1、3.1 静电场分析静电场分析 学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力第1页/共76页3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 静电场基本方程静电场基本方程()0SVCD rdSdVE dl()0DE rD=E积分形式微分形式本构关系 静电场边界条件静电场边界条件 两种一般电介质分界面上两种一般电介质分界面上12()0nEE12ttEE12()sDDn12nnsDD12()0DDn12nnDD 两种理想电介质分界面上两种理想电介质分界面上12()0nEE12
2、ttEE1122nnEE第2页/共76页讨论：分界面上场矢量的折射关系1t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEDEED介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene1n111t112n222t22cossincossinEEEEEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0 0，则导体表面的边界，则导体表面的边界条件为条件为 nn0SeDeEnt0SDE或或导体表面的边界条件第3页/共76页 对静电场，由对静电场，由 ，即静电场可以用一个标，即静电场可以用一个标量的梯度来表示。标量量的梯度来表示。标量 称为称为标量位标量位或或标量电位标
3、量电位。0EE 3.1.2 电位函数电位函数 电位函数定义电位函数定义 电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；“”表示电场指向电位减小最快的方向；表示电场指向电位减小最快的方向；在直角坐标系中在直角坐标系中xyzEeeexyz 关于电位函数的讨论关于电位函数的讨论第4页/共76页0/EE 0/即：即：20/电位的泊松方程电位的泊松方程在无源区域，在无源区域，20电位的拉普拉斯方程电位的拉普拉斯方程0 电位方程电位方程通过求解电位方程可求得空间中电位分布，进而求得电场分布。通过求解电位方程可求得空间中电位分布，进而求得电场分布。优越性：求矢量函数优越
4、性：求矢量函数的问题转化为求标量的问题转化为求标量函数的问题函数的问题介质介质2 2介质介质1 12122 E11 E21022021 电荷区电荷区第5页/共76页 A B E 电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。电位差的计算：电位差的计算：电位差（电压）电位差（电压）电场空间中两点间电位差为：电场空间中两点间电位差为：BABAE dl第6页/共76页 电位参考点电位参考点仅仅根据电位函数仅仅根据电位函数 的定义无法的定义无法唯一确定电位分布，同一电场可唯一确定电位分布，同一电场可对应无限多电位分布，对应无限多电位分布，EC 为使空间各点
5、电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即所以该点的电位也就具有确定值，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值电位参考点的选择原则:应使电位表达式有意义应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点同一个问题只能有一个参考点第7页/共76页几种基本分布电荷的
6、电位几种基本分布电荷的电位 点电荷的电位点电荷的电位 O q EPQl204rqEerQPQPE dl()PQPPE dl204QrPeqdrr011()4PQqrr011()4PPQqrr选取选取Q Q点为电位参考点，则点为电位参考点，则0Q遵循最简单原则，电位参考点遵循最简单原则，电位参考点Q Q在无穷远处，即在无穷远处，即Qr 则：则：0()4qrr点电荷在空间中产生的电位点电荷在空间中产生的电位P说明：若电荷分布在说明：若电荷分布在有限区域有限区域，一般选择，一般选择无穷远点无穷远点为电位参考点为电位参考点第8页/共76页 无限长线电荷的电位无限长线电荷的电位 EPQP02lrEer0
7、(lnln)2lPQPrr 电位参考点不能位于无穷远点，否则表电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。达式无意义。根据表达式最简单原则，选取根据表达式最简单原则，选取r=1r=1柱面柱面为电位参考面，即为电位参考面，即1Qr 得：得：0ln2lPPr 无限长线电流在空间中产生的电位无限长线电流在空间中产生的电位第9页/共76页体电荷：体电荷：01()()4VrrdVcR面电荷：面电荷：0()1()4sSrrdScR线电荷：线电荷：0()1()4llrrdVcR式中：式中：Rrr说明：若参考点在无穷远处，则说明：若参考点在无穷远处，则c=0c=0。分布电荷体系在空间中产生的电位分布电荷体系
8、在空间中产生的电位BAAE dl若若B B点为参考点点为参考点第10页/共76页 不同媒质分界面上的静电位不同媒质分界面上的静电位设设P P1 1和和P P2 2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为 1 1和和 2 2。当两点间距离当两点间距离l l00时时120El l lP P1 1P P2 2 121212SSnDDDEnn 由 和，得由 和，得理想介质表面理想介质表面Sn 数数，导导特特殊殊地地，在在体体表表面面，常常有有理想导体是等位体理想导体是等位体12 2121nn 第11页/共76页3.1.3 导体系统的电容 电容是导
9、体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。电容器在实际问题中的作用：典型的有利作用：储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等典型的不利作用：电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题第12页/共76页孤立导体的电位与其所带的电量成正比。孤立导体的电位与其所带的电量成正比。孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即QCU 孤立导体电容孤立导体电容 电容电容C C只与导体几何性质和周围介质有关，与只与导体几何性质和周围介质有关，与q q 和和 无关无关 空气中半径为空气中半径为a a的孤立带电球，的孤立带电球，关于孤立导体电容的
10、说明：关于孤立导体电容的说明：00QQ=C=4 a4a第13页/共76页12QC 两个导体构成电容器。两导体间电位分别为两个导体构成电容器。两导体间电位分别为 和和 ，导体带，导体带电量分别为电量分别为Q Q和和-Q-Q，则定义电容器电容为：，则定义电容器电容为：双导体的电容双导体的电容12 *多导体的电容多导体的电容(部分电容部分电容)12Cqq111112121313222221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC 12311C33C22C12C23C13C式中：式中：iiC导体与地之间电容，称导体导体与地之间电容，称导体自电容自电容ijC导
11、体之间的电容，称导体导体之间的电容，称导体互电容互电容第14页/共76页 (4)求比值 ，即得出所求电容。(3)由 ，求出两导体间的电位差；计算电容的步骤：计算电容的步骤：(1)假定两导体上分别带电荷+q 和q；(2)计算两导体间的电场强度E；Cq U21UE dl 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介 质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。计算电容的步骤：第15页/共76页计算同轴线内外导体间单位长度电容。计算同轴线内外导体间单位长度电容。解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 和和 ，则内外导体间电场分布为：，则内外导体间电场
12、分布为：ll102lrEer则内外导体间电位差为：则内外导体间电位差为：内外导体间电容为：内外导体间电容为：baUE dr0ln2lba02lnlnQCUba例例 ab同轴线第16页/共76页3.1.4 静电能量 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。带电系统从没有电荷分布到建立某种最终电荷分布的过程中，外加带电系统从没有电荷分布到建立某种最终电荷分布的过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电源必须克
13、服电荷之间的相互作用力而做功。分布电荷静电场能量 空间电荷分布空间电荷分布为为 ，在空间中产生，在空间中产生电位电位为为 。空间中总电场。空间中总电场能量为：能量为：()r()r1()()2eVWrr dV第17页/共76页点电荷系统的电场能量点电荷系统的电场能量对对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为个点电荷组成的系统，电荷体密度为 iiirqrr 112212eiiVVieiiiWrr dVqrrr dVWqr 利用利用 函数的选择性函数的选择性点电荷相互作用能点电荷相互作用能12iiiq 第18页/共76页带电导体系统的能量带电导体系统的能量对对N N个带电导体组成的系统，各导体的电位为个
14、带电导体组成的系统，各导体的电位为 i i，电量为，电量为q qi,i,，表面，表面积为积为S Si i，则导体系统的电场能量为，则导体系统的电场能量为112212iiiieSSiSSiiSSiWdSdSdS 12iiiq 第19页/共76页 电场能量密度电场能量密度1()()2ewD rE r电场能量密度：电场能量密度：电场总能量：电场总能量：e1d2VWD E V积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，有：对于线性、各向同性介质，有：2e111222wD EE EE 第20页/共76页由边界条件
15、知在边界两边由边界条件知在边界两边 连续。连续。E解：设同轴线内导体单位长度带电量为解：设同轴线内导体单位长度带电量为Q Q。SD dSQ110(2)r ErEQ 110(2)rQEer 110ln(2)baQbUE dra 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间部分填充介质，导体间部分填充介质，介质介电常数为，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为，如图所示。已知内外导体间电压为U U。求：1)导体间单位长度内的电场能量 2)内外导体间电容。例例 110(2)lnlnUQba (lnln)rUEeba rab01第21页/共76页12221011122
16、eVVWE dVE dV2210122221111(2)2(lnln)2(lnln)bbaaUUrdrrdrbarbar21101(2)2(lnln)Uba 两种方法求电场能量：或应用导体系统能量求解公式或应用导体系统能量求解公式12eiiiWqU12eWQU110(2)lnlnUQba 21101(2)2(lnln)Uba 110(2)lnlnQCUba 第22页/共76页静止 任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第23页/共76页3.2 导电媒质中的恒定电场分析 学习内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场的边界条件 3.2.3 漏电导 恒定电场与静电场的
17、比拟第24页/共76页 什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！第25页/共76页 恒定电场与静电场的区别：（1）恒定电场可以存在于非理想导体内部，而静电场不能 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。恒定电场和静电场相同点：1、均为有源无旋场 2、大小均不随时间改变 恒定电场和静电场比较第26页/共76页3.2.1 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 恒定电场的基本量：恒定电场的基本量：EJ 恒定电场基本方程恒定电场基本方程()D微分形式：微分形式：J d0d0SCSEl积分形式：积分形式：00JE(D d)
18、SqS()DEJE 本构关系：本构关系：第27页/共76页3.2.2 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件 用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场基本方程中的基本方程中的 代换为代换为 ，则两者基本方程形式完全相同。，则两者基本方程形式完全相同。0SJ dS 12()0JJn12nnJJ0lE dl 12EnEn 的边界条件的边界条件J 的边界条件的边界条件E12ttEEDJ12ttEE讨论：讨论：媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene12nnJJ12111222tantantantan1n2n()SDD第28页/共76页
19、 导电媒质（导电媒质（2 1）：介质表面上电场既有法向分量又有切向分介质表面上电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，导电媒质表面不是等位面；量，电场并不垂直于导体表面，导电媒质表面不是等位面；媒质媒质2 2为为良导体（良导体（2 2 1 1）：1 10 0，即电场线近似垂直于与导即电场线近似垂直于与导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面；体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面；媒质媒质1 1为理想介质为理想介质（1 10 0）：则则J J1 1=0=0，故故J J2n2n=0 =0 且且 E E2n2n=0=0，即，即导体中的电流和电场与分界面平行。导体中的电流和
20、电场与分界面平行。关于恒定电场边界条件的几点说明关于恒定电场边界条件的几点说明第29页/共76页IGU1URGI电阻和电导3.2.3 恒定电场与静电场比拟恒定电场与静电场比拟第30页/共76页 如果两种场具有相同形式场的方程、相同的边界形状、等效的边界条件，则其解形式也必相同；如能求出一种场的解，则可通过替换对应物理量而得到另一种场的解。恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程DE,EJE2020静电场（静电场（区域）区域）0d0,d0SCJSEl0,0JE,E0,0DE本构关系本构关系位函数位函数恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）0,0SCEdSdlD比拟法思路：第31
21、页/共76页对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场IGUQCU 静电比拟法应用：静电比拟法应用：相同导体结构分别填充理想介质和导电媒质时，可通过改变表相同导体结构分别填充理想介质和导电媒质时，可通过改变表达式中对应量，可由达式中对应量，可由G G求求C C，或由，或由C C求求G G。恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程DE,EJE2020静电场（静电场（区域）区域）0d0,d0SCJSEl0,0JE,E0,0DE本构关系本构关系位函数位函数恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）0,0SCEdSdlD第32页/共76页例例1 1 同轴线内外导体半径分
22、别为同轴线内外导体半径分别为a a和和b b，填充介质，填充介质 0 0，具有，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为漏电现象。同轴线外加电源电压为U U，求漏电介质内单位长度，求漏电介质内单位长度的漏电电导。的漏电电导。Uzab第33页/共76页解法一：静电比拟法：解法一：静电比拟法：填充理想介质时：2lEe内外导体电势差：()ln2blabUEda2lnlnlCUba由静电比拟，得同轴线内外导体单位长度漏电导为：2/lnlnGS mba第34页/共76页解法二：解法二：设同轴线单位长度由内导体流向外导体电流强度为设同轴线单位长度由内导体流向外导体电流强度为 ,则则 I22IJIJeEe内外导体
23、间电位差为：内外导体间电位差为：ln2baIbUE da内外导体间单位长度漏电导：内外导体间单位长度漏电导：2lnlnIGUba2lnlnUIba内外导体间电场分布：内外导体间电场分布：(lnln)UJEeba内外导体间电位分布：内外导体间电位分布：bxE d第35页/共76页 导体媒质的功耗导体媒质的功耗 功耗密度和功耗pE J VWE JdV 第36页/共76页 一、静止电荷产生的场（静电场）一、静止电荷产生的场（静电场）n 导体内部的静电场为零导体内部的静电场为零n 导体表面的切向电场为零导体表面的切向电场为零 等势体等势体n 导体内部的电荷为零导体内部的电荷为零n 电荷只能位于导体表面
24、，密集于表面尖锐部分电荷只能位于导体表面，密集于表面尖锐部分n 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针，应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针，静态电场的典型现象和结论静态电场的典型现象和结论第37页/共76页 二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）n 导电媒质（导电媒质（）内部可）内部可存在存在电场电场n 导电导电媒质媒质表面的切向电场一般表面的切向电场一般非非零零 非非等势体等势体n 导电媒质内部可导电媒质内部可有运动有运动电荷，但电荷，但净电荷量净电荷量为零为零n 净电荷只能位于导体表面净电荷只能位于导体表面n 理想导体（理想导体（）内部电场为零，电流为零）内部
25、电场为零，电流为零n 理想导体边界上的电场垂直于表面理想导体边界上的电场垂直于表面 等势体等势体静态电场的典型现象和结论静态电场的典型现象和结论 0,JE第38页/共76页3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位3.3.3 电感3.3.4 恒定磁场的能量3.3.5 磁场力3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第39页/共76页0HJB 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件BH 1212()()0snneeHHJBB 第40页/共76页2.2.边界条件边界条件（一般性问题）（一般性问题）微分形式：微分形式：本构
26、关系：本构关系：1.1.基本方程（基本方程（一般性问题一般性问题）积分形式：积分形式：0HJBHlJSBSCSSddd0BHn12n12()0()SeBBeHHJ1n2n1t2t0SBBHHJ或或3.3.1 恒定磁场的基本方程及边界条件恒定磁场的基本方程及边界条件 在两种理想磁介质分界面上在两种理想磁介质分界面上12()0neBB或12nnBB12)0(neHH或12ttHH在理想导体分界面上在理想导体分界面上0ne B 或0nB nseHJ或tsHJ第41页/共76页3.3.2 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位的引入矢量磁位的引入0B()0A()BA r 式中：式中：称为恒定磁
27、场的称为恒定磁场的矢量磁位矢量磁位。()A r第42页/共76页 库仑规范库仑规范要求：要求：与与 间满足一一对应关系。间满足一一对应关系。B()A r 矢量位的任意性矢量位的任意性 矢量位矢量位A A不是唯一确定的，它加上任意一个标量不是唯一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，的梯度以后，仍然表示同一个磁场。仍然表示同一个磁场。库仑规范条件 在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件，即令在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件，即令 ()0A r 注意：规范条件是人为引入的限定条件。注意：规范条件是人为引入的限定条件。第43页/共76页应用库仑规范 ，得：矢量磁位的微分方程矢量磁位的微分方程()BA
28、 r 0BH01()HA rHJ0AJ2()AAA 20()AAJ 0A20AJ 由矢量恒等式：上式变为：矢量泊松方程矢量泊松方程在无源区：在无源区：0J 20A矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程第44页/共76页 矢量磁位的求解矢量磁位的求解 无限大均匀媒质空间中的问题无限大均匀媒质空间中的问题21()()rr 类比方法求解类比方法求解1()()4Vr dvrCR211222233AJAJAJ 123123JxyzxyzA eA eA eJ eJ eJ eA2 AJ()()4iiiVJ r dvA rCRJ()A()C4Vr dvrR 第45页/共76页 矢量磁位的求解（续）矢量磁位的求解（续
29、）存在不同媒质分界面的问题存在不同媒质分界面的问题磁矢位的边界条件0A12AAn12()SeHHJ/HA n121211()SeAAJdd0CSAlBSd0SAS1t2tAA1n2nAA第46页/共76页磁通与磁链3.3.3 电感 C 回路回路l 磁通dddSSCBSASAl l 磁链CI电流回路电流回路与所有电流回路铰链的总磁通l 计入电流存在的所有回路l 每个回路是计入与之铰链的全部磁通 I第47页/共76页n n为与磁通为与磁通 铰链的总电流对载流为铰链的总电流对载流为I I 的的回路之比回路之比 n 单匝线圈单匝线圈 多匝线圈多匝线圈C CI I 细回路细回路 粗导线回路粗导线回路 i
30、 iC CI I o o粗回路粗回路l 磁链计算oi o o:外磁链；外磁链；i i :内磁链内磁链若为细导线线圈密绕，n等于线圈匝数N（整数）第48页/共76页 电感的定义电感的定义定义：穿过某电流回路的定义：穿过某电流回路的磁链磁链与回路中与回路中电流强度电流强度之之比比。LI 自感自感 若某回路若某回路C C载流为载流为I I，其产生的磁场穿过，其产生的磁场穿过回路自身回路自身C C所形成的自感磁所形成的自感磁链为链为 ，则定义回路，则定义回路C C的自感系数为：的自感系数为：()LHI特征：磁链是I自已产生的第49页/共76页 回路自感仅与回路自身的回路自感仅与回路自身的几何形状几何形
31、状、尺寸尺寸和和媒质磁导率媒质磁导率有关，有关，与回路中载流无关。与回路中载流无关。若回路为若回路为N N匝线圈密绕，则匝线圈密绕，则200LN LL为单匝线圈电感 若回路导线直径较粗，则回路自感为内自感和外自感之和若回路导线直径较粗，则回路自感为内自感和外自感之和ioLLLiL关于回路自感的讨论关于回路自感的讨论 为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感oL式中：式中：为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感CI 细回路细回路 iCI o粗回路粗回路第50页/共76页 例例 求
32、双传输线单位长度自感。设导线半径为求双传输线单位长度自感。设导线半径为a a，导线间距，导线间距为为D D。(Da)(Da)分析：导线为细导线，故只需考虑导体间分析：导线为细导线，故只需考虑导体间的互感。的互感。解：由安培环路定律，可以求得在导体间解：由安培环路定律，可以求得在导体间磁感应强度分布：磁感应强度分布：12BBB00()()22()yyIIeexDx则导体间单位长度的磁通量为则导体间单位长度的磁通量为0lnln()2D aD aaaIB dxxDx 0lnIDaa0lnDaLIaxyzxDaPII第51页/共76页 互感互感 回路回路C C1 1与回路与回路C C2 2交链的磁通量
33、为交链的磁通量为 ，则则回路回路C C1 1对对C C2 2的互感系数的互感系数为：为：2112122MI同理定义回路同理定义回路C C2 2对对C C1 1的互感系数的互感系数为：为：21211MIC1C2I1I2112C1 中总磁链:1总=1+12221C2 中总磁链:2总=2+21思考：1总=？；2总=？2112MMM纽曼公式互感性质：互感性质：1、互易性：、互易性：2、大小只与回路几何性质、相对位置和周围介质有关。第52页/共76页 纽曼公式纽曼公式C1C2R12I1dl1I2dl22121212111MMII 222111212SSMIB dSA dS诺伊曼公式给出了两个简单回路间互
34、感的计算方法。221112CMIA dl1111124CIAdlR21121112124CCIMIdl dlR 212112211124CCdl dlMIR 诺伊曼公式诺伊曼公式同理：121221122214CCdl dlMIR 第53页/共76页3.3.4 恒定磁场能量 若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：12mVWJ AdV 式中：式中：为体电流为体电流 在在dVdV处产生的磁位。处产生的磁位。V V为整个空间。为整个空间。AJ 体电流的磁场能量体电流的磁场能量关于体电流磁场能量表达式的说明关于体电流磁场能量表达式的说明 只适用于恒定
35、磁场只适用于恒定磁场积分可以只在积分可以只在 0 0的区域进行的区域进行 被积函数被积函数 不代表能量密度，虽然积分是在有电流的空间中进行，不代表能量密度，虽然积分是在有电流的空间中进行，但能量是分布在整个有磁场存在的空间但能量是分布在整个有磁场存在的空间JA J 第54页/共76页 电流回路系统的磁场能量电流回路系统的磁场能量 N N个回路系统，个回路系统，i i回路自感为回路自感为 ，i i回路与回路与j j回路间互感为回路间互感为 ，i i回路回路电流为电流为 ，则磁回路系统的磁场能量为，则磁回路系统的磁场能量为:iiLijLiI1112NNmijijiiWL I I 若回路为单回路系统
36、，则若回路为单回路系统，则212mWLI 若回路为双回路系统，则若回路为双回路系统，则2211 112 1 221 2 122211112222mWL IL I IL I IL I2211 112 1 22221122L IL I IL I关于电流回路系统磁场能量的讨论关于电流回路系统磁场能量的讨论第55页/共76页磁场能量密度：磁场能量密度：磁场能量：磁场能量：积分区域积分区域V V内的磁内的磁场能量场能量对于线性各向同性媒质，则有对于线性各向同性媒质，则有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV 磁场能量密度
37、磁场能量密度第56页/共76页若回路载流为若回路载流为I I，其在空间中产生的磁场为，其在空间中产生的磁场为H H，则由能量关系，可得，则由能量关系，可得22222112mmVWWLILH dVII讨论：讨论：利用磁能求单回路电感利用磁能求单回路电感第57页/共76页例例 求半径为求半径为a a的无限长直导线单位长度内自感。的无限长直导线单位长度内自感。a0解：设导体内电流为解：设导体内电流为I I，则由安培环路定律，则由安培环路定律02()2IBeaa则导体内单位长度磁能为则导体内单位长度磁能为22220240011224mVVIWB dVdVa222024001224aIda 2016I0
38、228mWLI第58页/共76页例例 求内外半径分别为求内外半径分别为a a和和b b的无限长同轴线单位长度的自感的无限长同轴线单位长度的自感解：在内外导体之间，解：在内外导体之间，a a 0 0b b0,22IIBH 22001212ln224mVbaWB HdVIIbda 外外022ln2moWbLIa 外外由上题（例由上题（例1 1）得）得08iL 00ln82iobLLLa第59页/共76页3.4 静电场的边值问题及唯一性定理第60页/共76页00HJEBD 0J出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEHBJE 12121212()()0()
39、0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ)0ne 第61页/共76页 电位函数满足电位函数满足PoissonPoisson方程方程1212121212snnnn 基于电位求解分析静态电场问题的方法基于电位求解分析静态电场问题的方法 电位的边界条件电位的边界条件2()E 第62页/共76页l磁矢位的边界条件12AA121211()nSeAAJ2 ,(B=A)AJ l 磁矢位函数满足磁矢位函数满足PoissonPoisson方程方程 基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法第63页/共76页3.4 静态场的边值问题静态场的边值问题 讨论内容讨论内容 3
40、.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理惟一性定理边值问题边值问题：在给定的：在给定的边界条件边界条件下，求解位函数的下，求解位函数的泊松泊松方程方程或或拉普拉斯方程拉普拉斯方程第64页/共76页3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型 第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。Sf狄里赫利问题狄里赫利问题 第二类边值问题：已知函数在第二类边值问题：已知函数在全部全部边界面上的法向导数。边界面上的法向导数。Sfn纽曼问题纽曼问题22Sfn 第三类边值问题：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分第三类边值问题：已
41、知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。边界面上函数的法向导数。11Sf12SSS混合边值问题混合边值问题第65页/共76页22220 xy例：例：(0,)0,(,)0ya y0(,0)0,(,)xx bU（第一类边值问题）（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0 x0 x22220 xy00,0 xx axx0(,0)0,(,)xx bU（第三类边值问题）（第三类边值问题）第66页/共76页3.4.2 唯一性定理唯一性定理若区域若区域V V内的电荷分布内的电荷分布 和介质分布和介质分布 确定，在场域确定，在场域V V 的边界面的边界面S S上上给定给定 或或 的值
42、的值，则拉普拉斯方程或，则拉普拉斯方程或泊松方程在区域泊松方程在区域V V内的解内的解唯一唯一。nSV唯一性定理的意义唯一性定理的意义1 1、给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件2 2、为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据3 3、为求解结果的正确性提供了判据、为求解结果的正确性提供了判据第67页/共76页静态场部分典型例题第68页/共76页 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a a，外导体半径为外导体半径为b b。内外导体间内外导体间充满介电常数分别为充满介电常数分别为 和和 的两种理想介质，分界面半径为
43、的两种理想介质，分界面半径为c c。已知外导体接地，内导体电压为已知外导体接地，内导体电压为U U。求求:(1):(1)导体间的导体间的 和和 分布；分布；（2 2）内外导体间电位分布；）内外导体间电位分布；(3)3)同轴线单位长度的电容同轴线单位长度的电容 （4 4）单位长度电磁能量）单位长度电磁能量12ED分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边知，在媒质两边 连续连续D例例 abc12解：设内导体单位长度带电量为解：设内导体单位长度带电量为l由高斯定律，可以求得两边媒质中，由高斯定律，可以求得两边媒质中，2lrDer1122/EDED12
44、cbacUE drE dr12lnln22llcbac第69页/共76页12212lnlnlUcbac 1221(lnln)rUDecbrac 221121()(lnln)()(lnln)rrUearccbracEUecrbcbrac（2）1122121lnln()(lnln)(lnln)bbrrUUbE drrcrbcbcbracac第70页/共76页12212lnlnlCcbUac 21122121lnln()(lnln)(lnln)bbcrcrE drE drE drUUbcarccbcbcracac（3）（4）2122112lnlnelUWcbac 第71页/共76页 导体球壳，内径为
45、导体球壳，内径为b b，外径为，外径为c c，球壳球心为半径为，球壳球心为半径为a a导体球，导体球带电量导体球，导体球带电量Q Q。中间充满两种介质，介电系数分别为。中间充满两种介质，介电系数分别为1 1和和2 2，介质分界面如图所示。，介质分界面如图所示。求：（求：（1 1）空间场分布）空间场分布E(r)E(r)；（2 2）空间电位分布；）空间电位分布；（3 3）自由电荷分布；）自由电荷分布；（4 4）系统电场能量）系统电场能量;(5)(5)内外导体间电容内外导体间电容 Q cba12解：由边界条件知，解：由边界条件知，连续。连续。E（1 1）rara，该区域为导体空间，故：，该区域为导体
46、空间，故：=0=0；E a a rbrb，由高斯定理有，由高斯定理有SD dSQ2122()rEQ例例 2122()rQEer1112122()rQDEer2222122()rQDEer第72页/共76页b b rcrcrc，204rQEer（2 2）求电位分布。）求电位分布。rcrc，04rQE drr04Qcarbarb，()brcE dr 01211()42()QQcrb ra,ra,01211()42()QQcab brcbrc，为导体区域，等势体，电位等于外表面电位，为导体区域，等势体，电位等于外表面电位第73页/共76页（3 3）内导体表面上自由电荷面密度为1112122()arr aQa e E2222122()arr aQa e E外导体的内表面上自由电荷面密度为1112122()brr bQb e E2222122()brr bQb e E（4 4）总电场能量为）总电场能量为201211211()28()eQWQUcab 第74页/共76页（5 5）内外导体间电位差为）内外导体间电位差为abE dr1211()2()Qab 122()abQCUba 第75页/共76页感谢您的欣赏！第76页/共76页
