1、2.4用尺规作线段和角一 希腊是奥林匹克运动的发源地希腊是奥林匹克运动的发源地.奥运会上的奥运会上的每一个竞赛工程，对运动器械都有明确的规定，每一个竞赛工程，对运动器械都有明确的规定，不然的话，就不易显示出谁不然的话，就不易显示出谁“更快、更高、更强更快、更高、更强.一些古希腊人认为，几何作图也应像体育竞一些古希腊人认为，几何作图也应像体育竞赛一样，对作图工作作一番明确的规定，不然的赛一样，对作图工作作一番明确的规定，不然的话，就不易显示出谁的逻辑思维能力更强话，就不易显示出谁的逻辑思维能力更强.应该怎样限制几何作图工具呢？他们认为，应该怎样限制几何作图工具呢？他们认为，几何图形都是由直线和圆
2、组成的，有了直尺和圆几何图形都是由直线和圆组成的，有了直尺和圆规，就能作出这两样图形，不需要再添加其他的规，就能作出这两样图形，不需要再添加其他的工具工具.于是规定在几何作图时，只准许使用圆规于是规定在几何作图时，只准许使用圆规和没有刻度的直尺，并且规定只准许使用有限次和没有刻度的直尺，并且规定只准许使用有限次.只用没有刻度的直尺和圆规作图称为只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规尺规作图作图.由于有了这样一个规定，一些普普通通的由于有了这样一个规定，一些普普通通的几何作图题，顷刻间身价百倍，万众瞩目几何作图题，顷刻间身价百倍，万众瞩目.从理论上来说从理论上来说,现在人们已经很清楚地知现在人们已
3、经很清楚地知道哪些图形是能用圆规直尺作出来的道哪些图形是能用圆规直尺作出来的;但是从但是从实际操作上来说实际操作上来说,知道如何具体地将图形作出知道如何具体地将图形作出来仍然是很吸引人的，来仍然是很吸引人的，尺规作图尺规作图特有的魅力，特有的魅力，使无数的人沉湎其中，乐而忘返使无数的人沉湎其中，乐而忘返.自古时候起，自古时候起，尺规作图尺规作图就是一个引人入迷就是一个引人入迷的数学问题的数学问题.有不少题目甚至让西方数学家苦苦有不少题目甚至让西方数学家苦苦思索了思索了2000多年多年.利用尺规作图：利用尺规作图：1.三等分任意角；三等分任意角；2.化圆为方求作一正方形使其面积等于一圆面化圆为方
4、求作一正方形使其面积等于一圆面积；积；3.倍立方体求作一立方体使其体积是一立方体倍立方体求作一立方体使其体积是一立方体的二倍；的二倍；4.做正十七边形做正十七边形.前三个问题被称为古希腊的前三个问题被称为古希腊的“几何作图三大难题几何作图三大难题.第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作生平得意之作.1637年伟大的数学家笛卡尔创造了解析年伟大的数学家笛卡尔创造了解析几何以后，利用解析几何的理论，终于证明了这三大几何以后，利用解析几何的理论，终于证明了这三大难题都是无法利用上述希腊人的尺规作图完成的，从难题都是无法利用上述希腊人的
5、尺规作图完成的，从而使人类智慧历经的而使人类智慧历经的2400多年的挑战告一段落多年的挑战告一段落.不是任何图形都能利用尺规作出来，但尺规确不是任何图形都能利用尺规作出来，但尺规确实能够作出美丽的图案实能够作出美丽的图案.如何用直尺和圆规作一条线段等于线段？如何用直尺和圆规作一条线段等于线段？A AB B：线段：线段AB.求作：线段求作：线段AB，使，使AB=AB.作法作法示范示范1 1作射线作射线A AC C；2 2以点以点A A为圆为圆心，以心，以ABAB的长为半的长为半径画弧，交射线径画弧，交射线A AC C于点于点B B.A AB B就是所作的就是所作的线段线段.AACAABBCa a
6、 如图，线段如图，线段a a和两条互相和两条互相垂直的直线垂直的直线AB,CD.AB,CD.ABCDO1 1利用圆规，在射线利用圆规，在射线OAOA，OBOB，OCOC，ODOD上作线段上作线段OAOA，OBOB，OCOC，ODOD，使它们分别与线段，使它们分别与线段a a相相等等.2 2依次连接依次连接A A,C,C,B,B,D,D,A,A.a aABCDO1 1以点以点O O为圆心，以为圆心，以a a为半径画弧，分别交为半径画弧，分别交射线射线OA,OB,OC,ODOA,OB,OC,OD于点于点A A,B,B,C,C,D,D.2 2依次连接依次连接A A,C,C,B,B,D,D,A,A.那
7、么那么A AC CB BD D为所求图形为所求图形.你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流.作法：作法：如图，线段如图，线段a和和b,直线直线AB,CD垂直且相交于点垂直且相交于点O.b ba aABCDO利用尺规，按以下要求作图：利用尺规，按以下要求作图：1 1在射线在射线OAOA，OBOB，OCOC上作线段上作线段OAOA，OBOB，OCOC，使它们分别与线段使它们分别与线段a a相等相等.2 2在射线在射线ODOD上作线段上作线段ODOD，使，使ODOD等于等于b.b.3 3依次连接依次连接A A,C,C,B,B,D,D,A,A.你得到了一个怎样的图
8、形？与同伴进行交流你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流.1.1.：线段：线段a,b.a,b.求作：线段求作：线段AB,AB,使使AB=2a-b.AB=2a-b.b ba a2.2.：线段：线段a,b,c(cb)a,b,c(cb)求作：线段求作：线段ABAB，使，使AB=a+(c-b).AB=a+(c-b).b ba ac c1.1.能利用尺规作一条线段等于线能利用尺规作一条线段等于线段并对它进行简单的应用段并对它进行简单的应用.小结2.2.了解作图的步骤，会写简单尺了解作图的步骤，会写简单尺规作图题的、求作和作法规作图题的、求作和作法.博达助教通博达助教通复习思考复习思考1 1、轴对称具有什
9、么样的性质？、轴对称具有什么样的性质？对应点所连的线段被对称轴对应点所连的线段被对称轴垂直平分垂直平分2 2、根据轴对称的性质判断以下每组中哪个图形关、根据轴对称的性质判断以下每组中哪个图形关于直线于直线L L成轴对称，为什么？成轴对称，为什么？12AA AAA A OOOAAAA A A LLLLLL博达助教通博达助教通AL对称轴对称轴L L和一个点和一个点A A，你能画出点，你能画出点A A关于关于L L的对应点的对应点A A 吗？你采用的是什么方法吗？你采用的是什么方法 ，为什么？，为什么？1、过点、过点A作对称轴作对称轴L的垂线，垂足为的垂线，垂足为B BB2、延长延长ABAB至至A
10、A，使得，使得B AB A=AB=AB3 3、点、点A A 就是点就是点A A关于直线关于直线L L的对应点的对应点A A LABA B L对称轴对称轴L和一条线段和一条线段AB，画出，画出线段线段AB关于关于L的对应线段的对应线段A B。1、过点、过点A作对称轴作对称轴L的垂线的垂线A A，使使CA=C A 2、过点、过点A作对称轴作对称轴L的垂线的垂线B B，使使DB=DB 3、连接、连接A B，线段线段A B 就是关于直就是关于直线线L 的对应线段的对应线段想一想、议一议想一想、议一议博达助教通博达助教通图中给出了一个图案的一半，其中的虚线是图中给出了一个图案的一半，其中的虚线是这个图案
11、的对称轴。这个图案的对称轴。(1)你能猜出整个图案的形状吗？你能猜出整个图案的形状吗？(2)你能画出这些图案的另一半吗？你能画出这些图案的另一半吗？ABCAABBCCDEB C C B A C B D E 博达助教通博达助教通做一做做一做观察下面的图案：观察下面的图案：1它们是轴对称图形吗？如果是，找出它它们是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴。们的对称轴。2生活中这些图案可以代表什么含义？与生活中这些图案可以代表什么含义？与同伴进行交流。同伴进行交流。博达助教通博达助教通 利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义。
12、一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义。可代表台可代表台灯灯试试看试试看博达助教通博达助教通 收集并欣赏生活中的轴对称徽标如收集并欣赏生活中的轴对称徽标如商标，选择其中的商标，选择其中的12个进行分析，个进行分析，并与同伴交流。并与同伴交流。博达助教通博达助教通商标分析商标分析三棱塑胶三棱塑胶1 1、每小组利用轴对称性质，共同设计一个、每小组利用轴对称性质，共同设计一个 图标，并说明你们小组的设计意图，比一比图标，并说明你们小组的设计意图，比一比 哪个小组的设计既新颖有创意又符合要求。哪个小组的设计既新颖有创意又符合要求。试一试试一试博达助教通博达助教通七、作业：七、作业：六、小结：六、小结：通过这节课的学习你学会了什么，有哪些收获？通过这节课的学习你学会了什么，有哪些收获？1、分别以虚线为对称轴画出以下各图的、分别以虚线为对称轴画出以下各图的另一半，并说明完成后的图案可能代表什另一半，并说明完成后的图案可能代表什么含义。么含义。博达助教通博达助教通 画一个正方形，再任意画一条直线，画一个正方形，再任意画一条直线，以这条直线为对称轴，画出与正方形成以这条直线为对称轴，画出与正方形成轴对称的图形。先猜一猜，再画一画。轴对称的图形。先猜一猜，再画一画。ABCD
