1、多边形的外角和多边形的外角和湘教湘教八年级下册八年级下册内角内角？多边形的内角的一边与另一边的多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个形的一个_.外角外角EDF是五边形是五边形 ABCDE 的一个外角的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个外角，在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的它们的和叫作这个多边形的_.外角和外角和 我们已经知道三角形的外角和为我们已经知道三角形的外角和为 360，那么，那么四边形的外角和为多少度呢？四边形的外角和为多少度呢？如图，在四边形如图，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，的每一个
2、顶点处取一个外角，如如1，2，3，4.1+2+3+4=4 180-360=360.1+DAB=180，2+ABC=180，3+BCD=180，4+ADC=180，又又 DAB+ABC+BCD+ADC=360，四边形的外角和为四边形的外角和为360.三角形的外角和是三角形的外角和是 360，四边形的外角和是，四边形的外角和是360，n 边形边形 n 为不小于为不小于 3 的任意整数的外角和都是的任意整数的外角和都是 360吗？吗？n 边形的外角和与边数有关系吗？边形的外角和与边数有关系吗？五边形五边形123455 个外角与跟它相邻的内角之和个外角与跟它相邻的内角之和加起来是加起来是_.5180五
3、边形的内角和是五边形的内角和是_.(5-2)180五边形的外角和是五边形的外角和是_.5180-(5-2)180=360六边形六边形1234566 个外角与跟它相邻的内角之和个外角与跟它相邻的内角之和加起来是加起来是_.6180六边形的内角和是六边形的内角和是_.(6-2)180六边形的外角和是六边形的外角和是_.6180-(6-2)180=360n 边形边形12345nn 个外角与跟它相邻的内角之和个外角与跟它相邻的内角之和加起来是加起来是_.n180n 边形的内角和是边形的内角和是_.(n-2)180n 边形的外角和是边形的外角和是_.n180-(n-2)180=360外角和为定值，与边数
4、外角和为定值，与边数n没有关系没有关系图形图形边数边数多边形的外角和多边形的外角和三边形三边形3四边形四边形4五边形五边形5六边形六边形 6n边形边形n3180-(3-2)180=3604180-(4-2)180=3605180-(5-2)180=3606180-(6-2)180=360n180-(n-2)180=360 一个多边形的内角和等于它外角和一个多边形的内角和等于它外角和 的的 5 倍，倍，它是几边形？它是几边形？解解 设多边形的边数为设多边形的边数为 n，那么它的内角和等于那么它的内角和等于(n-2)180.由题意得由题意得 (n-2)180=5360，解得解得 n=12.因此这个
5、多边形是十二边形因此这个多边形是十二边形.【教材教材P37P37】为什么自行车的三角架要做成三角形，做成四边形行吗？为什么自行车的三角架要做成三角形，做成四边形行吗？三角形具有稳定性，三角形具有稳定性，那么四边形呢？用那么四边形呢？用 4 根木条钉成根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？如图的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？点击翻开点击翻开 我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明这说明四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性.在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性在实际生活中，我们经常利用四边
6、形的不稳定性.有时又要克有时又要克服四边形的服四边形的不稳定性不稳定性.【教材教材P38P38】一个多边形的每一个外角都等于一个多边形的每一个外角都等于 45，这个多边形，这个多边形 是几边形？它的每一个内角是多少度？是几边形？它的每一个内角是多少度？解解 36045=8内角和为内角和为(8-2)180=108010808=135答：这个多边形是答：这个多边形是8边形，每一个内角是边形，每一个内角是135.2.如图，求图中如图，求图中 x 的值的值.解解 3x+90+90=360 x=60【教材教材P38P38】3.举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子举出日常生活中利用四边形不稳定性的一
7、些例子.【教材教材P38P38】伸缩晾衣杆伸缩晾衣杆衣架衣架如图如图,在五边形在五边形 ABCDE 中中,AB CD,1,2,3 分别是与分别是与BAE,AED,EDC 相邻的外角相邻的外角,那么那么 123等于等于 A.90 B.180 C.210 D.270选自创优作业B2.如图如图,工人师傅做了一个长方形窗框工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H 分别是四条边上的中点分别是四条边上的中点,为了使它稳固为了使它稳固,需要在窗框上需要在窗框上 钉一根木条钉一根木条,这根木条不应钉在这根木条不应钉在 A.A,C两点之间两点之间 B.E,G两点之间两点之间 C.B,F两点之间两点之间
8、 D.G,H两点之间两点之间选自创优作业B选自创优作业3.多边形的所有内角与某一外角的度数总和为多边形的所有内角与某一外角的度数总和为 1350,那么这个多边形的边数是多少？那么这个多边形的边数是多少？解解:设边数为设边数为 n,外角为外角为 x,那么那么 x(n2)1801350,x1350180(n2)0 x180,01350(n2)180180解得解得 n 为整数为整数,n 9 这个多边形的边数是这个多边形的边数是 9n1531711818 要判定一个四边形是平行四边形，要判定一个四边形是平行四边形，我们已经从边的角度进行了研究，说一我们已经从边的角度进行了研究，说一说有哪几种方法？说有
9、哪几种方法？一组对边平行且相等的一组对边平行且相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四两组对边分别相等的四边形是平行四边形边形是平行四边形.要判定一个四边形是平行四边形，要判定一个四边形是平行四边形，我们已经从边的角度进行了研究，说一我们已经从边的角度进行了研究，说一说有哪几种方法？说有哪几种方法？除了这些方法外，还有其他方法吗？除了这些方法外，还有其他方法吗？观察图，从观察图，从“平行四边形对角线互相平分这一性平行四边形对角线互相平分这一性质受到启发，你能画出一个平行四边形吗？质受到启发，你能画出一个平行四边形吗？：四边形：四边形 ABCD 中，中，OA=OC，OB=
10、OD.求证：四边形求证：四边形 ABCD 是平行四边形是平行四边形.证明：证明：在四边形在四边形ABCD 中，中，OA=OC，OB=OD，又又AOB=COD，AOB COD.AB=CD，ABO CDO.从而从而 ABCD.四边形四边形 ABCD 是平行四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.OA=OC，OB=OD.四边形四边形 ABCD 是平行四边形是平行四边形.：如图，：如图，ABCD 的对角线的对角线 AC，BD 相交相交于点于点 O，点，点 E、F 在在 BD 上，且上，且 OE=OF.求证：
11、四边形求证：四边形 AECF 也是平行四边形也是平行四边形.【教材教材P47P47】证明证明 四边形四边形 ABCD 为平行四边形，为平行四边形，OA=OC.又又 OE=OF，四边形四边形 AECF 是平行四边形是平行四边形.：如图，在四边形：如图，在四边形 ABCD 中，中，A=C,B=D.求证：四边形求证：四边形 ABCD 是平行四边形是平行四边形.【教材教材P47P47】证明证明 A=C，B=D，A+B+C+D=360，A+B=180.ADBC，同理，同理，ABDC.四边形四边形 ABCD 是平行四边形是平行四边形.3602两组对角分别相等的两组对角分别相等的四边形是平行四边形四边形是平
12、行四边形.两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.不一定是平行四边形不一定是平行四边形.2.一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四 边形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例边形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.不一定是平行四边形不一定是平行四边形.已知条件已知条件选择判定方法选择判定方法两组对边分别平行两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边
13、形；一组对边平行且相等一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形.1.如图，把如图，把 ABC 的中线延长至的中线延长至 E，使得，使得 DE=AD，连接，连接 EB,EC.求证：四边形求证：四边形 ABEC 是平行四边形是平行四边
14、形.【教材教材P48P48】证明：证明：CD=DB,AD=DE,而对角线互相平分的四边形是而对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形四边形四边形 ABEC 是平行四边形是平行四边形.2.如图，如图，ABCD 的对角线相交于点的对角线相交于点 O，直线，直线 MN 经过点经过点 O，分别与分别与 AB，CD 交于点交于点 M，N，连接，连接 AN，CM.求证：四边形求证：四边形 AMCN 是平行四边形是平行四边形.【教材教材P48P48】证明：证明：在在AMO和和CNO，AO=CO,AOM=CON对顶角，对顶角，MAO=NCO,AMO CNOASA.MO=NO.即即AC 与与 MN 互相平分
15、，且是四边形互相平分，且是四边形 AMCN 的对角线，的对角线，四边形四边形 AMCN 是平行四边形是平行四边形.1.下面给出了四边形下面给出了四边形 ABCD 中中A,B,C,D 的度数之比的度数之比,其中能判定四边形其中能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是是平行四边形的是 A3 4 4 3 B2 2 3 3 C4 3 2 1 D4 3 4 3选自创优作业D2.如图，在如图，在 ABCD 中，中，E、F 分别是对角线分别是对角线 BD 上两点，上两点，且且 BE=DF，要证明四边形，要证明四边形 AECF 是平行四边形，最简捷是平行四边形，最简捷的方法是根据的方法是根据_来证明来证明.对
16、角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形3.如图，如图，ABC 中，点中，点 O 是是 AC 边上的一个动点，过点边上的一个动点，过点 O 作直线作直线 MNBC 交交ACB 的平分线于点的平分线于点 E，交，交ACB 的外角平分线于点的外角平分线于点 F.1 请说明请说明 EO FO.2 当点当点 O 在在 AC 上运动到何处时，四边形上运动到何处时，四边形 AECF 是平行四边形？是平行四边形？并说明理由并说明理由.点击翻开点击翻开4.如图，在如图，在 ABCD 中，中，AEBD，CF BD，垂足分别为点垂足分别为点 E，F.求证：求证：四边形四边形 AECF 是平行四边形是平行四边形.证明：证明：AE BD 于点于点 E，CF BD 于点于点 F，AEFC.在在 RtAEB 和和 RtCFD 中，中，AB=CD,ABE=CDF,AEB=CFD，Rt AEB Rt CFDAAS.AE=CF.AEFC，AE=CF,四边形四边形 AECF 是平行四边形是平行四边形.
