1、 2020 届高三文科数学一轮复习模拟练习卷届高三文科数学一轮复习模拟练习卷 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结 束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 （1）复数z满足(1+i)iz ，则在复平面内复数z所对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知全集为实数集R，集合 2 30Ax xx， 21 x Bx，则 RA B() A(03,)， B(0,1 C3 ， D
2、1)， （3）改革开放四十年以来，北京市居民生活发生了翻天覆地的变化.随着经济快速增长、居民收入 稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建.北京市城镇居民 人均消费支出从 1998 年的 7 500 元增长到 2017 年的 40 000 元.1998 年与 2019 年北京市城镇居民消费 结构对比如下图所示： 食品食品 20% 衣着衣着 6% 居住居住 33% 生活用品及服务生活用品及服务 6% 交通和通信交通和通信 13% 教育文化娱乐教育文化娱乐 11% 医疗保健医疗保健 8% 其他用品及服务其他用品及服务 3% 食品食品 41% 衣着衣着 10% 居住
3、居住 8% 生活用品及服务生活用品及服务 11% 交通和通信交通和通信 5% 教育文化娱乐教育文化娱乐 14% 医疗保健医疗保健 5% 其他用品及服务其他用品及服务 6% 1998 年北京市城镇居民消费结构 2019 年北京市城镇居民消费结构 则下列叙述中不正确 的是 A.2019 年北京市城镇居民食品支出占比 同 1998 年相比大幅度降低 B.2019 年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同 1998 年相比有所减少 C.2019 年北京市城镇居民医疗保健支出占比 同 1998 年相比提高约 60% D.2019 年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破 5 000 元，大约是 1998
4、 年 的 14 倍 （4）设Rm且0m ，“不等式 4 +4m m ”成立的一个充分不必要条件是 A0m B1m C2m D2m （5）为了得到函数 2 log1yx的图象，可将函数 2 logyx的图象上所有的点的 A.纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 B.纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 （6）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ） A 1 2 B 5 6 C 7 6 D 7 12 1 俯视图
5、俯视图 侧侧（左左）视图视图正正（主主）视图视图 2 2 2 2 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为 （A）2 （B）5 （C）2 2 （D）2 3 （8）设函数( )(21) x f xexaxa，其中1a ，若存在唯一的整数 0 x使得 0 ()0f x，则a 的取值范围是（ ） A. 3 ,1) 2e B. 33 , ) 24e C. 33 , ) 24e D. 3 ,1) 2e 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）若 , x y 满足 12xyx ，则2y x 的最小值是 （10）为了了解某
6、校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率 分布直方图（如图） ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1 : 2 : 3，第 2 小组的频数为 12， 则报考飞行员的学 生人数是 第 10 题图 第 13 题图 （11）已知向量a=（4，3），b=（6，m），且 ab，则 m=_ （12）边长为2的等边ABC的三个顶点A，B，C都在以O为球心的球面上，若球O的表面 积为148 3 ，则三棱锥OABC的体积为_ （13） 已知函数 1 ( ) sin() f x x （其中0， 2 ） 的部分图象如图所示， 则 ， （14）数列 n a满足 12 23 3(2
7、1)3 2 n n n aana ，n N，则 12n aaa_. 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题 13 分） 在 ABC 中，a=3，2bc ，cosB= 1 2 （1）求 b，c 的值； （2）求 sin（B+C）的值 （16） （本小题 13 分） 已知 n a是等比数列，满足 2 6a =， 3 18a = -，数列 n b满足 1 2b ，且2 nn ba是公差为 2 的等差数列 （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）求数列 n b的前n项和 （17） （本小题 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底
8、面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，Q为棱PD的中点， PAAB （1）求证：AQCD； （2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值； （3）求二面角CAQD的余弦值 （18） （本小题 13 分） 某学校为了解高一新生的体质健康状况， 对学生的体质进行了测试. 现从男、 女生中各随机抽取20 人，把他们的测试数据，按照国家学生体质健康标准整理如下表. 规定：数据60，体质健康为合 格. 等级 数 据 范围 男生 人数 男 生 平 均分 女 生 人 数 女 生 平 均分 优秀 90,100 5 91.3 2 91 良好 80,89 4 83.9 4 84.1 及格 60,79 8 70
9、11 70.2 不及格 60以 下 3 49.6 3 49.1 总计 - 20 75.0 20 71.9 (1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率； (2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率； （3）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不 大于1） ，但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数 据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级 （只需写出结论） （19） （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心
10、率为 1 2 ，右焦点为( ,0)F c，左顶点为A，右顶点B在直 线l:2x 上 （1）求椭圆C的方程； （2）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明 （20） （本小题 14 分） 已知函数 2 ( ) x f xaexa(e为自然对数的底数). （1）若函数( )f x的图象在0 x 处的切线为l，当实数a变化时，求证：直线l经过定点； （2）若函数( )f x有两个极值点，求实数a的取值范围. 数学（数学（文文科）参考答案及评分标准科）参考答案及评分标准 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题
11、小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） （1）A （2）C （3）B （ 4）C （5）B （6）B （7）D （8）D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） （9）3 （10）48 （11） 8 （12） 33 3 （13）2， 3 （14） 1 1 2n 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分）分） （15） （本小题 13 分） 解：（）由余弦定理 222 2cosbacacB，得 222 1 32 3() 2 bcc 因为2bc ， 所以 222 1 (2)32 3() 2 ccc 解得5c 所以7b
12、 （）由 1 cos 2 B 得 3 sin 2 B 由正弦定理得 3 3 sinsin 14 a AB b 在ABC中，BCA 所以 3 3 sin()sin 14 BCA （16） （本小题 13 分） 解： （1）设数列 n a的公比为q，则 21 2 31 6 18 aa q aa q 2 分 解得 1 2a ，3q 3 分 所以， 1 2 ( 3)n n a 5 分 令2 nnn cba，则 111 22cba 2(1) 22 n cnn 7 分 1 ( 3) 2 n nn n ca bn 9 分 （2） (1)1 ( 3) 24 n n n n S 13 分 （17） （本小题 1
13、3 分） 解： （1）因为PA底面ABCD，CD底面ABCD， 所以CDPA， 正方形ABCD中CDAD ， 又因为AADPA， 所以CD平面PAD， 因为AQ平面PAD， 所以CDAQ .4 分 （2）正方形ABCD中ADAB ，侧棱PA底面ABCD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设2AB. 依题意，则(0,0,0), (2,2,0), (0,0,2),(0,1,1)ACPQ， 所以110022222, ,AQ,AC,CP. 设平面ACQ的法向量nz , y, x， 因为 0 0 AC AQ n n ， 所以 0 022 zy yx . 令1x，得 1 1 1 z y x ，即n11
14、1,， 所以 1 cos, 3| | CP CP CP n n n ， 所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为 3 1 ； 11 分 （3）由（）知CD平面PAD，所以0 , 0 , 2DC为平面PAD的法向量， z y x Q A D C B P 因为 3 cos, 3| | DC DC DC n n n ， 且二面角DAQC为锐角， 所以二面角DAQC的余弦值为 3 3 14 分 （18） （本小题 13 分） 解：（1）样本中合格的学生数为：524481134，样本总数为：202040， 这名学生体质健康合格的概率为 3417 4020 . .5 分 （2）设事件A为“从男生样本中随机
15、选出的人的体质健康等级是优秀”， 51 ( ) 204 P A . 事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”, 21 ( ) 2010 P B . 因为,A B为独立事件， 故所求概率为()()()( )(1( )(1( ) ( )P ABABP ABP ABP AP BP A P B 19313 41041010 . .10 分 （3）去掉的等级为优秀. .13 分 （19） （本小题 14 分） 解： （1）依题可知(0)B a，2a 因为 1 2 c e a ， 所以1c 3b 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）以BD为直径的圆与直线PF相切 证明如下：由题意
16、可设直线AP的方程为(2)(0)yk xk 则点D坐标为2 4 )k（ ，BD中点E的坐标为2 2 )k（ ， 由 22 (2), 1 43 yk x xy 得 2222 (34)1616120kxk xk 设点P的坐标为 00 (,)xy，则 2 0 2 1612 2 34 k x k 所以 2 0 2 68 34 k x k ， 00 2 12 (2) 34 k yk x k 因为点F坐标为(1, 0)， 当 1 2 k 时，点P的坐标为 3 (1, ) 2 ，直线PF的方程为1x ， 点D的坐标 为(2, 2) 此时以BD为直径的圆 22 (2)(1)1xy与直线PF相切 当 1 2 k
17、 时，直线PF的斜率 0 2 0 4 114 PF yk k xk 所以直线PF的方程为 2 4 (1) 1 4 k yx k ,即 2 1 4 10 4 k xy k 故点E到直线PF的距离 22 22 22 1414 |221| 42 |2 | 1414 1()() 44 kk k k dk kk kk （或直线PF的方程为 22 44 0 1 41 4 kk xy kk , 故点E到直线PF的距离 22 2 2 2 84 2 1 41 4 16 1 (1 4) kk k kk d k k 3 2 2 2 28 14 2| 14 |14| kk k k k k ） 又因为kRBD42 ，故
18、以BD为直径的圆与直线PF相切 综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 解法二: （2）以BD为直径的圆与直线PF相切 证明如下: 设点 00 (,)P xy,则 22 00 0 1(0) 43 xy y 当 0 1x 时,点P的坐标为 3 (1, ) 2 ，直线PF的方程为1x ， 点D的坐标为(2, 2) ， 此时以BD为直径的圆 22 (2)(1)1xy与直线PF相切， 当1x 时直线AP的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 点 D 的坐标为 0 0 4 (2,) 2 y D x ,BD中点E的坐标为 0 0 2 (2,) 2 y x ,故 0 0 2 | | 2
19、 y BE x 直线PF的斜率为 0 0 1 PF y k x , 故直线PF的方程为 0 0 (1) 1 y yx x ,即 0 0 1 10 x xy y , 所以点E到直线PF的距离 00 000 20 0 0 12 |21| 22 | | 21 1() xy yxy dBE xx y 故以BD为直径的圆与直线PF相切 综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 （20） （本小题 13 分） （1）因为 2 ( ) x f xaexa， 所以( )2 x fxaex，(0)fa. 2 分 又因为(0)2fa，所以直线l的方程为2yaxa， 所以直线l经过定点( 2,0). 4
20、 分 （2）因为 2 ( ) x f xaexa，所以( )2 x fxaex. 设( )2 x g xaex，则( )2 x g xae. 当0a 时，( )0g x ， 即( )g x在 R 上单调递增， 则( )2 x fxaex最多有一个零点， 函数( )f x 至多有一个极值点，与条件不符； 5 分 当0a 时，由( )20 x g xae，得 2 ln()x a . 当 2 (, ln()x a 时，( )0g x ；当 2 (ln(),)x a 时，( )0g x . 所以( )g x在 2 (, ln() a 上单调递增，在 2 (ln(),) a 上单调递减， 所以 2 (
21、)(ln() a g xg，即 max 22 ( )(ln()2(ln() 1) aa g xg.6 分 令 2 2(ln() 1)0 a ，解得, 2 (0)a e . 7 分 因为(0)0ga，, 2 (0)a e ，所以 22 (ln()2(ln() 1)0 aa g， 因为( )( )g xfx在 2 (, ln() a 上单调递增， 所以( )( )g xfx在 2 (, ln() a 上有唯一零点 1 x，8 分 当 1 (,)xx 时，( )0fx ；当 1 2 ,(ln() a xx时，( )0fx . 所以( )f x在 2 (, ln() a 上有唯一极值点. 9 分 又因
22、为当, 2 (0)a e 时， 221 (2ln()4ln() aa g a . 设( )ln 2 x h xx，其中 2 ,xe a ，则 112 ( )0 22 x h x xx ， 所以( )( )10 2 e h xh e ，所以 122 4 ( )4ln()(2ln()0h xg aaa . 即当, 2 (0)a e 时，() 212 (2ln()4ln0g aaa ， 而 22 (ln()2(ln() 1)0g aa ， 10 分 因为( )( )g xfx在 2 (ln(),) a 上单调递减， 所以( )( )g xfx在 2 (ln(),) a 上有唯一零点 2 x， 当 2 2 (ln(),)xx a 时，( )0fx ；当 2 (,)xx时，( )0fx . 所以( )f x在 2 (ln(),) a 上有唯一极值点. 12 分 综上所述，当( )f x有两个极值点时， 2 (,0)a a . 13 分
