1、第 七 章 空 间 图 形(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)平面的概念以及基本性质.(2)直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.二、本章重点、难点二、本章重点、难点 线面位置关系，正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、球的概念和性质是重点；空间图形的画法是难点.(3)棱柱、棱锥、棱台的概念及性质.(4)圆柱、圆锥、圆台、球的概念与性质.三、对学习的建议三、对学习的建议 (1)本章内容由两部分组成，第一部分是空间直线和平面，第二部分是多面体和旋转体.第一部分是本章基础、平面几
2、何中定义、定理、公理等，在立体几何中的同一平面内仍成立.(2)第一部分的主要内容是有关空间的直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系和有关图形的画法，着重研究的是它们之间的平行与垂直关系.本部分的四个公理是基础，此外，平面几何里的定义、定理等，对于空间的任何平面内的平面图形仍然适用，但对于非平面图形，则需要经过证明才能应用.在解决立体几何的问题时，常把它转化为平面几何的问题来解决.空间两条直线的位置关系有“平行”、“相交”、“异面”三种；空间一条直线和一个平面的位置关系有“直线在平面内”、“平行”、“相交”三种；两个平面的位置关系有“平行”、“相交”两种.关于空间的直线与直线，直线与平面
3、，平面与平面的平行与垂直关系的性质定理与判定定理是本部分的中心问题.应用这些定理时，要弄清定理的题设和结论，判定定理的题设是结论成立的充分条件，性质定理的结论是题设成立的必要条件.当知识融会贯通之后，判定上述图形的平行或垂直关系的途径就更为广泛.例如，可以用“垂直于同一平面的两直线必平行”去判定两条直线平行；用“如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面”去判定一条直线与一个平面垂直.两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角以及二面角都是通过平面几何中的角来定义的，因而，它们都可以看做是平面几何中角的概念在空间的拓广.两条异面直线的距离，平行的直线与平面间距离以及两个平
4、行平面间的距离，都分别是它们的两点间距离中最小的.(3)第二部分的主要内容是多面体和旋转体中常见的柱、锥、台、球的概念、性质、直观图的画法以及面积、体积的计算，重点研究了应用比较广泛的直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台、球和球缺.这些几何体的性质都是在第一部分线面关系的基础上由定义推出来的.这些性质包括：棱，面的性质；平行于底面的截面的性质；经过侧棱 (或高线、轴线)的截面的性质.通过这样的研究，我们对这些几何体就有了一个比较全面的认识.几种多面体和旋转体的表面积，除球面和球冠外，都是通过它们的展开图求得的，这些公式不但互相区别，而且互相联系.直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧
5、面公式可以统一写成：0SC l0式中，是中截面周长；分别是侧棱、斜高或母线长.Cl四、本章关键词四、本章关键词多面体旋转体球面、球冠、球带的面积，可以统一写成：2SRh式中，是球的半径；是高(或直径).Rh 几种多面体和旋转体的体积公式是分别把柱体、锥体、台体当做不同的几何体给出的，如果把柱体、锥体当做台体的特殊形式，那么它们，甚至包括球体的体积公式，都可以统一写成：01(4)6VH SSS0式中，是上、下底面积；是中截面面积；是高.SSSH(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、直线与直线位置关系一、直线与直线位置关系问题 1 求证两直线平行.思路：两直线平行于同一直线；两直线垂直于
6、同一平面.问题 2 求两异面直线夹角(含垂直).思路：平移至同一平面；三垂线定理.问题 3 求异面直线距离.思路：找公垂线.解解图 7-1 例 1 图形EDCBA60 如图 7-1 所示，正方形 所在平面与正方形 所在平面成 的二面角，求异面直线 与 所成的余弦角.ABCDABEFADBF例例1 1由题设 及 都是正方形.ABCDABEFF所以，.CBABEBAB60所以，CBE连接，CE60则由，知 为正三角形.BCBECBEBEC1设正方形边长为.1则，ECBC连接，CF因为，BCAD 所以 就是异面直线 与 所成角.CBFADBF因为 平面，ABCBEFEAB所以 平面.EFCBE所以，
7、FECE22122 所以在 中，.CBFBCBFCFCEEF2cos4由余弦定理知.CBF*如图 7-2 所示，已知正四面体 的棱长为，、分别为、的中点，(1)求证：是 和 的公垂线；(2)求：和 间距离.ABCDaEFABCDEFABCDABCD例例2 2图 7-2 例 2 图形EDCBAF解解(1)连接、.AFBF因为 是正四面体，ABCD所以 与 都是正三角形.ADCBDC因为 为 中点，FDC所以.AFBF又因为 为 中点，EAB所以.EFAB同理.EFDC又因为，EABFDC所以 为 与 的公垂线.EFABCD3t22(2)在 中，aRBFEBFaBE22所以.EFa22即 与 间的
8、距离为.ABCDa111111 如图 7-3 所示，正方体 中，为异面直线 与 的公垂线.求证：.ABCDABC DEFACADEFBD例例3 3图 7-3 例 3 图形EDCBAF1 D1 C1 B1 A解解111连接、.BDBCABBD1111因为 为正方体，ABCDABC D1所以 底面，且 为正方形.DDABCDABCD1所以，为 在平面 上的射影.BDACBDBDABCD1所以.BDAC11 同理.BDAB11所以 平面.BDABC111又因为，为 与 的公垂线.ADBCEFADAC1所以，EFACEFBC1所以 平面，EFABC1所以.EFBD二、平面与平面位置关系二、平面与平面位
9、置关系问题 1 求两平面夹角(含垂直).思路：利用二面角的平面角；一平面过垂直于另一平面的直线.问题 2 求证两平面平行.思路：两平面垂直于同一直线；一平面过和另一平面平行的两条相交直线.问题 3 平行平面间距离(含点到平面的距离).思路：在一平面上取一点，过该点做另一平面的垂线段.coscos1 cos 如图 7-4 所示，在平面 内，点 平面，.，且，又设 中点为，在 内射影为，在 上射影为，求证：平面平面.ABCPPAPBPCBPCAPCAPBPAMPOOACNOMNPBC 例例4 4图 7-4 例 4 图形MPCBANO设 PAPBPCa解解coscos1 cos因为，所以由余弦定理得
10、2222222222aBCaACaa222212aABa 222所以.ACBCAB 为直角三角形.ABC又因为，PAPBPC所以 为 的外心，为 的中点.OABCOAB因为 为 的中点，MAP所以，MOPB所以 平面.MOPBC又因为，ONACBCAC所以，ONBC所以 平面.ONPBC又 与 相交.ONMO所以平面平面.MONPBC 如图 7-5 所示，过正方形 的顶点 做 平面，设.求平面 与平面 的夹角.ABCDAPAABCDPAPBaPBCPDC例例5 5图 7-5 例 5 图形.EDCBAP解解连接，.ACBD因为 平面，PAABCDBDAC所以由三垂线定理知.BDPC做 于，连接.
11、BEPCEED因为，为 在平面 上射影.ACBDACPCABCD所以，平面.PCBDPCBED所以.DEPC所以 为二面角-的平面角.BEDB PC Dt在 中，由.RPABPAABa2所以.PBa因为 平面，PAABCDBCAB所以.BCPB223所以，PCPBBCa63 PBBCBEaPC63同理可得：.DEa在 中，由余弦定理得BDE2221cos22 BEDEBDBEDBEDE 120所以.BED120所以平面 与平面 夹角为.PBCPDC1111111111111245 如图 7-6 所示，已知三棱柱-的底面是边长为 的正三角形，侧棱 与、均成，且 于，于.(1)求证：平面平面；(2
12、)求点 到平面 的距离.ABC ABCAAABACAEBBEAFCCFAEFB BCCAB BCC例例6 6解解图 7-6 例 6 图形EDCBAF1 D1 C1 B1 AM111(1)因为-为三棱柱，ABC ABC111所以.BBAACC1111因为 于，于，AEBBEAFCCF1111所以，.AEAAAFAA111又因为，AEAFA1111所以 平面，平面.AAAEFBBAEF111所以平面平面；B BCCAEF11(2)因为，AABB111所以 平面.AABBC C11111所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.ABBC CABBC C11111145因为，AB BA ABA A
13、CAC C 1111所以.ABAC111111902又，AEBAFCAB 1111tt所以.R AB ER AC F11112,.AEAFB EC F2221111112所以 ，B E C FEFBCAEAFEF1所以 为等腰直角三角形.AEF1取 的中点，连接，EFNAN1则.ANEF111所以 平面.ANBBC C1111所以 为点 到平面 的距离.ANABBC C1112又.ANEF1111111所以 点到平面 的距离为，故 点到平面 的距离为.AB BCCAB BCC三、直线与平面的位置关系三、直线与平面的位置关系问题 1 求证直线平行于平面.思路：直线垂直于和平面垂直的直线；直线平行
14、于平面内一直线.问题 2 求直线和平面的夹角(含直线和平面垂直).思路：做出直线和平面的夹角；直线平行于和平面垂直的 直线；直线垂直于平面内两相交直线.*如图 7-7 所示，正棱锥-的各棱长都等于，、都为所在棱的中点.求 与底面 所成角的大小.P ABCaMNBNABC例例7 7图 7-7 例 7 图形NDCBAPMH解解 在平面 内做 于，连接.PMCNHCMHBH因为 平面，ABPMC所以.ABNH所以 平面.NHABC 为 与底面 所成角.NBHBNABC22因为，MNa66 .MNCNNHaCM2sin3所以.NHNBHBN2arcsin3.NBH2arcsin3所以 与底面 所成角为
15、.BNABC11111 已知斜棱柱-，为 中点，求证：截面.ABC ABCDABACBCD例例8 8图 7-8 例 8 图形EDCBA1 C1 B1 A证明证明11 如图 7-8 所示，连接，交 于.BCBCE因为三棱柱侧面为平行四边形，1所以 为 中点.EBC因为 为 中点，DAB1所以 为 的中位线，EDABC1所以.ACED1而 截面.EDBCD11所以 截面.ACBCD 本题是通过直线平行于平面内一直线而证出直线平行于平面.需要注意的是，平面内的直线可能是现成的，多数时候是需要我们造出来的.作出有关三角形的中位线是常用的方法.研究多面体、旋转体常会遇到两类问题.一是以多面体、旋转体为载
16、体研究空间的点、线、面的位置关系及数量关系，这在前面的例题中已有体现.二是研究多面体、旋转体自身的问题，如体积、表面积、侧面积，截面形状、面积以及多面体、旋转体中元素间位置关系及数量关系.上述两类问题，都需要我们熟练掌握有关几何体的性质、公式.另外，能看懂图，会画图，能画截面图这些能力也是应该具备的，这就需要多看、多练，时间长了，能力就积累出来了.四、求几何体的体积四、求几何体的体积根据题目条件求出体积公式中各个量，然后算出体积.如图 7-9 所示，已知长方体对角线的长是，对角线和底面所成的角是，底面两条对角线的夹角是，求长方体的体积.例例9 9图 7-9 例 9 图形ODCBA1 D1 C1
17、 B1 A解解cos因为 BDAC1cos2所以，.BOAO21cossin22所以，AOBS221cossin81sin因为，A A14所以 AOBVSA A2214cossinsin8 221sincossin21260 圆台的母线长为，它和下底面的夹角是，轴截面的对角线互相垂直，求圆台的体积.例例1010图 7-10 例 10 图形OKHBA1 O1 B1 A解解1111260图 7-10 是圆台的一个轴截面，AAAAB111111又，过 做，可知 及 分别是圆台上下底圆的中心.ABABHOOABOO因为圆台的体积公式22121 2()3，hVrrrr所以需要先求出它的高，上下底面圆的半
18、径.11过 做，AAKAB12sin606 3那么.h 1145因为，HAB11t604515所以 中，.RAHAAAH112cos1512sin15所以，.AHAH11因为 为等腰直角三角形，AO H1126 2cos15所以，AOr16 2sin15同理，.AOr112把上面所求得的，代入公式，得hrr226 3(72sin 1572cos 1572sin15 cos15)3V6 3(7236sin30)36 3 903180 3 斜三棱柱中一个侧面的面积为，并且这侧面到与它相对侧棱的距离为，求这棱柱的体积.Sa例例1111图 7-11 例 11 图形PDCBA1 D1 C1 B1 AQ解
19、解11111 -为斜三棱柱，其中侧面，与它相对的侧棱 到这个侧面的距离.ABC ABCACC ASBBPQa11111 过侧棱 及 分别做侧面 及 的平行平面，是这两平面交线.BBCCACABDD1111 再延展两个底面，则-是一个平行六面体(图 7-11).ABCD ABC D11设以侧面 为底面，即为这个平行六面体的高，ACC APQ所以平行六面体体积.VaS1112三棱柱 而三棱柱-的体积等于这平行六面体体积的一半，则：ABC ABCaSV 注意：这个例题中求斜三棱柱体积的方法是，在原有斜三棱柱上再补充一个全等的斜三棱柱，使之变成一个斜平行六面体.然后求出这个斜平行六面体的体积，最后求出
20、它的一半，即为斜三棱柱的体积.这种方法称为体积补充法.这在计算几何体体积时是比较常用的一种方法，使用这种方法时，有时也可补充几何体的一部分，使之能算出体积，最后再算原几何体体积.本题也可这样做.五、求几何体的表面积、侧面积、截面面积五、求几何体的表面积、侧面积、截面面积 根据题目条件求出表面积(侧面积)公式中各个量，然后算出面积.对于截面，首先要确定截面形状、该图形面积公式，根据条件求出公式中各个量，然后算出截面面积.45 如图 7-12 所示，已知正三棱锥-底面的边长是，侧棱和底面所成的 角是，求它的侧面积.S ABCa例例1212图 7-12 例 12 图形NOCBASM解解45 在直角三
21、角形 中因为，SOASAO22333323 所以，.SOAOAMaa11333326而.OMAMaa所以，在直角三角形 中，SOM22SMSOOM223336aa156a211151532264侧所以，.SSMaaaa 12 6 正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积.例例1313图 7-13 例 13 图形EOCBAPD解解 如图 7-13 所示，过侧棱 与球心 做截面 交侧面 于.PAOPAEPBCPE因为 为正三角形，ABC32 63 22所以 的边 上的高，ABCBCAE 在 中做 于，则 过球心，且 为正 的中心.PAEPDAEDPDODAB
22、C2 6因为 AB 123所以，DEAE221(2)3所以.PE 侧全底所以 SSS21332 63(2 6)24 9 26 3以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则12341133全.ABCVVVVrShS全所以 ABCShrS23(2 6)149 26 362.2244(62)所以球的表面积.Sr23*正三棱锥-的底面边长为，侧棱长为，过 的截面交侧棱 于.(1)若 为 的中点，求 截面 的面积；(2)求截面 面积的最小值.V ABCBCVAPPVAPBCPBC例例1414解解 (1)如图 7-14 所示，从点 做底面的垂线，为垂足，是底面 的中心.连接，延长 交
23、于，为 中点.连接，为截面 的边 上的高.VVOOABCAOAOBCDDBCPDPDBCPBC图 7-14 例 14 图形23因为正 边长为，正三棱锥-侧棱长为.ABCV ABC233所以.AO EVCBAPDF O过 做底面垂线交 于，则 为 中点.PADFFAO133所以.AF 222所以 PFAPAF2233232312，22PDPFFD22323123132.113222截面 所以；BCPS (2)过点 做 的垂线，交 于，则 是 连接 上各点距离最小的，所以截面 面积应为过 的截面中面积最小的.DVAVAEDEDVABCEBC22因为 VOVAAO222333233，2323sin3
24、33 3所以.VAO2323tsin333 3所以在 中，RAEDDFADEAD123232233截面 所以.BCES 六、求几何体中元素的数量以及元素间数量关系及位六、求几何体中元素的数量以及元素间数量关系及位置关系置关系 将几何体中待求元素及有关元素在图形中显现出来，然后根据题目条件寻找它们的关系，以达到解决问题的目的.235 已知正三棱台的两个底面的边长分别是 和，侧棱的长为，求这个棱台的高和斜高.例例1515图 7-15 例 15 图形ODCBA1 D1 C1 B1 AF1 O解解111111111 如图 7-15 所示，设两底面中心分别为 和，连接，取 和 的中点 和，连接，.OOO
25、OO AOAABABDDO DODD D11则 是棱台的高，是棱台的OOD D11111111斜高；并知 和 是两个直角梯形，在直角梯形 所在的平面内，过点 做.OO A AOO D DOO A AAAEOA23 因为上下底面的边长分别为 和，11253333所以，.O AOA115233335所以.AEOAO A2222111t5(3)22在 中，.RAAEAEA AAE1122所以.OOAE1111在直角梯形 所在的平面内，过点 做，于是OODDDD FOD1111355333336662，.O DODDFODO D22222211131(22)9122.D DDFD FDFOO1t在 中
26、，RDD F 圆锥的底面圆的半径是，高是，在它里面做一个各侧面都是正方形的内接正三棱柱，求这棱柱每条棱的长(图 7-16).rh例例1616图 7-16 例 16 图形ODCBA1 C1 B1 A1 OV解解设 为这棱柱的棱长，x1133则从圆锥的顶点到内接正三棱柱上底面的距离等于，上底面正三角形的外接圆半径，.hxxOCODr11因为，VOCVOD111:所以，OCODVO VO3:():3即，xrhxh33所以.hrxhr 如图 7-17 所示，三棱锥-中，、分别是、的中点，且 是正三角形，点 在底面 内的射影也是点.求：(1)侧棱 和底面 所成角；(2)侧面 和底面 夹角的余弦值.A B
27、CDABBCEFGABBCCDEFGABCDGABBCDABCBCD例例1717图 7-17 例 17 图形CBADGEF解解(1)因为 底面，.AGBCDGCD所以 为 与平面 所成角.ABGABBCDt在 中，为 中点.RABGEAB2所以.ABEG因为，BCAB2所以.BCEG12又因为，.FGBDFGEG所以.BCBD因为 为 的中点，GCD所以.BGCD又因为 为 的中线又是高.AGACD2所以 为等腰三角形，.ACDACADEF又.EFEGFG所以 BDBCADAC所以 ACDBCD45所以，.AGBGABG45所以侧棱 与底面 所成角为；ABBCD(2)因为 平面，AGBCD所以
28、 在平面 上射影为.ABCBCDGBC设二面角-的度数为.A BC Dcos则.GBCABCSS1设，ABBC22则.BG 22t在 中，RGBCCGBCBG222122.1124所以 .GBCSBGCG34又因为等边三角形 的面积.ABCABCS134334所以.GBCABCSS3cos333 所以，即侧面 与底面 夹角余弦值为.ABCBCD1、空间图形研究的思路是什么？2、平面的基本性质是什么？3、异面直线定义？三垂线定理叙述？4、如何研究旋转体.(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案(四四)课堂练习题课堂练习题1、填空.(单击左鍵显示答案单击左鍵显示答案)(1)_
29、的三点可以确定一个平面.(2)两条_或_直线确定一个平面.(3)四点中有三点在一条直线上，则这四点在_ 过这四点可确定_平面.(4)垂直于同一条直线的两直线有_ 种位置关系.(5)平行于同一平面的两条直线_平行、垂直于 同一平面两直线_平行.(6)平行于同一条直线的两个平面_平行、垂直 于同一直线两个平面_平行.不在同一直线上相交平行同一平面上一个平面平行、相交、异面三不一定相互平行不一定相互平行2、回答.如图长方体的长和宽都是4、高为2.(1)(2)(3)(4)?求:对角线；和所成角；和所成角；和，和距离各是多少BDBCA CAABCA BDDB CCD ABCDABCD答答 案案1、将空间图形转化为平面图形.返返 回回2、也就是公理1-3及公理3的三个推论.返返 回回3、不同在一平面内的两条直线叫异面直线；在平面内的 一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.返返 回回4、利用它们的轴截面这一平面图形研究.返返 回回2222 (1)4426、；BD(2)45 ；(3)arctan2；(4)4 2.分别为，返返 回回
