1、xoyz第七节 立体几何中的向量方法2实验幼儿园 高三数学组 徐美喆v1v2v1v2 l3一、一、利用直线的方向向量与平面的法向量，判定利用直线的方向向量与平面的法向量，判定直线直线与直线与直线、直线与平面直线与平面、平面与平面平面与平面的的平行和垂直平行和垂直(1)设直线设直线l1的方向向量的方向向量v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量的方向向量v2(a2，b2，c2)则则l1l2 (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)l1l2 a1a2b1b2c1c20.1直线直线a，b的方向向量分别为的方向向量分别为a(1，1,2)，b(2,2，4)，则则()Aab或或a与与b重合重合B
2、ab Ca与与b相交但不垂直相交但不垂直 Da与与b异面但不垂直异面但不垂直解析：解析：a(1，1,2)，b(2,2，4)，b2a，a与与b共线即共线即a b或或a与与b重合重合法向量 n方向向量 Vvn vn n1n2 n1n2 二.利用方向向量和法向量解决空间的问题（1）两直线的夹角（2）直线与平面的夹角（3）二面角的大小）二面角的大小【余弦值余弦值】xoyz2ABCEFGHKn2n1例题：例题：PABCD中，底面中，底面ABCD为直角梯形，为直角梯形，ABCD，BAAD，PA平面平面ABCD，ABAPAD3，CD6(1)求求PD与与BC所成的角（所成的角（2）求二面角）求二面角C-PB-
3、A的余弦值的余弦值解析：解析：以以A为坐标原点，为坐标原点，AD、AB、AP所在的直线分别为所在的直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)例：四棱锥例：四棱锥SABCD 的底面是正方形，的底面是正方形，SD平面平面 ABCD，SD2，AD 2 则二面角则二面角 CASD 的余弦值为的余弦值为_【整理此题至资料上】正方形正方形ADEF和等腰梯形和等腰梯形ABCD垂直，垂直，已知已知BC2AD4，ABC60，BFAC (1)求证：求证：AC平面平面
4、ABF(2)求异面直线求异面直线BE与与AC所成的角的余弦值所成的角的余弦值证明：四边形ABCD是等腰梯，ABCD，DAB=60，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF（）求证：BD平面AED（）求二面角F-BD-C的余弦值【2011山东理科】【2012山东理科】1(2012六安月考六安月考)如图所示，已知正方形如图所示，已知正方形ABCD 和矩形和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所在的平面互相垂直，AB 2，AF1，M是线段是线段EF的中点的中点 求证：求证：(1)AM平面平面BDE；(2)AM平面平面BDF.例例2(2011大纲版全国高考大纲版全国高考)如图，四棱如图，四棱锥锥SAB
5、CD中，中，ABCD，BCCD，侧面侧面SAB为等边三角形为等边三角形ABBC2，CDSD1.(1)证明：证明：SD平面平面SAB；(2)求求AB与平面与平面SBC所成的角的正弦值所成的角的正弦值3.在四棱锥在四棱锥 PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点于点M.(1)求证：求证：AMPD；(2)求直线求直线CD与平面与平面ACM所成角的余弦值所成角的余弦值解：解：(1)证明：证明：PA平面平面ABCD，AB平面平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AB平面平面PAD.PD 平面平面PAD，ABPD，BMPD，ABBMB
6、，PD平面平面ABM.AM 平面平面ABM，AMPD.例例3 四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，PD平面平面 ABCDPDQA，QAAB12PD (1)证明：平面证明：平面PQC平面平面 DCQ；(2)求二面角求二面角 QBPC 的余弦值的余弦值 解：解：以以D为坐标原点，线段为坐标原点，线段DA的长为的长为单位长度，射线单位长度，射线DA为为x轴的正半轴建轴的正半轴建立空间直角坐标系立空间直角坐标系Dxyz4.一个几何体是由如图所示的圆柱一个几何体是由如图所示的圆柱 ADD1A1和三棱锥和三棱锥E ABC组合组合 而成，点而成，点A、B、C在圆柱上底面在圆柱上底面 圆圆O的圆周
7、上，的圆周上，且且BC过圆心过圆心O，EA平面平面ABC.(1)求证：求证：ACBD；(2)求锐二面角求锐二面角ABDC的大小的大小解：解：(1)证明：因为证明：因为EA平面平面ABC，AC 平面平面ABC，所，所以以EAAC，即，即EDAC.又因为又因为ACAB，ABEDA，所以所以AC平面平面EBD.因为因为BD 平面平面EBD，所以所以ACBD.冲关锦囊冲关锦囊巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)冲关锦囊冲关锦囊1开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有 一定的思维深度，用向量法较容易解决一定的思维深度，用向量法较容易解决2对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存 在，若有解但不满足题意或无解则不存在在，若有解但不满足题意或无解则不存在
