1、数学活动数学活动 R九年级上册九年级上册 日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？请同学们思考一个问题，为什么车轮要做的？请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？成圆形呢？能否做成长方形或正方形？(1)通过活动理解车轮做成圆形的数学道理通过活动理解车轮做成圆形的数学道理.(2)探究能过四边形的四个顶点作圆的条件探究能过四边形的四个顶点作圆的条件.(3)以圆和正多边形为根本图形设计图案以圆和正多边形为根本图形设计图案.活动1现代现代滚杠滚杠滚轮
2、滚轮车子车子马车马车橡胶轮胎橡胶轮胎充气轮胎充气轮胎历史历史通过这场比赛，你发现什么问题？通过这场比赛，你发现什么问题？滚动快滚动快平稳平稳滚动慢滚动慢颠簸颠簸摩擦力小物理知识摩擦力小物理知识摩擦力大物理知识摩擦力大物理知识 (1)车轮在滚动的过程中圆上各点有什么特点？车轮在滚动的过程中圆上各点有什么特点？为什么车轮做成圆形会更平稳？为什么车轮做成圆形会更平稳？(2)车轮在滚动的过程中什么没有变？车轮在滚动的过程中什么没有变？ABC在车轮转动的过程中，车轮中在车轮转动的过程中，车轮中心与地面的距离始终保持不变，心与地面的距离始终保持不变，这个距离等于圆的半径这个距离等于圆的半径.数学知识：圆心
3、到圆上各点的距离数学知识：圆心到圆上各点的距离相等相等.圆的概念圆的概念原因：原因：ABC滚动快滚动快平稳平稳滚动慢滚动慢摩擦力小物理知识摩擦力小物理知识摩擦力大物理知识摩擦力大物理知识颠簸颠簸圆心到圆上各点距离相等圆心到圆上各点距离相等 如果车轮是正方形形状，请尝试画出它中如果车轮是正方形形状，请尝试画出它中心点的运动轨迹心点的运动轨迹.如果车轮是正三角形，它中心点的运动轨如果车轮是正三角形，它中心点的运动轨迹又会怎么样呢？迹又会怎么样呢？为什么三角形或正方形车轮会出现颠簸？为什么三角形或正方形车轮会出现颠簸？为什么三角形或正方形车轮会出现颠簸？为什么三角形或正方形车轮会出现颠簸？滚动快滚动
4、快平稳平稳滚动慢滚动慢摩擦力小物理知识摩擦力小物理知识摩擦力大物理知识摩擦力大物理知识颠簸颠簸圆心到圆上各点距离相等圆心到圆上各点距离相等中心的轨迹不是一条直线中心的轨迹不是一条直线圆心到圆上各点的距离相等圆心到圆上各点的距离相等课后相互讨论课后相互讨论查阅资料完成查阅资料完成 我们知道：过任意一个三角形的三个我们知道：过任意一个三角形的三个顶点一定能作一个圆，过四边形的四个顶顶点一定能作一个圆，过四边形的四个顶点一定能作一个圆吗？点一定能作一个圆吗？活动2不一定不一定ABCD1.四点在同一条直线上不能作圆四点在同一条直线上不能作圆.四点中任意三点不在一条直线上，不一定作圆四点中任意三点不在一
5、条直线上，不一定作圆.ABCDABCDABCD2.三点在同一条直线上三点在同一条直线上,另一点不在这条直线上不能作圆另一点不在这条直线上不能作圆.举举 例例 图中给出了一些四边形，能否过它们的四图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！个顶点作一个圆？试一试！ABCDABCDABCD试一试试一试 分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？证明你的发现什么关系？证明你的发现.AC=180BD=180 发现：发现：过某个四边形的四
6、个顶点能作一个圆，那过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为么其相对的两个内角之和为180.ABCDABCD测量测量四边形四边形ABCD是是 O的内接四边形的内接四边形.弧弧BAD和弧和弧BCD的圆心角的和是的圆心角的和是周角周角.180ABCD 同理同理180BD所以圆内接四边形的相对两角之和为所以圆内接四边形的相对两角之和为180.BCDAO证明：证明：如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其两个相对的内角之间有上面的关系吗？那么其两个相对的内角之间有上面的关系吗？ABCDO其相对的两个内角之和不等于其相对的两个内角之和不等
7、于180.ABCDEFO试结合图说明其中的道理试结合图说明其中的道理.探究探究ACBAC B，.ACDAC D .ACBACDAC BAC D BCDBCD BC DA .=180 180BCDA 有有ABCDO连接连接AC并延长交并延长交 O于点于点C，连接，连接BC 和和DC.C 又又点点C在在 O上，上，A+BCDBCD+A说明说明情况一 由上面的探究，试归纳出判断过某个四边形的四个由上面的探究，试归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件顶点能作一个圆的条件.连接连接AC交交 O与点与点C，连接，连接BC和和DC.ABCDEFOC AC BACB，.AC DACD.AC BAC
8、DACBACD.BC DBCD 180.ABC D180.ABCD 有有所以所以又因为点又因为点C在在 O上上,所以所以A+BCDBCD +A.情况二四边形相对的两个内角四边形相对的两个内角互补互补,四点共圆四点共圆.许多图案设计都和圆有关，图许多图案设计都和圆有关，图1就是利用等分圆就是利用等分圆周设计出的周设计出的一些一些图案，图图案，图2展示了一朵雏菊图案的展示了一朵雏菊图案的设设计计过程过程.图图2活动3 利用正多边形可以镶嵌整个平面的性质，还利用正多边形可以镶嵌整个平面的性质，还可以设计出一些美丽的图案，如图可以设计出一些美丽的图案，如图.你能画出其中的一些图案吗？请你再利用圆你能画
9、出其中的一些图案吗？请你再利用圆或正多边形设计一些图案，并与同学交流或正多边形设计一些图案，并与同学交流.根底稳固根底稳固1.四边形四边形ABCD内接于内接于 O，A B C=7 6 3，那么，那么D等于等于()A.36 B.72 C.144 D.54B2.以下美妙的图案中，是由正三角形、正方以下美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为的为()D3.现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等长都
10、相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有择的方式有()种种种种种种种种B4.如图如图(1)是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成成,其设计方法如图其设计方法如图(2)所示，四边形所示，四边形ABCD是正方形，是正方形，O是该正方形的内切圆，是该正方形的内切圆，E为切点，以为切点，以B为圆心，分为圆心，分别以别以BA、BE为半径画扇为半径画扇形，得到如下图的扇形，得到如下图的扇环形，图环形，图(1)中的圆与扇中的圆与扇环的面积比为环的面积比为 .4 95.如图，正六边形硬纸片如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面
11、上由图在桌面上由图1的起始位置沿直线的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图不滑行地翻滚一周后到图2位置位置,假设正六边形的边长为假设正六边形的边长为2cm，那么正六边形的中心，那么正六边形的中心O运动的路程为运动的路程为 cm.46.如图，如图，AB，CD是是 O的两条互相垂直的直径，的两条互相垂直的直径，点点O1，O2，O3，O4分别是分别是OA，OB，OC，OD的中点，假设的中点，假设 O的半径为的半径为2，那么阴影局部的面，那么阴影局部的面积积为为 .87.如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1的正方形，那么的正方形，那么以格点为圆心，半径为以格点为圆心，半径为1和和2的两种弧
12、围成的的两种弧围成的“叶状阴影图案的面积为叶状阴影图案的面积为 .2-48.如图，在如图，在ABC中，中，ADBC，DEAB，DFAC.求证：求证：B、E、F、C四点共圆四点共圆.综合应用综合应用证明：证明：DEAB,DFAC,AED=AFD=90,AED+AFD=180.A、E、D、F四点共圆四点共圆.DEF=DAF.又又ADDC,DAF+C=90.DEF+C=90.BEF+C=BED+DEF+C=180.B、E、F、C四点共圆四点共圆.导入课题导入课题 如图，如图，O是六个正三角形的是六个正三角形的公共顶点，正六边形公共顶点，正六边形ABCDEF能能否看做是由某条线段绕否看做是由某条线段绕
13、O点旋转点旋转假设干次所形成的图形？假设干次所形成的图形？ABCDEFO学习目标学习目标1能按要求作出简单平面图形旋转后的图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2能通过图形的旋转设计图案能通过图形的旋转设计图案.知识点1 例例 如图，如图，E是正方形是正方形ABCD中中CD边上任意一点，以点边上任意一点，以点A为中为中心，把心，把ADE顺时针旋转顺时针旋转90，画出旋转后的图形画出旋转后的图形.A DB CEA DB CE因为因为A是旋转中心，所以是旋转中心，所以A点的对应点是点的对应点是 .根据正方形的性质：根据正方形的性质：ADAB，ABD90，所，所 以点以点D的对应点是点的对应点是
14、点 .因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三 角形全等的判定方法角形全等的判定方法 ，作出，作出ADE的对应图的对应图 形为形为 .A DB CEEABESASBAE点的对应点点的对应点E，还有别的方法作出来吗？，还有别的方法作出来吗？以以AB为一边向正方形外为一边向正方形外部作部作BAM，使，使BAM=DAE，在，在AM上截取上截取AE=AE即可即可.答案不唯答案不唯一一A DB CEEM 观察课本上图案的变换过程，它们分别是观察课本上图案的变换过程，它们分别是改变旋转中的哪些要素旋转而成的？改变旋转中的哪些要素旋转而成的？O1O2OOa.旋
15、转中心不变，旋转角改变，产生不同的旋转效果旋转中心不变，旋转角改变，产生不同的旋转效果.b.旋转角不变，旋转中心改变，产生不同的旋转效果旋转角不变，旋转中心改变，产生不同的旋转效果.任意画一个任意画一个ABC，以，以A为中心，把这为中心，把这个三角形逆时针旋转个三角形逆时针旋转40；任意画一个任意画一个ABC，以，以AC中点为中心，中点为中心，把这个三角形旋转把这个三角形旋转180.1分析图形，找出构成图形的关键点；分析图形，找出构成图形的关键点；2确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向；确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向；3将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关将关键点分别与旋转中
16、心连接后旋转，找到关 键点的对应点；键点的对应点；4顺次连接各对应点顺次连接各对应点.知识点2 运用旋转作图应满足三要素：运用旋转作图应满足三要素：旋转中心、旋转中心、旋转方向、旋转角旋转方向、旋转角，而旋转中心、旋转角固，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来因定下来，对应点就自然而然地固定下来因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会作出不同效果的图案作出不同效果的图案.B.C.D.1.将将AOB绕点绕点O旋转旋转180得到得到DOE，那么以下作，那么以下作图正确的选项是图正确的选项是 C2.数学课上，老师让同学们观察如下图的图形，数学课
17、上，老师让同学们观察如下图的图形，问：它绕着圆心问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：甲同学说：45；乙同学说：；乙同学说：60；丙同学说：丙同学说：90；丁同学说：；丁同学说：135以上四位同学的答复中，错误的选项是以上四位同学的答复中，错误的选项是 B3.如图，在如图，在RtABC中，中，ACB=90，A=40，以直角顶点，以直角顶点C为旋转中心，将为旋转中心，将ABC旋旋 转到转到ABC的位置，其中的位置，其中A、B分别是分别是A、B的对应点，且点的对应点，且点B在斜边在斜边AB上，直角边上，直角边C A交交AB于点于点D，那么旋转角等于，那么旋转
18、角等于 A.70 B.80 C.60 D.50B4.如图，如图，ABC中，中，C=90，B=40，点，点D在边在边BC上，上，BD=2CDABC绕着点绕着点D顺时针旋顺时针旋转一定角度后，点转一定角度后，点B恰好落在初恰好落在初始始ABC的边上，求旋转角的边上，求旋转角0180的度数的度数.解：有两种情况：解：有两种情况：点点B落在落在AB上，如上，如B，DB=DB，BDB=180-B-BBD =180-40-40=100，即即=100.点点B落在落在AC上，如上，如B，在，在RtDCB中，中，BD=BD=2CD，DBC=30，BDC=60，BDB=120，即即=120.综上所述：综上所述：的度数为的度数为100或或120.
