1、1 拉格朗日定理和 函数的单调性一、罗尔定理与拉格朗日定理二、函数单调性的判别质来得到 f 在该区间上的整体性质.f 中值定理,就可以根据在区间上的性 中值定理是联系 与 f 的桥梁.有了 f 定理定理6.1(罗尔中值定理罗尔中值定理)上上满满足足：区区间间在在设设函函数数,)(baxf一、罗尔定理与拉格朗日定理那么在开区间那么在开区间(a,b)内必定内必定(至少至少)存在一点存在一点,使使()0.f(i)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续;(ii)在开区间在开区间(a,b)上可导上可导;(iii)f(a)=f(b).(1)几何意义几何意义据右图据右图,xyabAB1 2 O平的平的.一点
2、处的一点处的切线也是水切线也是水 看出看出,曲曲线上至少有线上至少有 的的.由几何直由几何直观可以观可以所以线段所以线段 AB 是水平是水平因为因为点击上图动画演示点击上图动画演示f(a)=f(b),(2)条件分析条件分析Oxy定理中的三个条件都很重要，缺少一个定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不结论不 1,010,)(a)xxxxf函函数数在在 0,1 上满足条件上满足条件 (ii)和和一定成立一定成立.数在数在 (0,1)上的导数恒为上的导数恒为1.(iii),但条件但条件(i)不满足不满足,该函该函 1,1|,|)(b)xxxf满足条件满足条件(i)和和(iii),但条件但条件条件
3、条件(i)和和(ii),但条件但条件(iii)1,0,)(c)xxxf满足满足Oxy1Oyx1 1处不可导处不可导),结论也不成立结论也不成立.(ii)却遭到破坏却遭到破坏(f 在在 x=0 内的导数恒为内的导数恒为1.却遭到破坏却遭到破坏,该函数在该函数在(0,1)2()()f xx D x注注 函函数数-1O121234xy 1,2在在区区间间上上三三个个条件都不满足条件都不满足,却仍有却仍有 f (0)=0.这说明罗尔定这说明罗尔定 理的三个条件是充分理的三个条件是充分 条件条件,而不是必要条件而不是必要条件.定理的证明定理的证明因为因为 f(x)在在 a,b 上连续上连续,所以由连续函
4、数的最大、所以由连续函数的最大、情形情形1 M=m.此时此时 f(x)恒为常数恒为常数,它的导函数恒它的导函数恒 f ()=0.小值小值 m.下面分两种情形加以讨论下面分两种情形加以讨论.最小值定理最小值定理,f(x)在在 a,b 上能取得最大值上能取得最大值 M 和最和最 等于零等于零,此时可在此时可在(a,b)内随意取一点内随意取一点 ,就就有有 情形情形2 m 0,存在存在 使使 由于由于,有有01sinlim20 xxx.0)1cos1sin2(lim)(lim00 xxf.)1cos1sin2(lim)(lim00不不存存在在xxxxfxx 因因,01sin2lim0 xxx所以所以
5、不存在不存在而而,1coslim0 xx 二、函数单调性的判别改为严格不等号改为严格不等号,则相应地称它为严格增则相应地称它为严格增(减减).下面的定理是本节中的两个主要定理下面的定理是本节中的两个主要定理,今后将不今后将不若函数若函数,)(21IxxIxf 上上对对任任意意在在区区间间,21xx ),()()()(2121xfxfxfxf 必必有有则称函数则称函数若若“”.)(单单调调减减上上单单调调增增在在区区间间 I)()(xf断地使用断地使用.定理定理6.3IxfIxf在在区区间间上上可可导导，则则在在区区间间设设)()(:()0(0).fx上上单单调调增增(减减)的的充充要要条条件件
6、是是证证00,fx xI xx若若为为递递增增函函数数 则则当当时时,有有00()()0.f xf xxx00,()0.xxfx令令即即得得1212()0,.,()fxxIx xIxx反反之之,若若设设12,(,),xx 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理定理定理6.4 可微函数可微函数 f(x)在区间在区间 I 上严格递增的充上严格递增的充,0)()()(1212 xxfxfxf 即即),()(12xfxf().f x这这就就证证明明了了函函数数递递增增12121,()xxI xxf x是是严严格格递递增增,则则存存在在使使6.3().()f xf x 由由定定理理可可知知递递增增 若若充
7、充分分性性不不证证个区间个区间.12()(,),f xxx这这就就得得到到在在区区间间上上恒恒为为常常数数 故故2().f x满足满足 的点集不含一的点集不含一()0,fx ()0fx 要条件是：要条件是：),(,0)(21xxxxf 矛盾矛盾.充分性得证充分性得证.注注 请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理.必要性请读者自证必要性请读者自证.()0()0),Ifxfx设设函函数数在在区区间间 上上可可微微推推,若若论论().fI则则在在 上上严严格格递递增增 严严格格递递减减在实际应用中我们经常会用到下面这个事实在实际应用中我们经常会用到下面这个事
8、实.性质性质),()(),(,)(减减递递增增严严格格上上上上连连续续，在在若若babaxf(),()().f xa b则则在在上上 严严格格 递递增增 减减作为应用，下面再举两个简单的例子作为应用，下面再举两个简单的例子.例例7 求证求证.0,1e xxx证证则则设设,1e)(xxFx .1e)(xxF所所以以()0,0,),0,F xxx且且当当时时()0F x()0).F x的的点点不不含含一一个个区区间间故故()0,)F x在在,0,x 上上严严格格递递增增 所所以以对对任任意意恒有恒有,0)0()(FxF例例8 设设 f(x)=x 3 x.讨论函数讨论函数 f 的单调区间的单调区间.解解 由于由于),13)(13(13)(2 xxxxf因此因此递递增增，时时，当当fxfx,0)()31,(递递减减，时时，当当fxfx,0)()31,31(.,0)(),31(递递增增时时，当当fxfx 即即.0,1e xxx-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.5O0.511.5xy3yxx 复习思考题的证明相比较的证明相比较.罗尔定理证明的主要方法是什么罗尔定理证明的主要方法是什么?试与达布定理试与达布定理
