1、 在这一章里，我们将讨论在生产实践和科学研究中常遇见的圆、椭圆、双曲线、抛物线，主要是学习掌握它们的定义、方程、性质、图形及一些应用.第一节 圆第二节 椭圆第三节 双曲线第四节 抛物线第五节 曲线与方程第一节 圆一、圆的方程 平面内与定点 的距离等于定长 的点的轨迹称为圆.定点称为圆心,定长 称为圆的半径.圆心确定圆的位置,而半径确定圆的大小.有了圆心和半径,这个圆就可以确定了.现在我们研究怎样用方程来表示圆的问题.CrCr,.,Ca,brP x y 如图9-1所示,设圆心 的坐标为 圆的半径为 为圆上任意一点则由圆的定义 有CPr 图9-1 圆的形式示意Oxyr,Ca b,Px y,:由两点
2、间距离公式 得22xaybr,两边平方 得2229 1 xaybr,这就是圆心为半径为 的圆的标C a br准方程0,当时 可得圆心在原点 半径为 的圆的标准方程为abr22292 xyr9 1,把式展开 得22222220 xyaxbyabr2222,2,.,设代入上式 得Da Eb Fabr 22093 xyDxEyF93式称为圆的一般方程22,.;(2).从式 9-3 可知 圆的方程是一个关于 和 的二次方程且(1)x 与 项的系数相等不含项xyyxy,可以通过配方 把圆的一般方程化为标准方程.(1),5;(2),3.CrCr依照下面所给的圆心和半径,写出圆的标准方程.圆心-2,3 圆心
3、0,-1例1 解 22(1),2,3,5,325;abrx+y 圆心-2,3就是又所以圆的标准方程是222(2),313.圆心 0,-1的圆的标准方程是rxy2224830.求圆2的圆心和半径xyxy例2 通过配方,圆的方程可化为:222124432802 xxyy 2222213212213,12.2所以所以xyxy139 1,.2与式比较,得:所求圆心为 1,2半径r22222,9 1,35,13.注意 方程的右边是即半径为平方.不能把例1中的方程写成+2或也不能说例2中13的半径=2rxyxyr解,6,4,.已知两点2,-2求以为直径的圆的方程ABAB例3解 由中点坐标公式,得2,122
4、+-6-2+4 2a=b=,根据两点间距离公式 可得圆的半径2226245.12r=22,:2125.由式 9-1 所求圆的方程为xyAB,a,b.所求圆的圆心在直径的中点222,.,xybr 现在 我们已经掌握了圆的方程的两种表达形式就是说任何一个圆,都可以写成标准式-a或一般式220 xyDxEyF22,.,a brxyxy 标准式的特点 就在于它具有鲜明的几何意义 从形式上可以看出圆心和半径 一般式的特点 就在于它的 与 项的系数相同,且不含 项,掌握它,我们可以很容易地在一般的二元二次方程中分辨出哪些是圆的方程.哪些不是圆的方程.在解决圆的问题时,有时用标准式方便,有时用一般式方便,要
5、根据具体问题妥善选择.93,a,b,rD,E,F 在上一章里,我们知道决定一条直线需要两个条件.那么,决定一个圆,需要几个条件?观察圆的方程 9-1 和方程它们分别含有三个待定常数或.示圆的方程,就是要确定这三个待定常数,而求一个常数需要一个条件,因此决定一个圆,需要三个独立的条件.1232,2,5,3,3,1.(!)求过三点的圆的方程并指出它的圆心和半径不知道圆心和半径故利用圆的一般式方程.MMM例4 解220 xyDxEyF 因为三点都在这个圆上,它们的坐标都适合这个方程,把三点的坐标分别代入方程,得222222222053530,31302DEFDEFDEF 2285334.310即DE
6、FDEFDEF 123,M MM 设过三点的圆的方程为解这个方程组得:-8,-2,12.D=E=F=2282120.所求圆的方程为:xyxy222,:415.配方后 得xy,5.可知圆心为 4,1 半径为 知道了圆的标准方程，还可以根据一点到圆心的距离与半径的关系来判断该点在圆上、圆内，还是圆外.二、平移变换9 192,92.,9 1.92.ra bC 对比一下式和式这两个方程表示的圆,它们的半径都是,是两个等圆,在同一坐标系中,由于圆心的位置不同,它们的方程就不同,而且一简一繁,对于式 9-1 来说 如果把坐标原点选在点 那么这个圆的方程也会具有式的形式这就是说,我们把原来的坐标系平移到以
7、a,b 为原点的新坐标系 就可以化简式同时也找到了式 9-1 和式的内在联系 下面我们就来研究改变坐标系位置的一种方法.这种方法不改变坐标轴的方向和长度单位，把坐标系的原点移到某一个定点，而得到一个新坐标系.称这种方法为坐标系的平移变换.简称移轴.（！图形不变，坐标变.）.,POOxyx,yOO x yx yOOPP 如图9-2所示,是平面上任意一点,在以 为原点的坐标系 中,它的坐标是在以 为原点的坐标系 中 它的坐标是很明显,如果 与 不重合 点的旧坐标与新坐标也不一样.那么在两个不同的坐标系中,点的新,旧坐标之间有什么关系呢?这个问题解决了,方程之间的联系也就清楚了.图9-2 坐标系的平
8、移变换Oxyxy00,Ox yP00,设点在坐标系中的坐标为这时 同一点 在两个不同坐标系中的坐标之间的关系是:OOxyxyP000940或 x=x-xx=xxyyyy=y-y这就是坐标平移变换的公式，简称移轴公式.4,5.3,293.平移坐标轴,把原点移到求点的新坐标OA 例504,5.x=y=xy 0 这里3,-2,94,:根据移轴公式得00347,257xxxyyy 3,27,7.所以点的新坐标为A图9-3 例5题图形OxyyOx5-4解2,0.Oxy 平移坐标轴,把原点移到求直线3-4-6=0关于新坐标系的方程.例6,:xyx,yx,yx y 如图9-4所示,方程3-4-6=0是直线上
9、一切点的旧坐标所具有关系.而旧坐标与新坐标之间有下列关系 2,xxyy,把上式代入原直线方程 就可得到直线上所有点的新坐标所具有的关系,即x,y4603+2xy:340.xy 整理得这就是所给直线关于新坐标系的方程图9-4 例6题图形OxyyO3-4=6xy解22,4240,.平移坐标轴,把原点移到2,1 设一圆在旧坐标系中的方程是求该圆在新坐标系中的方程并作出新旧坐标轴和圆的图形.Oxyxy 例7x=x+y=y-把2,1代入圆的方程得:2214221402x+yxy22:9,.(!,)化简后得这就是圆在新坐标系中的方程把新原点放在圆心 方程简单xy95.新旧坐标轴和圆的图形如图所示图9-5
10、例7题图形OxyyOx解习 题思考题：课堂练习题：1.,.写出圆的三种形式方程 并指出圆心 半径2.写出新坐标表示原坐标的移轴公式.1.3,-5,4.求圆心在点半径等于 的圆的方程222320.2 2的圆心 半径求,.圆yyx 3.3,4,:平移坐标轴,把原点移到求下列各点新坐标O(1);(2)3,4;(3)5,2;(4)3,2.OABC0,0 答 案答 案答 案答 案答 案第二节 椭 圆椭圆形是一种常见的几何图形,在许多实际问题中都会遇到它.例如圆形的物体在阳光下的影子一般地说都是椭圆形.又如发射人造地球卫星时,只要卫星脱离运载火箭时的速度大于7.9km/s,小于11.19km/s,那么卫星
11、就会沿着椭圆轨道绕地球运行.下面就来研究椭圆的方程和它的性质等问题.一、椭圆的定义与标准方程1.椭圆的定义12,F,F 如图9-6所示,取一条没有伸缩性的绳子,将它们的两端分别固定在平板上的 两点 用铅笔尖把绳子拉紧,移动一周则笔尖画出的曲线就是椭圆.12 在上面椭圆的画法中,我们可以看到,曲线上任意一点到两点的距离之和都等于一个常数,即绳子的长度.根据椭圆的这一几何特征,可以得到椭圆的定义.F,F 定义 平面内到两定点距离之和等于一个常数的点的轨迹称为椭圆.两个定点，称为椭圆的焦点.2.椭圆的标准方程1212,97FFxFFy 以过两焦点 和 的直线为 轴 线段 的垂直平分线为 轴 建立直角
12、坐标系 如图所示.图9-6 椭圆的形成示意M1F2F121220,0,0.FFc cF Fcc 设则的坐标分别为和12,2,M x ya acMFMFa 设为椭圆上任意一点它到两焦点的距离之和为2那么根据椭圆的定义 有22222即 x-cyxcya:化简得22222222.acxa yaac22220,0.因为所以即acacac97x图 焦点在 轴上的椭圆Oxy1F2F,Mx y222220,:令代入上式 两边同除以得acbba b22221095 xyabab95方程称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.20,0,981 如果椭圆的两个焦点在y轴上,且焦点为F如图所示.完全类似地,可得:cFc2
13、2221096xyabba 96.y 方程称为焦点在 轴上的椭圆的标准方程98y图 焦点在 轴上的椭圆同Oxy1F2F22295,:在式和式 9-6 中均满足a b cabc(!)可根据标准方程中分母的大小判定椭圆的焦点在哪个坐标轴上.23,0,3,0,10FFM1 已知椭圆的焦点是动点 到两焦点的距离之和是,求椭圆的标准方程.例1x这是焦点在 轴上的椭圆.因此设所求椭圆的标准方程为22221xyab22225916,由已知条件:3;210,从而得 5.c=a=a=bac,:因此 所求的椭圆标准方程是2212516xy解二、椭圆的几何性质根据椭圆的标准方程222210 xyabab来研究椭圆的
14、性质.1.范围 由椭圆的标准方程（9-5）得22221,1 xyab即 ,-axabyb,99因此椭圆应在四条直线所围成的矩形内 图xa yb 图9-9 椭圆性质的图形示意Oxy,Mx y1,Mx y1A2A1B2B1F2F2.对称性95,xx,M x,yyMx,yyyyxxyx,y1 在方程中以-代替 方程不变,它说明,当在椭圆上时 它的关于 轴的对称为-也在椭圆上.因而椭圆是关于 轴对称的.同理,以-代替,方程也不变,说明椭圆也是关于 轴对称的.同时以-,-分别代替,方程也不变,说明椭圆关于原点对称.xy 因此,椭圆有两条对称轴,即 轴,轴.两条对称轴的交点称为椭圆的中心.式 9-5 的椭
15、圆中心在原点3.顶点 椭圆和它的对称轴的交点，称为椭圆的顶点.2121212,0,0,0,0,0,0,.,.1 在椭圆的标准方程 9-5 中 分别令可以得到椭圆与它的对称轴的四个交点,所以是椭圆的四个顶点xyAaA aBbBbA A B B1212121212,2,2.2,线段分别叫做椭圆长轴轴有时也把 叫做椭圆的长半轴,叫做椭圆的短半轴.称为椭圆,也叫做椭圆A A B BA AaB BbabFFcc的和短.,的焦距的半焦距.椭圆的焦点一定在长轴上.如图9-9所示.4.离心率222.,ab.bbaacbcbacaaae 椭圆形状的扁平程度与它的长半轴 和短半轴 有关系椭圆的短半轴 与长半轴 的
16、比值 越小,椭圆就越扁平.由于 也可以由 决定 的大小一般地 把 叫做椭圆的离心率 记作.ce=a0,01,因为所以由cae2211bceaa,0,.,.可知 当 的值越接近于1,就越接近0,椭圆越扁平 当 接近于 时接近于1,这时差不多大小,椭圆就越接近圆.当时,c=0,=0因此 圆也可以看作是离心率0的椭圆beeaba,ba=baceea244 求椭圆的长半轴,短半轴,半焦距,顶点,焦点坐标和离心率xyabce.例2 把椭圆方程化为标准形式22141xy3,2,1,4 13,.2这里cabcea ,3,0,3,0,2,0,0,1,0,1.椭圆的长轴在 轴上 所以 焦点的坐标为四个顶点的坐标
17、分别为 2,0 x解 1,3,0,3求焦点为-3,0离心率为 的椭圆方程.例3 222,9,72.cc=e=abace1由已知3,所以3 因为焦点在 轴上,所求椭圆的标准方程为:x2218172xy解 地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆.太阳在它的一个焦点上,轨道的近日点到太阳的距离是144百万公里,轨道的远日点到太阳的距离是149百万公里.求这条轨道的离心率和轨道的方程.例412,.FAA1 如图9-10所示,设 是太阳的位置 是近日点 是远日点 就是椭圆长轴上的顶点 112,.OFc OAaF AF A111 因为且=144=149,=149所示 解之得=146.5,=2.5,-=144a+c
18、aca c图9-10 例4的解题图形O1A2A1F解22146.4.所以b=ac,:所以 轨道的离心率2.55146.5293cea轨道的方程是:22221146.5146.4xy 描绘椭圆，可以根据椭圆的标准方程用描点法画出，但这样做比较复杂，通常是结合椭圆的几何性质，作出其略图.步骤如下.(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)作出椭圆的四个顶点；(3)适当描出椭圆在第一象限的一些点，再利用对称性描出其他象限的点；(4)用光滑的曲线顺势连接这些点.习 题思考题：课堂练习题：1.椭圆的定义?有几个顶点?2.直立式,卧式标准方程是什么?并指出焦点位置?写出适合下列条件的随圆方程.1.4,1,2.4
19、,15,3.2,3,0,.焦点在 轴上;焦点在 轴上;经过点焦点在 轴上abxabybAx答 案答 案答 案第三节 双 曲 线 双曲线也是一种常见的曲线.当宇宙火箭燃料用完时,如果速度超过11.19km/s,它就会沿着一条双曲线轨道飞出地球的引力范围.一、双曲线的定义和标准方程1.双曲线的定义112,.,FFMFF2取一条拉链 先拉开一部分 分成两支,将一支剪短,然后如图9-11所示,把长短两支端点分别固定在平板上的 和 两点 把笔尖放在 处 笔尖随着拉链的拉开和合上 就画出一条曲线再交换位置 使长短两支端点分别固定于 和 两点同样画出另一条曲线.这两条曲线,就是常见的 双曲线.2().FF1
20、 从以上作图可以看出,笔尖移动时,它到两个定点 和 的距离之差的绝对值都等于定长 剪掉的部分 根据双曲线的这一几何特征,我们给出双曲线的定义.定义121212,()FFFFFF在平面内,到两定点 的距离之差的绝对值等于定长 小于的动点的轨迹称为双线.两定点 和 称为双曲线 点 的.曲焦图9-11 双曲线的形成示意OxyM1F2F2.双曲线的标准方程1212,以过两焦点 和 的直线为 轴,线段的中点为原点 建立直角坐标系.如图9-12所示.FFxFF 12122,0,0.设则焦点 和的坐标分别为FFcFFcc12,.设为双曲线上任意一点 它到两焦点 及 的距离之差的绝对值为定长20M x yFF
21、a ca,那么 根据双曲线的定义 有212MFMFa 即 2222+-c=2x cyxya912x图 焦点在 轴上的双曲线OxyM1F2F22222222.化简,得 caxa yaca0,因为ca220.所以ca2220,令代入上式得cabb2222197 xyab称式（9-7）为焦点在x轴上的双曲线的标准方程.20,0,913.1如果两焦点在y轴上,且焦点为与如图所示完全类似地有FcFc2222198 yxab 称式（9-8）为焦点在y轴上的双曲线的标准方程.(!可根据标准方程中平方项的符号判定双曲线的焦点在哪个坐标轴上.)2229798,:.在式和式中都满足关系a b ccab913y图
22、焦点在 轴上的双曲线OxyM1F2F24,04,0,6.1 已知双曲线的焦点是F和曲线上点到两焦点的距离之差是 求这个双曲线的方程F 例1,因此 所求双曲线的标准方程是22197xy2221697.ca 由焦点坐标知c=4,又2a=6,a=3.所以b 解二、双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程（9-7）22221xyab来研究双曲线的性质.1.范围2297:1,:.由式得即或xxaxaa 97.这说明双曲线式在与之间没有图像xaxa 2.对称性,.,.,.xyO 与椭圆相同 双曲线也是关于坐标轴和原点对称的因此 双曲线有两条对称轴 即 轴 轴 其交点即原点 称为双曲线的中心基于对称性 我们要讨
23、论曲线的变化趋势只要在第一象限内进行就可以了从关系式22byxaa,xayxy中可以看出当 从 开始逐渐增大时,则从0开始也随之逐渐增大.当 趋向无穷时,也趋向无穷.可见双曲线在第一象限内是无限延伸的.或者说是无界的.由对称性可知双曲线在其他象限也是无界的.3.顶点1212221197,0,0,.0,.0,0,.yxaxAaA aAAxybyyBbBb 在式中 令 得 所以双曲线与 轴的交点为 0 和 和 两点称为双曲线的顶点令 得 方程无实根,说明方程 9-7 表示的双曲线与 轴无交点为研究问题方便,在 轴上也取和两点12,2.线段称为双曲线的实轴 实轴长为A Aa12,线段称为双曲线的虚轴
24、 虚轴长为2.也称 为双曲线的实轴.为双曲线的虚轴.B Bbab半半122 线段长称为双线,c称为双线.FFc曲的焦距曲的半焦距双曲线的焦点和顶点都在它的实对称轴上.224100 xy 求双曲线25的实轴长,虚轴长,焦距,顶点和焦点坐标.例2 将双曲线方程化为221425xyxa=b=这是焦点在 轴上的双曲线方程,2,5.于是22242529,29.cabc ,2,0,2,0,29,0,29,0.因此 实轴长2a=4,虚轴长2b=10,焦距2c=2 29 顶点坐标为焦点坐标为解4.渐近线 因为双曲线是无界的,要画出综的整个图形是不可能的.因此我们只能画出它的一部分.但对它的无限伸延的趋势要有一
25、个了解.我们把式 9-7 化为221bayax 2222,1.aaxxxbyxa当 无限增大时,无限接近零 因此就无限接近1.双曲线就无限接近于直线:=我们在第一象限来作确切的说明.如图9-14所示.考虑双曲线22和直线bbyxayxaa,点在双曲线上在直线上 如果它们的横坐标相等那么M x yL X YxX22bbbYXxxayaaa所以在 下方.且ML22abMLYyxxa图9-14 第一象限内双曲线的渐近线OxyMFL.因此可见当点沿双曲线无限地远离原点时,它从下方无限接近直线,但又永远不会跑到直线=上Mbyxa 所以，我们把这条直线称为双曲线的渐近线.根据对称性知道，双曲线有两条渐近线
26、：=和 bbyxyxaa 有时也写为2222099 xyab99,由式我们可以根据双曲线方程直接写出它的渐近线方程.5.离心率.双曲线的形状有的很扁,张的口小;有的很陡,张的口大,张口的大小与渐近线的斜率有关.与椭圆的情形一样,我们不用而用表示双曲线的扁平程度bcaa 双曲线的半焦距与实半轴这比，称为双曲线的离心率，.记作e,即e=ca2,1.1.,因为所以双曲线的离心率且所以 越大就越大,这时双曲线的开口就越大.bcaeeeaba2216144 求双曲线9的离心率,渐近线方程.xy例3将所给方程化为标准方程221169xy222:4,3,25,5.,5:.4abcabccea 由此可知于是因
27、此 双曲线的离心率223:0.1694双曲线的渐近方程为或写成xyyx 解10,6,.(!?)exy1 已知双曲线的离心率=虚轴长等于求双曲3线的标准方程考虑实轴在 轴还是 轴上 例42222222211.xyxyyxabab 由题意可知,双曲线的焦点可能在 轴上,也可能在 轴上,所以应设双曲线的标准方程为或 由已知条件 得:110,3.3cba,:由关系 得a b c22111.,9.93所以bcbaaaa,:因此 所求双曲线的标准方程为222211.819819或xyyx解三、等轴双曲线、双曲线的画法1.等轴双曲线,:ab 在双曲线的标准方程 9-7 中 如果 那么方程变为22222221
28、或写成xyxyaaa它的实轴与虚轴相等，这样的双曲线称为等轴双曲线.222,:,yxayxe 类似地也是等轴双曲线.只是它的焦点,实轴在轴上 虚轴在 轴上 可以证明 等轴双曲线的离心率=2 它的两条渐近线相互垂直.2.双曲线的画法 描绘双曲线,可以根据双曲线的标准方程,用描点法画出.通常是利用它的几何性质,作出略图,一般步骤如下.(1)将方程化为标准方程;(2)x=a xa y b yb 作出由直线,=-,=,=-所围成的矩形.画出它的对角线,两端延长即得渐近线;(3)利用双曲线的范围、顶点、对称性和渐近线，画出双曲线的略图.,已知等轴双曲线的中心在原点,一个焦点在-6,0求它的方程和渐近线方
29、程.例5x由已知,双曲线的焦点在 轴上.222226,236,18.xyaccaa 所以所求方程由于所以2218,所以方程为渐近线方程为xy220.或xyyx 解习 题思考题：课堂练习题：1.?双曲线标准方程是什么 如何判断焦点位置2.双曲线的半焦距与实半轴之比是什么意义?它与开口有关吗?什么叫等轴双曲线,离心率为多少?求适合下列条件的双曲线方程:1.4,3,;焦点在 轴上abx答 案答 案答 案答 案答 案2.14,6,;焦距等于焦点在轴上ax3.2 5,2,5,.过点焦点在轴上aAy第四节 抛 物 线20,.抛物线是我们很熟悉的一种图形.在代数里学习过的二次函数它的图像就是一条抛物线人造行
30、星在脱离运载火箭时,速度大于11.19km/s,它就沿着一条抛物线轨道飞出地球,成为太阳系中的一颗人造行星.飞机空投炸弹,如果不计空气阻力,炸弹就沿一条抛物线轨道落到地面.这一节,将研究抛物线的标准方程和它的几何性质.y=axbxc a1.抛物线的定义 我们先来看一种画抛物线的方法.如图9-15所示,把一根直尺固定在平板上,用三角尺的一条直角边紧贴着直尺的边缘线.再取一条无伸缩性且与三角尺另一直角边等长的线.将其一端固定在三角尺的顶点,另一端固定在平面上一点 上,用笔尖沿着边把线拉紧,同时将三角尺沿直尺边 上下滑动,就画出一条抛物线.BClACAFACl 从这个作图的过程中可以看出:笔尖移动时
31、,曲线上一点到定点 的距离,始终等于到定直线 的距离.Fl图9-15 抛物线的形成示意BCAF抛物线的这个几何特征可以用来作为抛物线的定义.定义 如果平面内的一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等,那么这个动点的轨迹叫做抛线.定点 称为抛物线的点,定直线 称为抛物线的线Fl物焦准.2.抛物线的标准方程0,0,2.FlxxlHHFpHFp pFlpx=如图9-16所示,以经过焦点 且垂直于准线 的直线作为 轴.轴与 交于,取线段 的中点为原点,建立直角坐标系.设则焦点 的坐标为准线 的方程为-2,M x ypMld=x 设 为抛物线上任意一点 到 的距离+根据抛2物线的定义,有:,=+2pMF
32、x即 ,:化简 得229 10 ypx22.22ppxyx -9 10,0,.xppxp 式称为点轴抛线标,其焦点坐标为准线方程为其中 称为抛线参数22焦在正向的物的准方程物的焦图9-16 开口向右的抛物线OxyFHMl240 求抛物线的焦点坐标和准线方程.yx例1将方程化为标准形式:24.yx,24,1.因此焦参数2,焦点坐标 1,0准线方程为pp=x,.,:一条抛物线由于焦点在平面内的位置不同 标准方程也不同当抛物线焦点在 轴负向时 抛物线的标准方程为x2209 11 ypx p ,0,2,9 17;2 焦点坐标准线方程如图所示ppx=a图9-17 几种开口方向不同的抛物线（a）OxyFH
33、MN解当抛物线的焦点在 轴正向时,抛物线的标准方程为:y2209 12 xpy p 0,9 17;22焦点坐标准线方程如图所示ppyb 图9-17 （b）OxyFHMN,:当抛物线的焦点在 轴负向时 抛物线的标准方程为y229 13 xpy 0,9 17.22焦点坐标准线方程=如图所示ppyc图9-17 （c）OxyFHMN二、抛物线的几何性质1.范围29 10:0,00.ypxyxy 由式知由得所以这条抛物线在 轴右侧.当 增大时,也增大,因经抛物线向右上方和右下方无限延伸.通常说抛物线开口向右.2.对称性,.yyxx 在式 9-10 中 用 代替 方程不变 这说明抛物线关于 轴对称,所以
34、轴是抛物线 9-10 的对称轴3.顶点9 10,00,.,.xy 在式中 令 得 所以抛物线经过原点原点是抛物线与它的对称轴的交点 因此称原点为抛物线的顶点220,根据以上讨论可知,抛物线的顶点在原点 对称轴是 轴,开口向右.ypx px22,.类似地,抛物线y的顶点在原点 对称轴是 轴 开口向左pxx 22抛物线的顶点在原点,对称轴是 轴,开口向上.xpyy22,.抛物线的顶点在原点 对称轴是 轴 开口向下xpyy 求顶点在原点,对称轴重合于坐标轴,并且经过点-2,4 的抛物线的标准方程.例2,.因为-2,4 在第二象限 所以抛物线可能开口向左 也可能开口向上22(1)2.4,8;ypxpy
35、x 当抛物线开口向左时,应设它的方程为 将-2,4 代入得 因此 所求方程为 22(2)2.1,.2xpypxy 当抛物线开口向上时,应设它的方程为 将-2,4 代入得 因此 所求方程为 解三、抛物线的画法抛物线的画法步骤如下.(1)将方程化为标准方程；(2)判定抛物线的开口方向和对称轴;(3)描出抛物线上五点：顶点和两组对称点，根据对称性，用光滑的曲线将这些点顺势连接.240,yx 画出抛物线 的图像 并写出焦点坐标和准线方程.例324.,yxxpx 将抛物线方程化为标准方程:这是顶点在原点,对称轴为 轴,开口向左的抛物线,焦参数=2.焦点坐标-1,0准线方程=1.,991,2,1,2,3,
36、3,44,9 18 确定抛物线上五点,0,0描点作图 如图所示.240yx图9-18 抛物线的图像Oxy22194解习 题思考题：课堂练习题：1.?抛物线的标准方程有几种形式 常用哪种形式22212.250;20.2yxxyyx写出 的焦点坐标1.根据条件写出抛物线标准方程(1)3,0;(2)F 焦点是 焦点在准线距离为2.2 ,01,;1 ;1,;12 9 .2.填空:设为离心率 则动点轨迹是 时,动点轨迹是 时动点轨迹是 抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是 eeeeyx椭圆抛物线双曲线 6,62,6,62答 案答 案答 案分 析（单击左键显示答案）第五节 曲线与方程一、曲线与方程 在第八
37、章我们学习了平面上直线与二元一次方程的关系，下面研究平面上一般曲线与方程的关系.在研究曲线与方程的关系时，可以把一条曲线看作是满足某种条件的点的轨迹.即:(1)曲线上的点都满足某种条件;(2)满足某种条件的点都在曲线上.,.在平面直角坐标系内由于点可以用它的坐标来表示 所以曲线上的点所满足的条件可以用含 和 的一个方程所表示xy 前面学习过的圆、椭圆、双曲线、抛物线，它们的点所满足的条件都是用一个二元二次方程表示的.,0 一般地 如果一条曲线与一个含 和 的方程 之间具有如下关系.xyF x,y(1)曲线上所有点的坐标都满足这个方程；(2)坐标满足这个方程的所有点都在这条曲线上.0那么,这个方
38、程称为这条F x,y 曲线的方程.而这条曲线称为这个方程 的曲线.F x,y=0从前面的学习可知，求曲线方程的一般步骤如下.;(1)建立适当的坐标系 设为曲线上任意一点M x,y,(2)根据曲线上任意一点M满足的条件写出等式;,(3)用动点的流动坐标 x,y 之间的关系式表示这个等式即得方程;(4)化简方程.求曲线方程时，一定要注意适当选取坐标系.这样能使得到的方程比较简单.二、圆锥曲线 圆锥曲线主要是指圆、椭圆、双曲线和抛物线，这些名称的由来是因为这些曲线都是由一个平面与正圆锥面相截得出的.如图9-19所示.我们也可以统一定义圆锥曲线.定义 到一定点（焦点）与到一定直线（准线）的距离之比为常
39、数e（离心率）的动点的轨迹为圆锥曲线.图9-19 圆锥曲线的形成示意01,;当时曲线是椭圆e1,;当时曲线是抛物线e 1,.当时曲线是双曲线e 椭圆、双曲线都具有对称中心，因此椭圆、双曲线又称为有心圆锥曲线（或称有心二次曲线）；抛物线不具有对称中心，因此抛物线称为无心圆锥曲线.椭圆（包括圆）、双曲线、抛物线还有一个共同的特征：它们的方程都是二元二次方程，所以它们常被称为二次曲线.三、二次曲线的光学性质 椭圆有这样一个聚光特征：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波，经过椭圆的反射后，集中到另一个焦点上.如图9-20所示.有一种叫做“耳语廓”的建筑物，它的顶的纵断面是一个椭圆的半弧，在一个焦点处低声说
40、话，本来不可能在另一焦点处听到的声音，经过反射后，却能清晰地听到.图9-20 椭圆的聚光特征示意Oxy1F2F双曲线也有如下光学特性.2,.FFFF2 11 如果光线从一个焦点 发出 经过靠近 的双曲线的一次反射后,光线好像从另一个焦点 发出的一样.光学上称 为虚焦点如图9-21所示.与椭圆、双曲线类似，抛物线也有独特的光学性质.图9-21 双曲线的光学特征示意Oxy1F2F 一束平行光线射到抛物线上,经过反射后集中到焦点上,如图9-22(a)所示.太阳灶就是根据这一特性设计的.反过来，一个光源放在焦点上，经过抛物线反射后成为一束平行光线，探照灯、汽车前灯就是这一特征的实际应用.如图9-22（
41、b）所示.图9-22 太阳灶、探照灯的原理示意OxyF(b)OxyF(a)习 题思考题：课堂练习题：1.什么是二次曲线？2.椭圆、双曲线、抛物线的统一性是什么？3.学习本章后重点掌握哪三种方程.221.1?94(1)4;(2)xykkkk 根据下列条件判断方程表示什么曲线 49.222.0 180,cos1?当从到变化时曲线怎样变化xy答 案答 案答 案答 案答 案答 案 部 分思考题解答：2222222222,1,.0,2214.2:yRxaybRa,bDER xyDxEyFDxEF 为圆心 半径 圆的方程 圆心半径返 回思考题解答：2.,.O h kxxh yyk若 返 回课堂练习题解答：
42、2221.354.xy返 回课堂练习题解答：33022.,0.22422ED 圆心.3 圆心为 0,422131255 041.22244半径 R 返 回课堂练习题解答：3.3,4.:3,4,0,0,2,6,0,2.xxyyOABC 将原坐标代入后得返 回思考题解答：1212 1.,.(,).平面上与两定点的距离之和恒为常数 大于的动点的轨迹叫椭圆 两定点叫焦点 焦点间距离叫焦距F FFF返 回思考题解答：222222222.:,1,0:,1,0卧式 焦点在轴上 方程为 立式 焦点在轴上 方程为xyxababxyyabba返 回课堂练习题解答：22221.(1)1.41xy222(2)1.15
43、4xy(3)焦点在轴上.x222201,2a-329,a221.94xy返 回思考题解答：2222222222 1.1 ,1或 无大小之分,焦则焦点点永在实轴上,等于左边第一项若为在轴上 若为则焦点在轴上.xyyxa,baxxbabyy返 回思考题解答：22 2.1.;1,2.称为双曲线离心率越大 开口 就越大 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线即离心率为ceeaxy返 回课堂练习题解答：22221.1.43xy返 回课堂练习题解答：2.214.c 2227,ccab 又213,b22:1.3613xy方程为返 回课堂练习题解答：2222223.1,16.2 5bb-5由已知 221.2016
44、yx方程为:返 回思考题解答：22222,20:1.2,20.,pxypxxypyxpyxpyp 开口向上,向 抛物线标准方程有焦点在 轴上开口下,向右 向左的焦点在 轴上的有 有返 回思考题解答：512.:,0;0,;5,0.88 三个方程焦点坐标分别为返 回222221.(1)12;(2)4,4;4,4.yxyx yx xy xy 课堂练习题解答：返 回2.9.因为到准线距离也为63.22px 准线方程课堂练习题解答：39,66 2.xxy 代入 6,6 2,6,6 2.坐标为返 回思考题解答：1.圆、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，由于它们的方程都是二次的，所以又叫二次曲线.返 回思考
45、题解答：2.它们的统一性:(1)从方程形式看是二元二次方程.(2)从点的集合(或轨迹)观点看它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合(或轨迹).(3)这三种曲线都可以由平面截图锥面得到的截线.返 回思考题解答：2222222223.1,0;1,0;2,0.xyxyababababypxp重点是返 回课堂练习题解答：1.(1)4,90,40,.时 有方程表示椭圆kkk(2)90,40,.49 时,方程表示双曲线kkk返 回课堂练习题解答：222 2.0 ,.090,1,1cos ;90,1 1,;90180,cos0,180,.时 方程表示圆时它是焦点在轴上的椭圆时即方程曲线变为平行于轴的两条直线时 因所以方程变为焦点在 轴上的双曲线:=时 变为等轴双曲线yxyxxyx 返 回
