1、第四章 加 法 定 理 及 其 推 论(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)余弦、正弦、正切的加法定理。(2)二倍角的正弦、余弦和正切公式以及这些公式的运用。二、本章重点、难点二、本章重点、难点(3)正弦、余弦和正切的半角公式以及这些公式的运用。*(4)三角函数的积化和差与和差化积。加法定理、二倍角公式、半角公式及应用是重点；定理、公式的应用是难点。三、对学习的建议三、对学习的建议 本章公式较多，其中以正弦、余弦以及正切的加法定理为基础，其余公式都可由此推出，为了便于掌握和运
2、用，现将本章公式及相互关系汇总列于表 4-1.tantantan()1tantantantantan()1tantan22tantan21tan代令sin()sincoscossincos()coscossinsinsin()sincoscossincos()coscossinsinsin22sincos2222cos2cossin2cos112sin 代令 同名函数相加、减变形表表4-1 4-1 第四章公式汇总第四章公式汇总1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 1cossin22 1c
3、oscos22 sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 1costan21cossin1cos1cossin 变形以 代 以 代 22以 代，以 代 四、本章关键词四、本章关键词加法定理二倍角半角积化和差和差化积(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、三角函数的求值问题一、三角函数的求值问题三角函数的求值问题大致可分为以下三种类型.(1)给值求值 根据已知角的三角函数值，恰当选用同角、半角、二倍角公式和万能置换公式，计算出所求角的三角函数值.233sin,cos,3242cos()已知 且，且，求 的值.
4、例例1 1解解2sin,32因为，2225cos1 sin133所以 33cos,42因为，2237sin1 cos144所以 cos()coscossinsin所以 53273434 3 52 712本题运用了两角差的余弦公式.说明说明31sincoscos4444 已知，求 的值.例例2 2解解3sincos44因为 1sin(2)sin2211sin(2)2211sin222 14 1sin22所以 2211cos41 2sin 21 222所以 本题利用了积化和差公式、诱导公式及二倍角公式.说明说明21tan()tantan5444 已知，求 的值.例例3 3解解()44因为 tan4
5、所以 tan()tan41tan()tan4215421154322 当给值求值问题涉及到多个角时，要注意发现它们之间的和、差、倍、半等关系.说明说明2tan3cos24sin4 已知，求 的值.例例4 4解解1tantan341tan因为，1tan2所以 2cos24sin所以 cos22(1 cos2)2cos2221tan21tan114211475 本题利用了两角和的正切公式、二倍角公式及万能置换公式.说明说明13sin10cos10 计算 的值.例例5 5解解原式cos103sin10sin10 cos10132cos10sin1022sin10 cos104(sin30 cos10
6、cos30 sin10)2sin10 cos104sin(3010)sin204sin20sin204 本例先对式子通分，然后对分子运用两角差的正弦公式，对分母运用二倍角公式.说明说明(2)给角求值 先利用公式对给定的三角函数式变形，使之出现特殊角.若出现不了特殊角，要想办法在运算过程中将其消去.sin63cos632 2cos84 sin66 求 的值.例例6 6解解原式(sin63sin27)2 2cos84 sin662cos45 sin182(sin150sin18)2sin182sin302sin182sin3022在本例中运用了和差化积公式与积化和差公式.说明说明cos20 cos
7、40 cos80 求 的值.例例7 7解解原式8sin20 cos20 cos40 cos808sin204sin40 cos40 cos808sin202sin80 cos808sin20sin1608sin20sin208sin2018 角度成等比数列(公比为 2)的余弦之积，其求值的方法一般是：分子、分母同乘以这个角度等比数列的首项的正弦的 2n 倍，其中 n 是余弦因子的个数，然后连续多次运用正弦的二倍角公式.说明说明sin10 sin30 sin50 sin70 求 的值.例例8 8解解sin10 sin30 sin50 sin70设，M cos10 cos30 cos50 cos7
8、0N 则 MNsin10 cos10 sin30 cos30 sin50 cos50 sin70 cos701sin20 sin60 sin100 sin140161cos70 cos30 cos10 cos5016116N1016由于，所以.NM1sin10 sin30 sin50 sin7016即.学习过程中会经常遇到类似的题目，如求下列各式的值：cos10 cos30 cos50 cos70；cos20 cos40 cos80；sin20 sin40 sin80；tan10 tan50 tan70.这些题目都源于下述恒等式：4sinsin(60)sin(60)sin3；4coscos(6
9、0)cos(60)cos3；tantan(60)tan(60)tan3.1020只要令 或 就可以得到上述题目.说明说明246coscoscos777 求 的值.例例9 9解解原式12462sincos2sincos2sincos7777772sin713535sinsinsinsinsinsin777772sin7sin72sin712 一般地，若求值式是角度成等差数列的正弦或余弦和的形式，其求值的一般方法是：分子、分母同乘以角度为公差的一半的正弦的 2 倍，然后逐项运用积化和差公式.说明说明cos12cos24cos48cos84 求 的值.例例1010解解原式(cos12cos84)(c
10、os24cos48)2cos48 cos362cos36 cos122cos36(cos48cos12)4cos36 sin30 sin18 2cos36 cos72 sin72sin14422sin362sin72 sin72sin3622sin362sin72 12 本例的结构特点是多个同名三角函数的和差形式，其解题思路是两两组合进行和差化积，使之出现公因子，提取公因子后再进行和差化积，使之转化为余弦或正弦乘积的形式，最后变形使用倍角公式化简求值.说明说明 (3)给值求角 先利用三角公式求出角的一个三角函数值，然后再根据已知条件判断出角所处的区间，最后确定出符合条件的角.111coscos
11、()714 设、均为锐角，求角.例例1111解解因为、均为锐角，(0,)所以.11cos()014因为，,2所以.22115 3sin()1 cos()11414所以.1cos7因为 且 为锐角，2214 3sin1 cos177所以.coscos()所以 cos()cossin()sin1115 34 311471472 因为 为锐角，3所以.223sin2sin13sin22sin202 设、均为锐角，求角.例例1212解解223sin2sin1因为，223sin1 2sincos2所以.sin22sin20因为 3，3sin2sin22所以.cos(2)所以 coscos2sinsin2
12、23cos3sinsinsin22 233cossinsin2sincos2223cossin3sincos0因为、均为锐角，320,222所以，.计算出所求角的某一三角函数值后，还要确定角所处的范围，以免漏值或增值.二、三角函数式的化简方法二、三角函数式的化简方法 三角函数式的化简思路是利用三角公式，对三角函数式进行恒等变形，化为特殊角的三角函数，或者出现相消项.化简的常用方法及技巧如下.(1)切割化弦法 若三角函数式中含有正切、余切、正割、余割三角函数，一般要把它们化为正弦或余弦函数，然后再进行化简.说明说明tantan sin1 sectansin1 csc 化简.xxxxxxx例例13
13、13解解原式sinsin1sin1coscoscossin1sin1cossinxxxxxxxxxx2sinsin(cos1)sinsinsin cos(sin1)cosxxxxxxxxxsin(1 sin)(cos1)sinsin(1 cos)(sin1)cosxxxxxxxxsincosxxtan x44secsin4 cot22 sincossec22 化简.例例1414解解原式44cos2sin4sin22cossincos1222222cos22sin2 cos2sin22cossincossincos122222222cos 22coscossin122222cos 22cos12
14、22cos 22cos1 22cos 2cos2 2cos2 (2)降幂法 利用二倍角余弦公式及其变形公式，将三角函数的次数降低，从而达到化简的目的.881cossinsin2 sin44 化简 例例1515解解原式44441(cossin)(cossin)sin2 sin44222222222(cossin)2sincos(cossin)1(cossin)sin2 sin44 22221(1 2sincos)(cossin)sin2 sin442211cos2sin 2 cos2sin 2 cos222cos2 公式 通常被称作降幂公式，它们在三角函数式的化简与三角恒等式的证明中应用非常广泛
15、.2221 cos21 cos2sincostan221 cos21 cos2 ，(3)和积互化法 利用和差化积公式与积化和差公式，将三角函数式改变运算形式，使之出现公因子或相互抵消的项，从而达到化简的目的.说明说明21 coscos2cos32coscos1 化简.xxxxx例例1616解解原式2(1 cos2)(cos3cos)(2cos1)cosxxxxx22cos2cos2 coscos2cosxxxxx2cos(coscos2)cos2cosxxxxx2cos x 在对分子、分母运用和差化积公式时，要注意对其中的项做适当的分组.说明说明sin10 sin50sin10 sin70si
16、n50 sin70 化简.例例1717解解原式sin10(sin50sin70)sin50 sin7012sin10 cos60 sin(10)cos120cos(20)2211sin 10cos2042 1 cos2011cos20242 1111cos20cos202242 113244 (4)化复为单法 若三角函数式中含有不同角的三角函数，一般应考虑从化简角入手，化复角为单角，以便于应用公式.311cos2cos4828 化简.xx例例1818解解原式1(34cos2cos4)8xx21(34cos22cos 21)8xx21(cos 22cos21)4xx21(cos21)4x221(
17、1 2sin1)4x221(2sin)4x4sin x三、三角恒等式的证明方法三、三角恒等式的证明方法 (1)化繁为简法 从三角恒等式较复杂的一边开始化简，经过一系列的恒等变形，直到推导出较简单一边的式子为止.32sintantan22coscos2 证明.xxxxx例例1919证明证明左边3sinsin223coscos22xxxx33sincoscossin22223coscos22xxxxxx3sin22133coscos22222xxxxxx2sincos2cosxxx右边 若恒等式中含有切或割的三角函数,一般应考虑“切割代弦”.说明说明333sin3 sincos3 coscos 2
18、 证明.xxxxx例例2020证明证明左边22(sin3 sin)sin(cos3 cos)cosxxxxxx221(cos2cos4)sin(cos2cos4)cos2xxxxxx22221(sincos)cos2(cossin)cos4 2xxxxxx11(cos2cos2 cos4)cos2(1 cos4)22xxxxx3cos 2x右边 (2)两边同化法 若三角恒等式两边的复杂程度大致相当，这时要考虑两边同化法，对三角恒等式两边分别化简，直至两边化为同一个式子.2(cossin)cossin1 sincos1 sin1 cos 证明.xxxxxxxx例例2121证明证明左边2222 c
19、ossin2sincos22222sincos2cos222xxxxxxx222cossin2sincos2222sincoscos222xxxxxxx21tan2tan22tan12xxx右边2222cossin2sincos22222coscossin222xxxxxxxcossinsin222cossincos222xxxxxx1tan2tan21tan2xxx21tantantan2221tan2xxxx21 2tantan221tan2xxx左边01(3)等价推证法 若对三角恒等式进行直接证明有困难，应考虑对其等价命题进行证明，比如要证，可转化为证或，再如要证，则可转化为证.ABAB
20、AACADBCBBD2sin1cossincos3sin3cos2sin2 证明.例例2222证明证明原恒等式等价于：cossincos3sin32sin(cos2sin2)(sin3sin)(cos3cos)左边2cos2 sin2sin2 sin2sin(cos2sin2)右边tan5tan34(tan5tan3)cos2 cos4 证明.xxxxxx例例2323证明证明原恒等式等价于：tan5tan34cos2 cos4tan5tan3xxxxxxsin5sin3cos5cos3sin5sin3cos5cos3左边xxxxxxxxsin5 cos3cos5 sin3sin5 cos3co
21、s5 sin3xxxxxxxxsin8sin2xx2sin4 cos4sin2xxx4sin2 cos2 cos4sin2xxxx4cos2 cos4xx右边四、三角条件等式的证明方法四、三角条件等式的证明方法 (1)条件代入法 将需要证明的等式的一端变形后，代入已知条件；或将已知条件变形后，代入需要求证的等式的一端，然后推出另一端.22tan2tan1cos22cos21 已知，求证.例例2424证明证明2cos21右边221tan211tan221(2tan1)211(2tan1)224tan12(1tan)222tan11tan221tan1tancos2左边 (2)条件转化法 从已知条
22、件入手，将条件逐步变形，从而推导出所要证明的结论.下面利用条件转化法求证上例.证明证明22tan2tan1因为，221tan2(1tan)所以，222212sec2seccoscos所以，222cos2coscos212cos2cos22所以，22cos12cos21cos22cos21所以，.222tan2tan1cos2sin0 已知，求证 例例2525证明证明22tan2tan1因为，221tan2(tan1)所以，222212sec2seccoscos所以，222222coscos2cos1cos1sin所以，2cos2sin所以，2cos2sin0即.(3)消去法 当已知条件中含有某
23、一参数而所要推证的结论中不含该参数时，一般应考虑运用消去法证明.2coscossec1tancotcot2222 已知，求证.a例例2626证明证明coscossec1因为，1coscoscosseccos所以 2tan222cot22csc12211sin2111 cos11cos1cos2cos1coscoscoscoscoscos2coscos222sinsin22cotcot22 cotcot22 在三角条件等式的证明过程中，有时既要对已知条件变形，又要对所要求证的结论变形.说明说明 (4)分析法 由所要求证的结论入手，分析出使得结论成立的等价条件，然后对等价条件再次分析，直至利用已知
24、条件或某个定理得到结论.2cos2cos2cos21 cot()cot()csc 若，求证.例例2727证明证明21 cot()cot()csc要证 成立，2cos()cos()11sin()sin()sin只需证 成立.2sin()sin()cos()cos()1sin()sin()sin即证 2cos2cos21 2sincos2cos2cos2即证，cos2cos2cos2已知 成立，且以上各步均可逆.21 cot()cot()csc故 成立.22cos21cos2cos22sin1sincos2(cos2cos2)2即证，一般地，采用分析法比较容易找到证明思路.说明说明(三三)思考题思
25、考题1、三角函数的求值问题可分几类？2、三角函数式的化简常用哪些方法？3、若角为，如何用三角函数表示平面一个点.答答 案案答答 案案答答 案案(四四)课堂练习题课堂练习题1 cos105?、不查表，求2 sin21 cos81sin69 cos9?、化简:13 cos sin cos.222、已知，求，1tan754 .1tan75、计算：答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、大致分为三类:(1)给值求值；(2)给角求值；(3)给值求角.返返 回回2、三角函数式化简常用切割化弦法、降幂法、和积互化 法、化复为单法.返返 回回3 cos sin.、平面上点坐标，返返 回回261 cos105cos 4560.4、返返 回回32sin21 cos81cos21 sin81.2、原式 返返 回回1 cos13 sin.222、1 cos3cos.222 返返 回回tan45tan7543.1tan45 tan75、原式 返返 回回
