线性变换，如果如果 证明：证明：是是V的一组基，并求的一组基，并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵.123,A A 1A A 123,A A .V1()0,()0.nnA AA A 1,(),()nA AA A A A 2 2、特征值、特征向量与相似对角化、特征值、特征向量与相似对角化2.1 2.1 线性变换的特征值与特征向量的线性变换的特征值与特征向量的定义定
16、义 设设 是数域是数域P P上线性空间上线性空间V V的一个线性变的一个线性变换，如果存在换，如果存在P P中的一个数中的一个数 和和V V中的非零元中的非零元素素 ，使得，使得则称则称 为为 的一个特征值，的一个特征值，是是 的属于的属于特征值特征值 的特征向量的特征向量.A A (),A A A A A A 由由 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量再添上零的全部特征向量再添上零向量构成的集合向量构成的集合 也是也是V的一个子空间，称为的一个子空间，称为 的的特征子空间特征子空间.2.2 2.2 线性变换的特征值特征向量与矩阵的特征线性变换的特征值特征向量与矩阵的特征值特征向量之间的值
17、特征向量之间的关系关系 设设 是数域是数域P P上上n n维空间维空间V V的一组基，的一组基，线性变换线性变换 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为A A，则，则 (1)A (1)A的特征值与的特征值与 的特征值相同；的特征值相同；A A (),|VV A A A A 12,n A A A A (2)(2)如果如果 是是A的属于的属于 的特征向的特征向量量,则则 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量.反之亦然，即反之亦然，即2.32.3 特征值特征向量的特征值特征向量的求法求法：有限维线性空间上求线性变换的特征值与特有限维线性空间上求线性变换的特征值与特征向量可转化为求线性变换在某组基下
18、所对应征向量可转化为求线性变换在某组基下所对应的的矩阵矩阵的特征值与特征向量的特征值与特征向量.(1)(1)先求出先求出 在某组基下的矩阵在某组基下的矩阵A;A;12(,)nx xx012(,)n A A 000().A A AA A (2)由由 可求得可求得A的的n个特征向量个特征向量；(3)求齐次方程组求齐次方程组 的基础解系，得的基础解系，得属于属于 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量 ,则则属于属于 的线性变换的线性变换 的特征向量为的特征向量为2.4 2.4 特征值特征向量的特征值特征向量的性质性质 (1)(1)若若 则则 的特征的特征值分别为值分别为 并且除了并且除了 外其余
19、矩外其余矩|0,EA()0iEA Xi12(,)nx xxiA A 12(,).n (),A A 1*,()kA AAAf A1|,().kAf A阵的特征向量与阵的特征向量与A A的特征向量相同，的特征向量相同，与与A A的属于的属于不同特征值的特征向量正交不同特征值的特征向量正交.当当A A不可逆时，不可逆时，的的特征值为特征值为 与零与零(0(0为为n-1n-1重特征值重特征值).).(2)(2)矩阵矩阵A A属于不同特征值的特征向量线性无属于不同特征值的特征向量线性无关关.对称矩阵对称矩阵属于不同特征值的特征向量属于不同特征值的特征向量正交正交.属于不同特征值的不同特征向量组合到一起属
20、于不同特征值的不同特征向量组合到一起任然线性无关任然线性无关.(3)(3)方阵方阵A A的特征多项式为的特征多项式为 A*A*TrA()|fEA1()|()(1)|nnnfEATr AA 设设 是特征多项式的根，则是特征多项式的根，则12,n 12|.nA121,nniiiTrAa(4)线性变换特征子空间的维数线性变换特征子空间的维数(5)(5)哈密顿哈密顿-凯莱凯莱(Hamilton-(Hamilton-CaylayCaylay)定理定理 设设A A是是n n阶方阵，阶方阵，是是A A的特征多项的特征多项式，则式，则 (结论对线性变换也成立结论对线性变换也成立!)!)00dim().VnrE
21、A()|fEA()0.f A(6)设设A,BA,B是是n n阶矩阵，则阶矩阵，则ABAB与与BABA具有相同的特征具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值多项式，从而具有相同的特征值.(7)(7)相似矩阵有相同的特征值，且当相似矩阵有相同的特征值，且当A A的特征向的特征向量为量为 时，时，的特征向量为的特征向量为 1XAX1.X2.5 相似对角化相似对角化1)相似矩阵的定义：设相似矩阵的定义：设A,B都是数域都是数域P上的上的n阶阶矩阵，如果存在矩阵，如果存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P使得使得 则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似.相似是一种等价关系，具相似是一种等价关系，具有反身性、对称性与传
22、递性有反身性、对称性与传递性.2)相似矩阵的性质相似矩阵的性质 如果矩阵如果矩阵A,B相似，则相似，则 ()|A|=|B|;1,P APB()r(A)=r(B);()从而从而A,B具有相同的特征具有相同的特征值；值；()相似；相似；相似；相似；f(A),f(B)相似；相似；()Tr(A)=Tr(B).3)矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 设设A 为为n阶方阵，如果阶方阵，如果A相似于对角矩阵，则称相似于对角矩阵，则称A可相似对角化可相似对角化.|,EAEB,A B11,AB矩阵可相似对角化的条件：矩阵可相似对角化的条件：()A可相似对角化可相似对角化 A有有n个线性无关的特征个线性无关的特征向
23、量；向量；()如果如果A 有有n个不同的特征值，则个不同的特征值，则A可相似对可相似对角化；角化；()A可相似对角化可相似对角化 A的所有重特征值对应的所有重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于特征值的重的线性无关的特征向量的个数等于特征值的重数数.也就是：也就是：可相似对角化可相似对角化 V可以分解为可以分解为 A A A A 的所有特征子空间的直和的所有特征子空间的直和.()A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A可正交相似对角化；可正交相似对角化；()如果如果 则则A可相似对角化；如果可相似对角化；如果 则则A可相似对角化；如果可相似对角化；如果 A可相似对角化，可相似对角化，f(x)是
24、任一多项式，则是任一多项式，则f(A)可相似对角化可相似对角化.,mAE2,AA题型分析题型分析：(1)求矩阵的特征值与特征向量求矩阵的特征值与特征向量 (2)与特征值特征向量相关的证明与特征值特征向量相关的证明 (3)相似对角化问题相似对角化问题例例1 设矩阵设矩阵A满足满足 求求A的特征值的特征值.例例2 设设4阶方阵阶方阵A满足满足求求 的一个特征值的一个特征值.2320,AAE|3|0,2,|0.EAAAE A*A例例3 设设A为为n阶方阵，阶方阵，且且求求A的一个特征值的一个特征值.AE(3)(),r AEr AEn例例4 求矩阵求矩阵 的特征值与特征的特征值与特征 向量向量.例例5
25、 求矩阵求矩阵 的全部特征值与的全部特征值与2n个线性个线性无关的特征向量，其中无关的特征向量，其中 是每个元素为是每个元素为1的的n阶阶方阵方阵.例例6 设设111111nnAn 00nnJJnJ1*322010232,101,223001APBP A P求求 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.例例7 已知线性空间已知线性空间 上的线性变换上的线性变换求求 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.例例8 设设且且(1)证明：证明：A可逆，并求可逆，并求(2)求求A的特征值与特征向量；的特征值与特征向量；2BE2 2R1011(),.1111XMXN MNA A1212,(,),(,)nnA
26、Ea aab bb 3.1;AA A 例例9 设设A,B是是n阶方阵，证明：阶方阵，证明：AB与与BA有相同的有相同的特征值特征值.例例10 设设n阶方阵阶方阵A满足满足AB=A+B,A有有n个不同的个不同的特征值特征值.证明：证明：(1)1不是不是A,B的特征值；的特征值；(2)AB=BA；(3)(3)A与与B有相同的特征向量；有相同的特征向量；(4)B可相似对角化可相似对角化.例例10 设设A是是n阶实矩阵，阶实矩阵，为为A的特征值的特征值(a,ba,b为实数，为实数，b b不为零不为零)，Z=X+iY为相应的特征为相应的特征向量向量 ,证明：证明：X,Y线性无关线性无关.例例11*设设A
27、,B分别是复数域上的分别是复数域上的k阶和阶和r阶矩阵，阶矩阵，且且A,B无公共特征根，证明：方程无公共特征根，证明：方程AX=XB只有只有零解，其中零解，其中X是是 阶矩阵阶矩阵.例例12*设设A,B,C分别是分别是 阶矩阵阶矩阵(mn)已知已知AC=CB且且r(C)=rn,证明：证明：A和和B至少至少0abi(,)nX YRkr,m m nn m n有有r个相同的特征值个相同的特征值.题型：相似对角化问题题型：相似对角化问题 例例1 设设 已知已知A有三个线性无关的有三个线性无关的特征向量，且特征向量，且 是是A的二重特征值，试求可的二重特征值，试求可逆矩阵逆矩阵P，使，使 成对角形成对角
28、形.例例2 设设 的特征方程有一个二重的特征方程有一个二重根根1114,335Axy21P AP51341321aA1)求求a；2)讨论讨论A是否可对角化；是否可对角化；3)若若A可对角化，试求可逆矩阵可对角化，试求可逆矩阵P使得使得 为为对角阵对角阵.例例3 设设n阶方阵阶方阵A 满足满足 且且 证明：证明：A相似于矩阵相似于矩阵例例4 已知已知 的线性变换的线性变换求求 的一组基，使的一组基，使 在该基下的矩阵为对角在该基下的矩阵为对角矩阵矩阵1P AP2AA().r Arn0.00rE3P X22()(46)(35)(36)abxcxabab xabc x A.A.3P XA A 例例5
29、 设设V是是P上上n维空间，维空间，是是V上的线性变换，上的线性变换，且且 又又 且且 证明：证明：1)2与与-2是是 的特征值；的特征值；2)A A aAE,AE,2()4g xx()0.gA A A A 22.VVV例例6 设设V是是P上的上的n维空间，维空间，是是V的两个线的两个线性变换，且变换性变换，且变换 在在P中有中有n个互异的特征值个互异的特征值.证明证明:(1)的特征向量都是的特征向量都是 的特征向量的的特征向量的充分必要条件是：充分必要条件是：(2)若若 ，则，则 是是的线性组合的线性组合.,AB AB A A A A B B A AB B=B BA AA AB B=B BA
30、 AB B 21,nE,A,AAE,A,AA3 3、线性变换的值域与核、线性变换的值域与核3.1 值域与核值域与核 1)定义：设定义：设 是是V上的线性变换，上的线性变换，的象集的象集合称为合称为 的值域，记为的值域，记为所有被所有被 变成变成0元的元的V中所有元素构成的集合中所有元素构成的集合称为线性变换称为线性变换 的核，记为的核，记为 都是都是V的子空间的子空间.A A A A A A Im.VV A A A|A A A|A A A A 1(0)ker|0.AA A=AA A=1,(0)VA A A A 2)值域与核的性质值域与核的性质)设设 是是V上的线性变换，上的线性变换，是是V的一
31、的一组基，且组基，且 则则)的值域的基的原象与核的基合并到一起的值域的基的原象与核的基合并到一起构成构成V的基，且的基，且)对对n维空间维空间V，是单射是单射 是满射是满射.A A 12,n 1212,()().nnA A=A=12(,dim().nVLVr AA A A AA A A A AA A A 1dimdim(0).VnA A A A A A A A 3.2 不变子空间不变子空间 1)定义：设定义：设 是数域是数域P上线性空间上线性空间V的线性变的线性变换，换，W是是V的子空间的子空间.如果对任意如果对任意 都有都有 则称则称W是是 的不变子空间，简称的不变子空间，简称 子空间子空间
32、.2)一些常见的不变子空间一些常见的不变子空间 (a)如果如果 是是 的不变子空间，则的不变子空间，则 都是都是 不变子空间不变子空间.A A W(),WA A A A A A 12,W WA A 1212,WW WWA A (b)如果如果W是线性变换是线性变换 与与 的不变子空间，的不变子空间，则则W一定是一定是 的不变子空间的不变子空间.(c)V与零子空间是与零子空间是 不变子空间不变子空间.(d)与与 都是都是 的不变子空间的不变子空间.(e)的特征子空间的特征子空间 是是 的不变子空间的不变子空间.(f)V的任一子空间都是数乘变换的不变子空间的任一子空间都是数乘变换的不变子空间.(g)
33、如果如果 都是都是V的线性变换，且的线性变换，且 A A B B,A A+B B A A B B A A VA A 1(0)A A A A A A 00|,VV A A A A ,A BA B,A A B B=B B A A则则 与与 都是都是 的不变的不变子空间子空间.VA A 1(0)A A B B(h)如果如果 是可逆的线性变换，则是可逆的线性变换，则W是是 的的不变子空间不变子空间 是是W是是 的不变子空间的不变子空间.3)不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系(a)设设 是是V上的线性变换，上的线性变换，W是是 的不变子的不变子空间，在空间，在W
34、中取一组基中取一组基 并将它扩充成并将它扩充成V的一组基的一组基 则则 在这组基下在这组基下的的A A A A 1A A A A A A 12,r 121,.rrn A A 矩阵为矩阵为 其中其中 是将是将 看做看做W上的线性上的线性变换时，变换时，在在W的基的基 下的矩阵下的矩阵.(b)设设n维空间维空间V可以分解成若干个可以分解成若干个 的不变之的不变之空间的直和：空间的直和：在每个子空间在每个子空间上取基，然后将它们合并起来构成上取基，然后将它们合并起来构成V的基，则的基，则 在这组基下的矩阵为准对角矩阵在这组基下的矩阵为准对角矩阵132.0AAA1AA A|WA A 12,r A A
35、12SVWWWA A 12.sAAA以上两个结论的逆命题也成立！以上两个结论的逆命题也成立！题型分析：题型分析：(1)求线性变换的值域与核；求线性变换的值域与核；(2)证明与值域核有关的问题；证明与值域核有关的问题；(3)证明与维数有关的问题；证明与维数有关的问题；(4)证明与不变子空间有关的问题证明与不变子空间有关的问题.例例1 已知已知 上的线性变换上的线性变换求求 的值域与核的基与维数的值域与核的基与维数.3P(,)(2,2),a b cabc bc abcA=A=A A 例例2 已知已知 (1)求求 的值域与核；的值域与核；(2)证明：证明：例例3 设设 是线性空间是线性空间V上的两个
36、线性变换，且上的两个线性变换，且 证明证明：(1)(2),(),()()()nf xxfxf xVP xf xVA .A .A A 1(0).VvA A A A,22,.,.VV 11(0)(0),.例例4 设设 是是n维空间维空间V的两个子空间，且的两个子空间，且 是是V上的线性变换，证明：上的线性变换，证明：可逆可逆 是是例例5 设设 是是n维空间维空间V的线性变换，的线性变换，W是是V的子的子空间空间.证明：证明：例例6 设设 是是n维空间维空间V是两个子空间，并且是两个子空间，并且 证明：存在证明：存在V上的线性变换上的线性变换使使 12,W W12.VWWA A A A 12.VWW
37、A A A A A A 1dim(0)ddimim.WWWA AA A12,V V12dimdim.VVnA A 112(0),VVVAA .AA .例例7 设设V是是n维空间，是维空间，是V上的线性变换，试证：上的线性变换，试证：以下是关于不变子空间的题目例例1 设设 是复数域上线性空间是复数域上线性空间V的线性变换，的线性变换，且满足且满足 证明：证明：(1)如果如果 是是 的特征值，则的特征值，则 的特征子的特征子空间空间 也是也是 的不变子空间的不变子空间.(2)至少有一个公共特征向量至少有一个公共特征向量.2ker.VVVV,A BA BB A=A B B A=A B 0A A A
38、A 0VB B,A BA B例例2 设设 是是P上上n维空间维空间V的线性变换且的线性变换且证明证明：(1)(2)(3)若若 是是V的线性变换，则的线性变换，则都是都是 的不变子空间的不变子空间例例3 设设V是复数域上的是复数域上的n维空间，维空间，是是V的的基，基，是是V上的线性变换，且上的线性变换，且 J为若当块为若当块 2.1(0)()|.V 1(0)().VV1(0),()V.12,n A A 1212,()(),nnJ A=A=证明证明：(1)V中包含中包含 的的 的不变子空间只有的不变子空间只有V本身；本身；(2)V中中 的任一非零不变子空间都包含的任一非零不变子空间都包含 (3)V不能分解成两个非平凡的不能分解成两个非平凡的 的不变子的不变子空间的直和空间的直和.1A A A A .nA A 泛函微分方程解的零点分泛函微分方程解的零点分布研究布研究20122012院级专项课题申请报告院级专项课题申请报告数学系数学系 郭忠海郭忠海
