1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质R八年级上册八年级上册导入课题导入课题 前面我们已经学习了轴对称图形和两前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定的性质和判定.学习目标学习目标1能表达出线段垂直平分线的性质能表达出线段垂直平分线的性质.2能运用线段垂直平分线的性质解决有能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题关问题.3能说出线段垂直平分线的判定方法能说出线段垂直平分线的判定方法.知识点知识点1探索并证明线段垂直平分线的性质探索
2、并证明线段垂直平分线的性质探究探究如图，直线如图，直线 l 垂直平分线段垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，是是 l 上的点，分别量上的点，分别量一量点一量点 P1，P2，P3，到点到点 A 与点与点 B 的距离，你有什么发现？的距离，你有什么发现？ABlP1P2P3你能用不同的方法验证这一结论吗？你能用不同的方法验证这一结论吗？相等相等.请在图中的直线请在图中的直线l 上任取一点，那么上任取一点，那么这一点与线段这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？两个端点的距离相等吗？探究探究线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等.ABlP1P
3、2P3：如图，直线：如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC=CB，点点P 在在l 上上.求证：求证：PA=PB 证明：证明：“线段垂直平分线上的点到线段线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等两个端点的距离相等.ABPCl证明：证明：lAB，PCA=PCB又又 AC=CB，PC=PC，PCA PCBSAS PA=PBABPCl线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等端点的距离相等反过来，如果反过来，如果PA=PB，那么点，那么点P 是否在线是否在线段段AB 的垂直平分线上呢？的垂直平分线上呢？点点P 在
4、线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 ：如图，在：如图，在ABP中，中，PA=PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平的垂直平分线上分线上PAB C PAB C 证明：过点证明：过点P 作线段作线段AB 的垂线的垂线PC，垂足为垂足为C那么那么PCA=PCB=90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA=PB，PC=PC，RtPCA RtPCBHL AC=BC又又 PCAB，点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上用数学符号表示为：用数学符号表示为：PA=PB，点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上与一条线段两个端点距与一条线段两个端点距离相等的点，
5、在这条线段的离相等的点，在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上PAB C 解：解：AB=AC，点点A 在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上MB=MC，点点M 在在BC 的垂直平分线上，的垂直平分线上，直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线 练习练习1如图，如图，AB=AC，MB=MC直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？A B C D M 稳固练习稳固练习 练习练习2如图，在如图，在ABC 中，中，BC=8，AB 的中垂的中垂线交线交BC 于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，那么，那么ADE 的的周长等于周长等于_8A B C D E
6、练习练习3 到三角形三个顶点的距离相等的点是到三角形三个顶点的距离相等的点是 A.三条角平分线的交点三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点C.三边高线的交点三边高线的交点D.没有这样的点没有这样的点B知识点知识点2例例1尺规作图：经过直线外一点作这条直线的尺规作图：经过直线外一点作这条直线的垂线垂线.：直线：直线AB和和AB外一点外一点C如图如图.求作：求作：AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.经过直线外一点作这条直线的垂线经过直线外一点作这条直线的垂线ABC 作法：作法：1任意取一点任意取一点K，使点，使点K和点和点C 在在AB 的两旁的两旁.3分别以点分别以
7、点D和点和点E为圆心，大为圆心，大于于 DE的长为半径作弧，两弧的长为半径作弧，两弧相交于点相交于点F.2以点以点C为圆心，为圆心，CK长为半径长为半径作弧，交作弧，交AB于点于点D和和E.4作直线作直线CF.直线直线CF 就是所求作的垂线就是所求作的垂线.CABDEFK12解：解：ADBC，BD=DC，AD 是是BC 的垂直平分线，的垂直平分线，AB=AC 练习练习4如图，如图，ADBC，BD=DC，点，点C 在在AE 的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长的长度有什么关系？度有什么关系？AB+BD与与DE 有什么关系？有什么关系？A B C D E 稳固练习稳固练习A B
8、C D E AB=AC=CE AB=CE，BD=DC，AB+BD=CD+CE 即即AB+BD=DE 点点C 在在AE 的垂直平的垂直平 分线上，分线上，AC=CE知识点知识点3作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线例例2如图，点如图，点A 和点和点B 关于某条直线关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？成轴对称，你能作出这条直线吗？AB怎样作线段怎样作线段AB 的垂直平分线呢？的垂直平分线呢？这种作法的依据是什么？这种作法的依据是什么？这种作图方法还有哪些作用？这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中确定线段的中点点 作法：作法：如图如图（1）分别以点）分别以点A，B 为圆心，以大于为圆心，以大
9、于 AB的长的长为半径作弧，两弧相交于为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；两点；（2）作直线）作直线CD CD 就是所求作的直线就是所求作的直线 12ABCD如果两个图形成轴对称，怎样作出如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？图形的对称轴？如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线因此，只一组对应点所连线段的垂直平分线因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴的垂直平分线，就得到此图形的对称轴如图中的五角星，请作出它的一条对称轴如图中的五角星，请作出
10、它的一条对称轴.你能作出这个五角星的其他对称你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？轴吗？它共有几条对称轴？五角星的对称轴有什么特点？五角星的对称轴有什么特点？稳固练习稳固练习 练习练习5作出以下图形的一条对称轴，和同桌比作出以下图形的一条对称轴，和同桌比较一下，你们作出的对称轴一样吗？较一下，你们作出的对称轴一样吗？练习练习6如图，角是轴对称图形吗？如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？如果是，它的对称轴是什么？练习练习7如图，与图形如图，与图形A 成轴对称的是成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴哪个图形？画出它们的对称轴ABCD根底稳固根底稳固1.如图，直线如图，
11、直线CD是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，M是直线是直线CD上的一点上的一点.线段线段MA=12cm，那，那么线段么线段MB的长为的长为_cm.122.在在ABC中，中，AB的中垂线与的中垂线与AC边所在边所在直线相交所得的锐角为直线相交所得的锐角为50，那么，那么A的的度数为度数为 或或140或或50C3.画出以下图形的对称轴有几条对称轴画出以下图形的对称轴有几条对称轴就画出几条，不要遗漏就画出几条，不要遗漏.综合应用综合应用4.如图，将矩形如图，将矩形ABCD纸片沿对角线纸片沿对角线BD折叠，折叠，使点使点C落在点落在点C处处BC交交AD于于E；1假设假设DBC=22.5，那么在
12、，那么在不添加辅助线的情况下，图中不添加辅助线的情况下，图中45的角虚线也视为角的边有多少的角虚线也视为角的边有多少个？个？2你认为图中有多少组全等三你认为图中有多少组全等三角形，并把他们写下来角形，并把他们写下来.解：解：15个个.24组，组，BCD BCD，ABE CDB，ABD CDB，ABD CDB.拓展延伸拓展延伸5.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离的距离必须相等，到两条高速公路必须相等，到两条高速公路m和和n的距离也必须的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在
13、图上标出相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置它的位置.解：如下图，两条高速公路相解：如下图，两条高速公路相交的角的角平分线和交的角的角平分线和AB的垂直的垂直平分线的交点平分线的交点P1与与P2点点.通过前面分式的学习，我们知道分式和分数有通过前面分式的学习，我们知道分式和分数有很多的相似性，如性质、约分和通分很多的相似性，如性质、约分和通分.事实上，事实上，在运算上它们也有许多的相似性在运算上它们也有许多的相似性.今天我们一起今天我们一起类比分数的运算来研究分式的运算，首先学习类比分数的运算来研究分式的运算，首先学习分式的乘除分式的乘除.学习目标：学习目标：1知道并熟记分式乘除法
14、法那么知道并熟记分式乘除法法那么.2能准确地进行分式的乘除法的计算能准确地进行分式的乘除法的计算.3通过分式乘除法法那么得出体会类比的数通过分式乘除法法那么得出体会类比的数学思学思 想方法想方法.知识点11这个长方体容器的高怎么表示？这个长方体容器的高怎么表示？Vab问题问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积一个水平放置的长方体容器，其容积为为V，底面的长为，底面的长为a，宽为，宽为b，当容器内的水占容，当容器内的水占容积的积的 时，水面的高度为多少？时，水面的高度为多少？mn容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等占容积的比相等.Vma
15、bn 所以水面的高度为所以水面的高度为 2容器内水面的高与容器内的水所占容积间容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？有何关系？问题问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积一个水平放置的长方体容器，其容积为为V，底面的长为，底面的长为a，宽为，宽为b，当容器内的水占容，当容器内的水占容积的积的 时，水面的高度为多少？时，水面的高度为多少？mn平均每天的耕地量平均每天的耕地量.问题问题2大拖拉机大拖拉机m 天耕地天耕地a hm2，小拖拉，小拖拉机机n天耕地天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？拉机的工作效率的多少倍？1此题中出现的此题中
16、出现的“工作效率的含义是什么？工作效率的含义是什么？大拖拉机的工作效率为大拖拉机的工作效率为 hm2/天；天；ambn小拖拉机的工作效率为小拖拉机的工作效率为 hm2/天天.2大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？问题问题2大拖拉机大拖拉机m 天耕地天耕地a hm2，小拖拉，小拖拉机机n天耕地天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？拉机的工作效率的多少倍？大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍倍.ambn和和 中，其中涉及到分式的有哪些中，其中涉及到分式的有哪
17、些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？Vmabn abmn 观察上述两个问题中所列出的式子观察上述两个问题中所列出的式子在计算的过程中，你运用了分数的什么法那么在计算的过程中，你运用了分数的什么法那么？你能表达这个法那么吗？你能表达这个法那么吗？如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法那么，说出分式的乘除法法那么吗？除法法那么，说出分式的乘除法法那么吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法那么呢怎样用字母来表示分式的乘除法法那么呢？315315125252 （）；（）问题问题3 计算：计算：acacacadadbdb
18、dbdbcbc ；用文字语言来描述：用文字语言来描述：乘法法那么：乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母的积作为积的分母.分式的乘除法法那分式的乘除法法那么：么：除法法那么：除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘后，与被除式相乘.3223245123422xyaba bycdxc （）；（）例例 计算：计算：33244213263xyxyyxx yx （）；322322223222542422542510.aba babcdcdcca bab cdbdac
19、a b c （）解解:知识点2例例“丰收丰收1号小麦的试验田是边长为号小麦的试验田是边长为a ma1的正方形去掉一个边长为的正方形去掉一个边长为1 m的正方形的正方形蓄水池后余下的局部，蓄水池后余下的局部，“丰收丰收2号小麦的试验号小麦的试验田是边长为田是边长为a-1m的正方形，两块试验田的的正方形，两块试验田的小麦都收获了小麦都收获了500 kg1哪种小麦的单位面积产量高？哪种小麦的单位面积产量高？2高的单位面积产量是低的单位面积产量高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？的多少倍？思考以下问题：思考以下问题：你能说出小麦的你能说出小麦的“单位产量的含义吗？单位产量的含义吗？如何表示这两
20、块试验田的单位产量？如何表示这两块试验田的单位产量？怎样确定哪种小麦的单位产量高？怎样确定哪种小麦的单位产量高？你能列式表示你能列式表示2的问题吗？的问题吗？0a-12 a2-1，25001-a25001-a（）.即即“丰收丰收2号小麦的单位面积产量高号小麦的单位面积产量高解：解：（1）“丰收丰收1号号”小麦的试验田面积是小麦的试验田面积是单位面积产量是单位面积产量是 kg/m2 25001-a（）（a2-1）m2，单位面积产量是单位面积产量是 kg/m2；“丰收丰收2号号”小麦的试验田面积是（小麦的试验田面积是（a-1）2 m2，25001a 2250050011-aa（）所以，所以，“丰收
21、丰收2号号”小麦的单位面积产量是小麦的单位面积产量是“丰收丰收1号号”小麦的单位面积产量的小麦的单位面积产量的 倍倍11+-aa解：解：211+=.=.-aa2250015001-=-aa（）1.计算：计算：2224534(1 1)a bc dcdab 2225454(2)(2)yxxyxyxxy 222205312(1)=;a bc dacbab cd解：原式 5454(2)=.yxyxxyyxxyxxxy 原式2.先化简，再求值先化简，再求值 ，其中其中 x=2.212111xxxx 解：原式解：原式=，当当x=2时，时，原式原式=.11xx 2121 133.已知已知x-3y=0，求，求 的值的值.2222xyxyxxyy 解：解：原式原式=，将，将x=3y代入其中，代入其中，得原式得原式=303,.xyxy 2xyxy 23732.yyyy
